江苏省南京外国语学校2025-2026学年高一下学期期末数学试卷（A卷）

**基本信息** 南京外国语学校高一期末数学卷，以向量、复数、立体几何、概率统计为核心，通过分层设计与创新情境（如全运会选拔、拿破仑三角形），考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|向量运算、复数条件、立体几何位置关系|单选基础巩固，多选综合辨析（如复数几何意义与统计量分析）| |填空题|3/15|向量夹角、四棱台体积、不等式|第13题注水问题结合空间体积，考查几何直观| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、立体几何证明与二面角、拿破仑三角形|第17题禁建系强调逻辑推理，第16题全运会情境体现数据应用，第18题融合数学文化|

南京外国语学校 2025—2026学年度第二学期期末高一年级 数学试题（A卷） 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上。 1.若向量满足：，，则 A. B. C. D. 2.已知是两个复数，则“为实数”是“互为共轭复数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知空间中两条不同的直线，两个不同的平面，以下可以得到的是 A. B.直线上有两个不同的点到的距离相等 C. D. 4.若，，则 A. B. C. D. 5.在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线于点。设，，则的值为 A. B. C. D. 6.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的高为 A. B. C. D. 7.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法正确的是 A.当时， B.当时，事件和事件独立 C.当时，事件和事件独立 D.当时，事件和事件互斥 8.已知正方体中，，点为线段上靠近的三等分点，为底面正方形内的动点，平面，点的轨迹长为 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上。全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分。 9.已知复数，，，，在复平面内对应的点分别为，其中为虚数单位，为坐标原点，，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 10.若数据：的中位数是；数据：的平均数是。则关于数据：的统计量，下列说法正确的有 A.平均数是 B.中位数是 C.极差可能是 D.方差一定不是 11.已知在矩形中，，，将沿折叠至，设球为三棱锥的外接球，则 A.若，则三棱锥的体积为 B.若平面平面， C.若与所成的角的正切值为，则二面角的大小为 D.直线被球所截得的线段长度的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 12.向量，，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 。 13.现有甲、乙两个形状完全相同的四棱台容器如图所示，已知棱台上、下底面均为正方形，且，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度是四棱台高度的一半时用时。若按照相同的速度匀速往乙容器里注水，则当水的高度是四棱台高度的一半时，用时 。（甲：下底大、上底小正放四棱台；乙：倒置四棱台，小底朝下、大底朝上） 14.已知，则关于的不等式的解集为 。 四、解答题：本大题共5小题，共77分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 在中，设（1）若，求的长；（2）若点是中点，，且，求的取值范围。 16.（本小题满分15分） 为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图： （1）估计这40名选手专项考核成绩的70百分位数（结果精确到）；（2）现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级。若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格。已知甲、乙的考核结果互相不受影响，甲、乙两人在每项考核中取得等级的概率分别都是。求甲、乙两人至少1人获得参赛资格的概率。 17.（本小题满分15分）（建系不得分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点。 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值。 18.（本小题满分17分） 在中，内角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）分别以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，被称为“拿破仑三角形”，它是等边三角形。 ①若外接圆半径为，求的取值范围； ②若，的面积为，求的周长。 19.（本小题满分17分） 如图，在正四棱锥中，所有棱长均为，点是底面内任意一点，点到侧面的距离分别为，平面平面。 （1）证明：平面； （2）求的最大值； （3）记与侧面所成的角分别为，求的值。 学科网（北京）股份有限公司 $