第05讲 一元二次方程的解法12大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第05讲 一元二次方程的解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直接开方法解一元二次方程 题型2 配方法解一元二次方程 题型3 配方法的应用 题型4 公式法解一元二次方程 题型5 因式分解法解一元二次方程 题型6 换元法解一元二次方程 题型7 选用合适的解法解一元二次方程 题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数 题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数 题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数 题型12 一元二次方程解法的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开方法 配方法 因式分解法 公式法 换元法 1. 掌握直接开平方法适用题型，理解配方原理，熟练完成方程配方变形。 2. 熟记求根公式，理解公式推导过程，能规范运用公式法解方程。 3. 掌握因式分解法解题步骤，能快速分解方程，简洁高效求解方程根。 4. 学会辨析题型特点，灵活选用最优解法，提升解方程运算能力。 5. 养成规范解题、检验根的习惯，培养严谨细致的数学运算思维。 学习重点：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的解题步骤，能熟练解方程。 学习难点：根据方程结构特点灵活选择最优解法，熟练掌握配方变形与公式推导思路。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 易错点： （1）必须保证等式左边为完全平方式、右边为常数，满足开方条件。 （2）正数开平方有两个互为相反数的根，切勿遗漏负根。 （3）右边常数为负数时，方程无实数根，不可强行开方求解。 （3）开方后需规范化简根式，保证最终结果最简、书写规范。 即时即练 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，可通过移项后利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即 故选：D． 2．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 3．用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 知识点02 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 易错点： （1）配方前未将二次项系数化为1，直接配方，导致式子变形错误。 （2）配方时常数项只单边加减，未遵循等式左右两边同时变形原则。 （3）凑完全平方时，混淆一次项系数一半的平方，出现计算失误。 （4）配方完成开方时遗漏负根，且未及时化简最终方程的根式结果。 即时即练 4．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边整理为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解： 移项，得． 两边都加一次项系数一半的平方，得， 即． 5．已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 【答案】1 【分析】将配方后的方程展开为一般形式，根据对应系数相等求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将展开，得 ， 一元二次方程可以配方成， 由对应系数相等可得， 解得，， 将，代入，得． 6．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 知识点03 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 即时即练 7．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 8．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 9．解方程：． 【答案】    【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， ， 解得，． 知识点04 因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 易错点： （1）解方程时未先移项整理，保留常数项在一侧，直接因式分解导致漏根、错根。 （2）随意约去含未知数的整式，丢失使该整式为零的有效根，造成解题失分。 （3）因式分解不彻底，未拆解为两个一次因式乘积的标准形式，无法正确求根。 （4）忽略“若乘积为0，则至少一个因式为0”的核心依据，凭主观臆断求解方程。 即时即练 10．一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义，先把代入一元二次方程 中，求出参数，再解这个一元二次方程，即可得到另一个根． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程中，得 ， 化简得 ， 解得， 将代入原方程中，得， 对左边因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 11．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 【答案】， 【分析】先移项，再运用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， 移项，得：， 提取公因式，因式分解得：， 或， 解得，． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 知识点05 换元法 定义：换元法是数学重要转化思想，指将方程中重复、复杂的整体代数式设为新未知数，简化复杂方程。 核心原理：通过变量替换，把高次方程、分式方程、复合型方程转化为熟悉的一元二次方程，化繁为简。 解题关键：找准整体换元对象，换元求解出新未知数的值后，必须回代原式求出原未知数的值。 适用题型：主要用于可整体替换的高次方程、分式方程、重复结构的一元二次复合型方程。 易错点： （1）换元后只求解新未知数，忘记回代原式计算原未知数，解题步骤不完整。 （2）未检验新元取值范围，出现增根、无意义解，未及时舍去错误解。 （3）找不准整体换元对象，拆分整体结构，导致无法转化为标准二次方程。 （4）换元变形过程运算出错，化简不规范，造成最终求解结果错误。 即时即练 13．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 14．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 【答案】， 【分析】此题主要考查利用整体代换思想解方程．熟练掌握该知识点是关键；通过观察方程结构，可将第二个方程中的看作一个整体，则该整体的值应等于第一个方程的解，从而求出的值． 【详解】解：关于的方程的解是，，，均为常数，， 方程变形为， 即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 15．解方程：． 【答案】，． 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是因式分解法解方程，关键是通过换元得到关于的一元二次方程． 设，根据，得出，求出的值，再代入，即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， ，， 或， ，． 题型1 直接开方法解一元二次方程 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： ∴， 即，． 故选：B． 2．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 3．若，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解： ∴或 解得：或 4．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程． （1）（2）（3）利用直接开平方法求解可得； （4）先整理成，再开方即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，即，； （2）解：∵， ∴， 则，； （3）解：∵， ∴， 则， 解得，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 5．