第十七章 因式分解【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了因式分解的定义、提公因式法、公式法等核心知识，通过知识结构图表明确整式乘法与因式分解的互逆关系，串联提公因式“三定”原则、平方差与完全平方公式特征等内容，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-思想提升”分层设计，如通过拼图活动直观理解完全平方公式培养几何直观，结合整体思想解决代数式求值问题发展推理意识，设置密码生成等新题型增强应用意识。这种设计帮助学生夯实基础，教师可精准把握学情提升复习效率。

人教版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 章末复习 第十七章 因式分解 第十七章 因式分解 同步练习题（人教版八年级上册） 章节核心知识点总览：1. 因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（和整式乘法互为逆运算）；2. 解题万能顺序：一提、二套、三检查；3. 提公因式法：先找各项最大公因式（系数最大公约数+相同字母最低次幂），整体公因式优先；4. 两大公式法：平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$（两项、异号、平方形式），完全平方公式$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$（三项、首尾平方同号、中间两倍乘积）；5. 综合运算：先提公因式，再套用公式，最终必须分解彻底；6. 必考易错：分解不彻底、混淆平方差与完全平方、漏提负号、公因式找不全、整式乘法和因式分解混淆。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列变形属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+4x+1=x(x+4)+1$$ D. $$x^2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x$$ 2. 多项式$$3x^2-6x$$的公因式是（） A. $$3x$$ B. $$3$$ C. $$x$$ D. $$3x^2$$ 3. 下列多项式能运用完全平方公式分解的是（） A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C.$$x^2-2x-4$$ D. $$x^2+4$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 4. 因式分解的结果必须是几个________的积的形式。 5. 分解因式：$$a^2-16=$$________。 6. 分解因式：$$x^2-8x+16=$$________。 三、解答题（共60分） 7.（20分）提公因式法分解因式：（1）$$4x^2y-8xy^2$$ （2）$$-3a^2+6a$$ 8.（20分）公式法分解因式：（1）$$9x^2-25y^2$$ （2）$$a^2-12ab+36b^2$$ 9.（20分）综合法分解因式（先提后套）：（1）$$2x^2-8$$ （2）$$3x^2-12x+12$$ 参考答案与解析 选择题：1.A（因式分解是多项式化整式积，B是整式乘法，C、D未化成积的形式） 2.A（系数最大公约数3，相同最低次幂x，公因式为3x） 3.B（符合完全平方式特征：首平方、尾平方、中间两倍乘积） 填空题：4. 整式 5. $$(a+4)(a-4)$$ 6. $$(x-4)^2$$ 解答题：7. 解：（1）原式=$$4xy(x-2y)$$；（2）原式=$$-3a(a-2)$$。 8. 解：（1）原式=$$(3x)^2-(5y)^2=(3x+5y)(3x-5y)$$；（2）原式=$$(a-6b)^2$$。 9. 解：（1）原式=$$2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$$；（2）原式=$$3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2$$。 知识结构 整式的乘法 因式分解 公式法 乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a±b)2=a2±2ab+b2 特殊形式 相反变形 提公因式法 相反变形 具体方法 知识回顾 概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________. 与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. 因式分解 乘积 分解因式 知识点一 因式分解 注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止. 3 知识点二 提公因式法 公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式. 确定公因式：①定______，②定______，③定______. 提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式. 系数 字母 指数 知识点三 公式法 十字相乘法： x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) 综合运用多种方法分解因式 考点1 因式分解的定义 1.下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是(　　) A.x3－x＝x(x－1)(x＋1) B.a2(a－1)＝a3－a2 C.a2－2a－1＝a(a－2)－1 D.(a－3)(a＋3)＝a2－9 A 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 2.已知多项式x2＋ax－6因式分解的结果为(x＋2)•(x＋b)，则a＋b的值为(　　) A.－4 B.－2 C.2 D.4 A 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 考点2 用提公因式法和公式法分解因式 3.多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4；④－4x2－1＋4x.在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　) A.①④ B.①② C.③④ D.②③ A 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 4.下列因式分解正确的是(　　) A.ab＋ac＋a＝a(b＋c) B.a2－2a－3＝(a＋3)(a－1) C.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 D.a4－81＝(a2＋9)(a2－9) C 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 5. 因式分解： (1)a3－6a2＋9a； 【解】原式＝a(a2－6a＋9) ＝a(a－3)2. 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)(a2－6)2－6(a2－6)＋9； 【解】原式＝［(a2－6)－3］2 ＝(a2－9)2 ＝(a－3)2(a＋3)2. 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)； 【解】原式＝9a2(x－y)－4b2(x－y) ＝(x－y)(9a2－4b2) ＝(x－y)(3a－2b)(3a＋2b). 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (4)x2－3x＋2； 【解】原式＝(x－1)(x－2). (5)x2－xy＋xz－yz. 【解】原式＝(x2－xy)＋(xz－yz) ＝x(x－y)＋z(x－y) ＝(x－y)(x＋z). 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 考点3 因式分解的应用 6.［2026淄博期中］已知a－b＝3，b－c＝－4，则整式a2－ac－b(a－c)的值为(　　) A.－12 B.－4 C.－3 D.3 C 【点拨】∵a－b＝3，b－c＝－4，∴a－c＝－1.∴a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)＝3×(－1)＝－3. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 7.实数m满足(m－2 027)2＋(2 026－m)2＝15，则(m－2 027)(2 026－m)的值是　　　. －7 【点拨】∵(m－2 027)2＋(2 026－m)2＝15，∴［(m－2 027)＋(2 026－m)］2－2(m－2 027)(2 026－m)＝15.∴1－2(m－2 027) (2 026－m)＝15.∴1－15＝2(m－2 027)(2 026－m).∴(m－2 027)(2 026－m)＝－7. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 8. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x3－x可以因式分解为x(x－1)(x＋1)，当x＝29时，x－1＝28，x＋1＝30，此时可以得到的数字密码为282930，292830等.根据上述方法，当x＝15，y＝5时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成的数字密码是　　 　. 　 (写出一个即可). 152010 (答案不唯一) 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 【点拨】x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，当x＝15，y＝5时，x＋y＝20，x－y＝10，∴形成的密码可以是152010，151020，201510等. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 9.简便计算：222＋44×18＋182＋19×20. 【解】222＋44×18＋182＋19×20＝222＋2×22×18＋182＋×＝(22＋18)2＋202－2＝402＋400－＝1 600＋400－＝2 000－＝1 999. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 10.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由. 【解】该三角形是等边三角形.理由如下： ∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0， ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0. ∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝b，b＝c，即a＝b＝c. ∴该三角形是等边三角形. 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 涉及的多项式不止三项时，通常要将多项式进行分组，将每一组式子化为完全平方式是解此类问题的常用方法. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 11.已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值. 【解】(m＋2n)2－(3m－n)2＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n). 当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200. 返回 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 12. 一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；也可以表示成10a＋b，一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作. (1)－能被9整除吗？请说明理由； 【解】能被9整除.理由如下： －＝10a＋b－10b－a＝9a－9b＝9(a－b)， 易知a－b为整数， ∴－能被9整除. 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)小明发现：如果x＋y＋z能被3整除，那么就能被3整除.请补全小明的证明思路. 小明的证明思路 ＝　 　　　① ＝　　　 　②＋(x＋y＋z) ＝3(　　　 　)③＋(x＋y＋z). ∵代数式③，(x＋y＋z)都能被3整除， ∴能被3整除. 100x＋10y＋z (99x＋9y) 33x＋3y 核心考点整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 思想1 整体思想 13. ［上海中学自主招生］已知(b－c)2＝(a－b)(c－a)，且a≠0，求的值. 【解】∵(b－c)2＝4(a－b)(c－a)，即b2－2bc＋c2＝4ac－4bc＋4ab－4a2，∴4a2＋b2＋c2－4ac－4ab＋2bc＝0，(b2＋2bc＋c2)－4a(b＋c)＋4a2＝0，逆用完全平方公式得(b＋c)2－4a(b＋c)＋4a2＝0，［2a－(b＋c)］2＝0，∴2a＝b＋c.又∵a≠0，∴＝2. 返回 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 思想2 数形结合思想 14. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”. 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (1)用1张边长为a的正方形卡片，2张边长为a，b的长方形卡片，1张边长为b的正方形卡片，拼成一个正方形(如图①)，观察拼图的过程，写出相应的等式：　 　； a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (2)用1张边长为a的正方形卡片，3张边长为a，b的长方形卡片，2张边长为b的正方形卡片，拼成一个长方形(如图②)，观察拼图的过程，写出相应的等式：　 . 　； a2＋3ab＋2b2＝(a＋2b) (a＋b) 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (3)用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为　　　　； a＋3b 【点拨】∵用1张边长为a的正方形卡片，6张边长为a，b的长方形卡片，9张边长为b的正方形卡片拼成一个大正方形，∴大正方形卡片的面积为a2＋6ab＋9b2＝(a＋3b)2.∴大正方形的边长为a＋3b. 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (4)用4张边长为a，b的长方形卡片，拼成一个大正方形(如图③).若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的面积是16，则边长为a，b的长方形卡片的面积是　　； 12 【点拨】由题图可知4ab＝64－16，4ab＝48，ab＝12. 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 (5)将2张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内(m＜n)，拼成如图④所示的形状，再将3张边长为m的正方形卡片放到1张边长为n的正方形卡片内，拼成如图⑤所示的形状.若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面积大2m2，则m与n的关系为　　　　. m＝n 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 【点拨】题图④中阴影部分为正方形，且边长为2m－n，∴该阴影部分的面积为(2m－n)2.将题图⑤中阴影部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为n－m，∴阴影部分的面积为(n－m)2.∵题图⑤中阴影部分的面积比题图④中阴影部分的面积大2m2，∴(n－m)2－(2m－n)2＝2m2.∴n2－2mn＋m2－4m2＋4mn－n2＝2m2.∴2mn＝5m2.∵m＞0，∴5m＝2n.∴m＝n. 返回 思想方法整合 思想方法整合 综合应用题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 创新拓展题 创新拓展题 综合应用题 创新拓展题 中考考法 $