直接写出下列方程的根： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，整理成，然后利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可； （4）移项整理成一般形式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： ，， 解得，； （4）解： 或 解得，． 题型2 配方法解一元二次方程 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 7．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 8．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 【答案】21 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定参数m和n的值． 【详解】解：将移项得：， 两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 配方得：， ∴， 故答案为：21． 9．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 10．解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 【易错警示】 用配方法解方程，容易跳过化二次项系数为 1 这一步。配方只在等式一侧添加常数，违反等式性质。计算一次项系数一半的平方时常出现计算错误。开平方时丢掉负根，同时不化简结果，很多学生因步骤疏漏与运算马虎丢分。 题型3 配方法的应用 11．把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 【答案】A 【分析】利用完全平方公式进行配方求解． 【详解】解： ， ∴． 12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【详解】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 13．对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 14．【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 【答案】(1)9 (2)6 【分析】本题主要考查配方法、完全平方式，熟练掌握配方法及完全平方式是解题的关键； （1）根据完全平方式可进行求解； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由完全平方公式，可知：， 故答案为9； （2）解：； 由于，所以， 即的最小值为6． 15．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 题型4 公式法解一元二次方程 16．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 17．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 18．若是一元二次方程的根，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 19．解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ，． 20．解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 题型5 因式分解法解一元二次方程 21．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】可通过因式分解法求出方程的两个根，再计算两根之和得到结果． 【详解】解：∵原方程为：对左侧因式分解得： ， ∴或， ∴方程的两个实数根为：， ∴ ． 22．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 23．已知，且，则的值___________． 【答案】或 【分析】先对原方程左边的二次三项式因式分解，得到两个一次方程乘积为0的形式，根据“若两数乘积为0，则至少其中一个数为0”得到两个一次方程，再将方程两边同时除以，转化为关于的等式，进而求解． 【详解】解：对左边的多项式因式分解，得， ∴或， ∵， ∴由得； 由，得． 综上，的值为或． 24．解方程：． 【答案】， 【分析】将提取公因式得到，再利用因式分解法解这个一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 25．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 题型6 换元法解一元二次方程 26．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 27．已知，则的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，则，整理得：，解出该方程再根据进行取舍即可； 【详解】解：令，则， 整理得：，解得：； ∵， ∴； 故选：A 28．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：， 故答案为：2023． 29．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 30．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)4； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （3），令，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 化简，得， 则所求方程为； （3）一元二次方程， ∵令， ∴， 则方程的两根比两根大1， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，， 所以方程 的两根分别是4、． 【易错警示】 利用换元法解方程，常常解出新未知数后忘记回代求原未知数。不能准确找出整体替换的代数式，导致转化失败。不考虑新元的取值范围，产生增根却不检验。部分学生化简变形出错，解题半途而废，步骤残缺造成扣分。 题型7 选用合适的解法解一元二次方程 31．按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得答案； （2）利用公式法求解可得答案． 【详解】（1）解： ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 32．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 33．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）开平方法需要转化成的形式，再根据平方根的定义求解，若则方程无解； （2）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （3）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）解： 移项，得， ∴ ， 解得． （2） 移项，得， 配方，得，即， ， ∴． （3） ， ， ∴． （4） 把方程左边因式分解，得， 或， ∴． 34．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 35．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 【易错警示】 学生解方程时常盲目套用公式法，不会根据方程结构灵活选择解法。遇到完全平方式不用直接开方法，可因式分解却强行配方，浪费时间。审题不细致，运算步骤繁琐极易计算出错，因解法选择不当，大幅提升失误概率。 题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断方程根的情况． 【详解】解：， ， ∴， ∴方程无实数根． 37．关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 38．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 39．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，求出的值，再解方程即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程化为， ∴， ∴； 故方程的另一个根为. 40．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系求解即可； （2）将方程的根代入方程求出，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根是 ∴，即， ∴． 题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数 41．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 42．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 43．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式，由此列出关于的方程，解此方程即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 代入得， 整理得， 解得． 44．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 45．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根时，，列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 答：的值为2． 题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数 46．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得． 47．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式 ”列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴根的判别式 ， 其中，， 代入得 ， 解不等式得． 48．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】/ 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 49．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 50．已知：关于x的方程． (1)试说明无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 【答案】(1)见详解 (2)2008 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据判别式得出方程的解的情况，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则，即可作答． （2）先把代入，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的方程， ∴， ∴无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一个根为3， ∴， ∴， ∴， 则． 【易错警示】 利用方程有两个不相等实数根求参数，只记得判别式大于零，常常忽略一元二次方程二次项系数不能为零。部分同学求出范围后不检验，容易产生不符合题意的取值，遗漏限制条件，最终导致答案出错。 题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数 51．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 52．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，得到根的判别式小于0，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项为， ∵该一元二次方程无实数根， ∴根的判别式， 代入得， 解得． 53．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 54．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 55．已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 题型12 一元二次方程解法的新定义问题 56．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据新定义整理出一元二次方程，再通过判别式的值判断方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根． 【详解】解：根据定义运算， 将代入得，， 整理得， ， 方程有两个不相等的实数根． 57．定义新运算：．如：．则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算与一元二次方程根的判别式，正确理解新运算规则、熟练运用根的判别式判断根的情况是解题的关键．根据新运算的定义将方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的符号，即可判断方程根的情况． 【详解】解：关于的方程可化成， 即， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 58．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 【答案】 【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 59．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 60．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，． 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及解一元二次方程． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入求得的值，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入得，， 解得； 当时，， 因式分解得， 解得，． 1．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 2．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式将原方程配方为指定形式，即可得到的值． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得 ， 对比，可得． 3．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合一元二次方程有两个相等的实数根，得出根的判别式等于0，代入方程系数计算，整理即可得到所求代数式的值． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个相等的实数根， 根的判别式， 整理得． 4．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程． 【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或， 故另一个方程为． 5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式，且二次项系数不为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程 ∴ ∵方程有两个相等的实数根 ∴判别式， 整理得 解得 ，符合的要求． 6．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：D． 8．若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据立方差公式可得：，根据，可得：，设，可得：，利用完全平方公式可得：，所以可得方程，利用换元法解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则有， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 设， 可得：， 两边同时乘以，可得：， 整理得：， 分解因式得， 或， 不能为负数， ， 解得：， 或． 9．对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 【答案】D 【分析】先通过因式分解求出方程的两个实数根，再根据“只有一个实数根小于2”的条件，结合两根的大小关系列出不等式组求解，进而确定的取值范围． 【详解】解：∵原方程可因式分解为：， ∴方程的两个实数根为，． ∵， ∴， ∵方程只有一个实数根小于2，即两个根中一个小于2，另一个不小于． ∴，即， 解得． 11．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 【答案】 【分析】先移项，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得． 12．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据方程有实数根可得判别式大于等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程，且有实数根， ， 整理得 ， 解得 ． 13．已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 【答案】5 【详解】解：由题意可得，将代入原方程得：， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， ∴另一个根为5． 14．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 【答案】1 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，由此得到的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得， ． 15．关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，则_____； （2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】 2 【分析】（1）将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值； （2）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，方程有两个实数根时判别式大于等于，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：把代入方程得， 整理得， 解得； （2）解：由于方程有两个实数根， 则判别式， 解得． 16．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 17．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】/ 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 18．若x、y为实数，且，则_____ 【答案】4 【分析】令，代入得到关于的方程，利用因式分解法解方程，再根据，即可得解． 【详解】解：令，代入得， 整理得：， ， 或， 或， ，， ， ，即． 19．若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 【答案】 【分析】将方程化为，进而得到或，进行求解即可. 【详解】解：一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的根为， ∴的两个根满足或， 解得． 20．我国古代数学家赵爽在其著作《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例：如图1，用四个全等的矩形围成一个大正方形，其中每一个矩形的较短边的长为，面积为14，则大正方形的面积表示为，因为大正方形的面积也等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，所以，解此方程可得正根．根据以上活动经验，可知图2是一元二次方程___________的几何解法． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——因式分解法，能根据题意找出图2对应的方程是正确解答此题的关键． 根据题意得出图2所对应的方程即可． 【详解】解∶由题意可知： 则大正方形的边长为， 因为整个图形的面积为， 所以， 所以图2是一元二次方程的几何解法． 同理可得图3是一元二次方程的几何解法． 图4是一元二次方程的几何解法． 故答案为：或或． 21．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴ （2）解： 或 ∴． 22．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）通过移项，然后配方，再直接开平方即可得到答案； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边同加上1，得， ， ， ， ，； （2）解：移项，得， 提取公因式，得， ，． 23．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了用公式法以及因式分解法解一元二次方程． （1）直接用公式法解方程即可； （2）移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得：， 提公因式得：， 即或， 解得：，． 24．阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 【答案】 B ③ ，解题过程见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法是关键，运用配方法求解即可． 【详解】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误， 正确的解析过程如下，： ， 移项得，， 等式两边同时除以2得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴． 25．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）把代入，可得得，再把代入进行计算，然后配方，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程是“A方程”， ∴该方程的一个根为， ∴， 解得：； （2）解：∵关于的一元二次方程是“方程”， ∴把代入，得： ∴； ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 26．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根、求代数式的值； （1）计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号证明即可； （2）代入到方程，得到，再整体代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：代入到方程，得， ∴， ∴． 27．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 28．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有实数根； （2）解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴，解得：， ∴的取值范围是． 29．【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】根据转化的新思路，（1）将方程转化为一元二次方程即可求解；（2）将方程两边平方后转化为一元二次方程求解，并检验增根． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴或， 即或， 即或或， 解得或或． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴， 经检验：是原方程的解，是增根， ∴． 30．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程求出m的值，再仿照题意求出x的值即可； （2）设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ∴， 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为； （2）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 一元二次方程的解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 直接开方法解一元二次方程 题型2 配方法解一元二次方程 题型3 配方法的应用 题型4 公式法解一元二次方程 题型5 因式分解法解一元二次方程 题型6 换元法解一元二次方程 题型7 选用合适的解法解一元二次方程 题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数 题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数 题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数 题型12 一元二次方程解法的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 直接开方法 配方法 因式分解法 公式法 换元法 1. 掌握直接开平方法适用题型，理解配方原理，熟练完成方程配方变形。 2. 熟记求根公式，理解公式推导过程，能规范运用公式法解方程。 3. 掌握因式分解法解题步骤，能快速分解方程，简洁高效求解方程根。 4. 学会辨析题型特点，灵活选用最优解法，提升解方程运算能力。 5. 养成规范解题、检验根的习惯，培养严谨细致的数学运算思维。 学习重点：掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的解题步骤，能熟练解方程。 学习难点：根据方程结构特点灵活选择最优解法，熟练掌握配方变形与公式推导思路。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 易错点： （1）必须保证等式左边为完全平方式、右边为常数，满足开方条件。 （2）正数开平方有两个互为相反数的根，切勿遗漏负根。 （3）右边常数为负数时，方程无实数根，不可强行开方求解。 （3）开方后需规范化简根式，保证最终结果最简、书写规范。 即时即练 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．用直接开方法解方程： 知识点02 用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 易错点： （1）配方前未将二次项系数化为1，直接配方，导致式子变形错误。 （2）配方时常数项只单边加减，未遵循等式左右两边同时变形原则。 （3）凑完全平方时，混淆一次项系数一半的平方，出现计算失误。 （4）配方完成开方时遗漏负根，且未及时化简最终方程的根式结果。 即时即练 4．将方程配方后，所得方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 6．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 知识点03 用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 即时即练 7．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 8．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．解方程：． 知识点04 因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 易错点： （1）解方程时未先移项整理，保留常数项在一侧，直接因式分解导致漏根、错根。 （2）随意约去含未知数的整式，丢失使该整式为零的有效根，造成解题失分。 （3）因式分解不彻底，未拆解为两个一次因式乘积的标准形式，无法正确求根。 （4）忽略“若乘积为0，则至少一个因式为0”的核心依据，凭主观臆断求解方程。 即时即练 10．一元二次方程 的一个根为，则另一个根是（     ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的解为________． 12．解方程： (1)； (2)． 知识点05 换元法 定义：换元法是数学重要转化思想，指将方程中重复、复杂的整体代数式设为新未知数，简化复杂方程。 核心原理：通过变量替换，把高次方程、分式方程、复合型方程转化为熟悉的一元二次方程，化繁为简。 解题关键：找准整体换元对象，换元求解出新未知数的值后，必须回代原式求出原未知数的值。 适用题型：主要用于可整体替换的高次方程、分式方程、重复结构的一元二次复合型方程。 易错点： （1）换元后只求解新未知数，忘记回代原式计算原未知数，解题步骤不完整。 （2）未检验新元取值范围，出现增根、无意义解，未及时舍去错误解。 （3）找不准整体换元对象，拆分整体结构，导致无法转化为标准二次方程。 （4）换元变形过程运算出错，化简不规范，造成最终求解结果错误。 即时即练 13．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 14．关于的方程的解是，（、、均为常数，），则方程的解是______． 15．解方程：． 题型1 直接开方法解一元二次方程 1．方程的解是（    ） A． B．， C． D． 2．方程的解正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．若，则的值为__________． 4．用直接开方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．直接写出下列方程的根： (1) (2) (3) (4) 题型2 配方法解一元二次方程 6．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 7．用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 8．用配方法解方程时，通过配方后可得的形式，则的值为___________． 9．用配方法解方程：． 10．解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【易错警示】 用配方法解方程，容易跳过化二次项系数为 1 这一步。配方只在等式一侧添加常数，违反等式性质。计算一次项系数一半的平方时常出现计算错误。开平方时丢掉负根，同时不化简结果，很多学生因步骤疏漏与运算马虎丢分。 题型3 配方法的应用 11．把方程配方成的形式，则m，n的值是（　　） A．，28 B．5， C．5， D．，25 12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 13．对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 14．【阅读材料】：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫作配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)【类比应用】：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例2的步骤，求的最小值； 15．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 题型4 公式法解一元二次方程 16．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 17．用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 18．若是一元二次方程的根，则的值为___________． 19．解方程：． 20．解下列方程：（用公式法）； 题型5 因式分解法解一元二次方程 21．一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（     ） A．1 B．2 C．0 D． 22．方程的根是__________． 23．已知，且，则的值___________． 24．解方程：． 25．解方程 (1) (2) 题型6 换元法解一元二次方程 26．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 27．已知，则的值是（   ） A．4 B．2 C．4或 D．或2 28．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 29．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 30．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以， 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ； (2)已知方程，求一个关于y一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； (3)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为3，，求关于y一元二次方程的两根． 【易错警示】 利用换元法解方程，常常解出新未知数后忘记回代求原未知数。不能准确找出整体替换的代数式，导致转化失败。不考虑新元的取值范围，产生增根却不检验。部分学生化简变形出错，解题半途而废，步骤残缺造成扣分。 题型7 选用合适的解法解一元二次方程 31．按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 32．按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 33．用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 34．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 35．请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【易错警示】 学生解方程时常盲目套用公式法，不会根据方程结构灵活选择解法。遇到完全平方式不用直接开方法，可因式分解却强行配方，浪费时间。审题不细致，运算步骤繁琐极易计算出错，因解法选择不当，大幅提升失误概率。 题型8 根据判别式判断一元二次方程根的情况 36．一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 37．关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 38．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 39．已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 40．已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是1，求的值． 题型9 根据一元二次方程的两个相等实数根求参数 41．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 42．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 43．若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 44．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 45．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 题型10 根据一元二次方程的两个不相等实数根求参数 46．如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 47．若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 48．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 49．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________． 50．已知：关于x的方程． (1)试说明无论x取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)如果方程有一个根为3，试求的值． 【易错警示】 利用方程有两个不相等实数根求参数，只记得判别式大于零，常常忽略一元二次方程二次项系数不能为零。部分同学求出范围后不检验，容易产生不符合题意的取值，遗漏限制条件，最终导致答案出错。 题型11 根据一元二次方程无实数根的情况求参数 51．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 52．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为________． 53．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 54．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 55．已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 题型12 一元二次方程解法的新定义问题 56．定义运算：．例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 57．定义新运算：．如：．则关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 58．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 59．对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 60．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______． (2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根． 1．关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 2．若将一元二次方程 转化为的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A．4 B．1 C． D． 6．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 8．若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 9．对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 10．已知关于的一元二次方程，若方程只有一个实数根小于2，则的取值范围是（   ） A． B． C．a＜0 D． 11．用配方法解方程时，将原方程转化为的形式可得____． 12．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13．已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 14．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 15．关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，则_____； （2）若该方程有两个实数根，则k的取值范围是 _____． 16．设方程的正根介于整数m与之间，则________． 17．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 18．若x、y为实数，且，则_____ 19．若关于x的一元二次方程的根为．则一元二次方程的根为_________ 20．我国古代数学家赵爽在其著作《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例：如图1，用四个全等的矩形围成一个大正方形，其中每一个矩形的较短边的长为，面积为14，则大正方形的面积表示为，因为大正方形的面积也等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，所以，解此方程可得正根．根据以上活动经验，可知图2是一元二次方程___________的几何解法． 21．解方程： (1)； (2)． 22．解方程 (1)； (2)． 23．解方程： (1)； (2)． 24．阅读与思考 小明同学解一元二次方程的过程如下： 解：移项，得      ① 两边同除以2，得      ② 配方，得      ③ 即      ④     ∴或  ⑤     ∴，  ⑥ 小明解方程的方法是_________（填字母）A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤_________（填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 25．定义：如果关于x的一元二次方程（），有一个根是a，那么我们称这个方程为 “A方程”，如一元二次方程有一根为，所以此方程为“A方程”． (1)若关于x的一元二次方程是“A方程”，求k的值； (2)已知关于x的一元二次方程（）是“A方程”，求代数式的最小值． 26．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 27．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 28．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 29．【材料阅读】 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程． 如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根． 再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解． 【学以致用】 (1)求方程的根； (2)求方程的根． 30．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：，． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：，，，． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $