第06讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）

第06讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程的理解 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由圆心(或半径)求圆的方程 题型02：求过已知三点的圆的标准方程 题型03：由标准方程确定圆心和半径 题型04：圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型05：求圆的一般方程 题型06：由圆的一般方程确定圆心和半径 题型07：判断点与圆的位置关系 题型08：点与圆的位置关系求参数 题型09：求圆的轨迹方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆的标准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程. 温馨提示　(1)圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程. (2)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a,b,r(r>0). (3)当圆心在原点即C(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆. 【例1】求以 为圆心，半径 的圆的标准方程，并判断点 是否在圆上。 解：第一步：明确已知条件 圆心 ，半径 。 第二步：代入圆的标准方程公式 将 代入 ： 第三步：验证点与圆的位置（点在圆上判定） 把点 代入方程左侧： 左侧结果等于右侧 ，等式成立。 答：圆的标准方程为 ，点 在圆上。 【知识点02】点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0), 设d=PC=. 位置关系 几何法:利用距离判断 代数法:利用方程判断 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 【例2】已知圆的方程为 ，判断点 、、 与圆的位置关系。 解：第一步：提取圆的核心参数 由方程得：圆心 ，半径平方 。 第二步：判定点 的位置 因为 ，所以 点A在圆内。 第三步：判定点 的位置 因为 ，所以 点B在圆上。 第四步：判定点 的位置 因为 ，所以 点C在圆内。 答：点A、C在圆内，点B在圆上。 【知识点03】圆的一般方程的理解 1.圆的一般方程的概念 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为,半径长为. 温馨提示　1.二元二次方程要想表示圆,需x2与y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项. 2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 【例3】判断方程 是否为圆的方程，若为圆，求出圆心坐标与半径。 解：第一步：确定系数 由一般方程得：。 第二步：判别方程轨迹 满足圆的判定条件，该方程表示圆。 第三步：求圆心坐标 圆心坐标为 。 第四步：求半径 答：该方程表示圆，圆心为 ，半径 。 【题型01】由圆心(或半径)求圆的方程 【典例1-1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标和半径，即可得出圆的方程. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为， 故所求圆的方程为. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两点的中点坐标即为圆心，再求出两点间的距离即为直径，从而求出圆的方程. 【详解】和为一条直径的两个端点，两点的中点即为圆的圆心， 又两点间的距离，圆的半径为， 则所求圆的方程为，即. 故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·河南开封·期末）圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【分析】设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求出圆心坐标与半径，可得圆的方程. 【详解】设圆心坐标为，则， 解得，即圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为 故答案为：. 【变式1-3】求以为圆心且经过原点O的圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆心和半径即可求解. 【详解】圆的半径， 故所求圆的方程为． 【题型02】求过已知三点的圆的标准方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）过点，，的圆的圆心坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆过，这两个点，利用圆心在线段的垂直平分线上，得到圆心在直线上，此时设圆心的坐标为，利用半径相等，使用两点间距离公式，列出关于的等式，求解即可. 【详解】圆过点，， 圆心在直线上， 设圆心坐标为， 圆过点，， ， ， 圆心坐标为. 故选：B. 【变式2-1】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）过三点，，圆的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在弦的中垂线上可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可. 【详解】由题，设三点，，，则的中垂线方程为， 又的中点为，且直线的斜率为，故直线的中垂线斜率为， 故直线的中垂线方程为，即， 由 故圆心的坐标为，半径， 故圆的方程为. 故答案为： 【变式2-3】分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由题意可以先求出圆的半径，然后结合圆心即可直接写出圆的标准方程. （2）首先由待定系数法求出圆的一般方程，然后将其化为标准形式即可. 【详解】（1）因为圆与x轴相切，且圆心为， 所以圆的半径为， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为. （2）不妨设圆的方程为， 由题意将代入圆的方程得， 解方程组得， 所以过三点的圆的方程为， 将其化为标准形式得. 【题型03】由标准方程确定圆心和半径 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程为，则圆心坐标为直接求解即可． 【详解】因为圆， 所以圆心坐标是． 故选：B． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由有圆心坐标为，半径为， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为______. 【答案】2 【分析】设圆心为，由题意列式求解，即得答案. 【详解】因为圆C的圆心在直线上， 故设圆心为，由题意可得圆的半径为或， 则，解得，即得圆的半径为2， 故答案为：2 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【答案】(1) (2)，圆心为，半径为． 【分析】（1）先求出的中点的坐标，进而利用两点斜率公式求得中线的斜率，最后利用点斜式直线方程求解即可； （2）设出圆的方程，将点的坐标代入求解圆的方程，然后化为圆的标准方程，即可求得圆心和半径. 【详解】（1）由题意得的中点为，， 所以边上的中线所在的直线方程为，即． （2）设所求圆的方程为， 则 解得，，， 所以该圆的方程为， 又化为标准方程为， 所以该圆的圆心为，半径为． 【题型04】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【典例4-1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解. 【详解】由题意知，圆的标准方程为, 所以圆心坐标为，半径. 故选：C 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【答案】AD 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 【变式4-2】圆的半径为_________ 【答案】 【分析】利用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程即可求解. 【详解】由，得， 所以圆的半径为. 故答案为： 【变式4-3】下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是圆，圆心坐标为(2，0)，半径为2； (2)不表示圆，表示一个点(2，1)； (3)不表示任何曲线. 【分析】将方程化为的形式即可判断是否为圆，若为圆，根据圆的标准方程直接得出圆心坐标和半径. 【详解】（1）由， 可得， 所以圆心坐标为(2，0)，半径为2； （2）由， 可得， 所以该方程不表示圆，表示一个点(2，1)； （3）由， 可得， 所以该方程不表示任何曲线. 【题型05】求圆的一般方程 【典例5-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的方程为，根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到圆的一般方程. 【详解】由题意，设所求圆的一般方程为， 因为圆过点，，， 可得，解得， 所以所求圆的一般方程为. 故选：B. 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】求出的垂直平分线方程为，设，则，再根据半径，列方程求出，进而得到圆的方程. 【详解】，，中点坐标为，， 所以的垂直平分线方程为， 设圆心为，则半径为，故， 所以，即， 解得或， 所以方程为或． 故选：BC． 【变式5-2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【答案】 【分析】设出三角形外接圆的一般式方程，利用待定系数法列式求解. 【详解】设的外接圆方程为， 依题意得，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为： 【变式5-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2） 设的外接圆方程为， （3） 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 【题型06】由圆的一般方程确定圆心和半径 【典例6-1】（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程配方化成标准方程即得. 【详解】由配方得， 故圆的圆心坐标为. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，可得答案. 【详解】圆的标准方程为，故该圆的圆心为，半径为. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是_____；半径为______. 【答案】 3 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，进而即可求解. 【详解】由，即， 所以圆心坐标为，半径为. 故答案为：；3. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是圆的方程 (2)不是圆的方程 (3)是圆的方程，圆心， (4)当时，不是圆的方程；当时，是圆的方程，圆心，. 【分析】圆的一般方程为：，其中系数相同，一般方程中不含有项，而且.圆心为，半径. 【详解】（1）由于的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． （2）由于该二次方程中含有项，所以该二元二次方程表示的不是圆． （3）由于，所以该二元二次方程表示的是圆． 又由可得:圆心，半径． （4）， 当时，，不能表示圆的方程； 当时，，能表示圆的方程，此时圆心， 半径. 【题型07】判断点与圆的位置关系 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 【变式7-1】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 【变式7-2】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 【变式7-3】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】，点在这个圆上，点不在这个圆上 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上． 【详解】圆心为，半径为5的圆的标准方程是, 因为，所以点的坐标满足圆的方程， 所以点在这个圆上． 因为，所以点的坐标不满足圆的方程， 所以点不在这个圆上（如图）．    【题型08】点与圆的位置关系求参数 【典例8-1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 【变式8-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系求解. 【详解】由题意可知，点在圆外， 则，得， 故的取值范围为. 故选：B 【变式8-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由点与圆的位置关系可得答案. 【详解】由题知， 解得. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在的外接圆上试求的值． 【答案】或． 【分析】设圆的一般方程，由三角形三个顶点在圆上，将三角形三个顶点的坐标代入圆的一般方程得到方程组，求解方程组得到参数的值，从而得到圆的一般方程，再将点坐标代入圆方程，求得的值. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意得解得， 即的外接圆方程为． 又因为点在所求的圆上， 故点的坐标满足圆的方程， 可得， 即， 解得或． 【题型09】求圆的轨迹方程 【典例9-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据可整理得到结果. 【详解】由题意知：， 设，则， ，整理可得：， 即点的轨迹方程为：. 故选：D. 【变式9-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为. 故选：A 【变式9-2】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设，根据中点公式得到，代入已知圆的方程即可得轨迹方程. 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 【变式9-3】已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【答案】且 【分析】根据中点坐标公式，结合点点距离公式即可求解. 【详解】设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且 知识点01圆的标准方程 1. 核心定义 在平面直角坐标系中，平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的轨迹为圆，对应的方程为圆的标准方程。 2. 标准公式（微软公式） 设圆心为 ，半径为 ，则圆的标准方程： 3. 特殊形式 当圆心在坐标原点 时，圆的标准方程简化为： 4. 核心特点 方程结构直观，可直接读出圆心坐标和半径，是求解圆方程、判定圆基本信息的首选形式，适用于已知圆心、半径或可快速求出圆心半径的题型。 5. 必备条件 半径 ，若 ，轨迹退化为一个点，不构成圆。 知识点02点与圆的位置关系 1. 判定原理 根据平面内任意一点到圆心的距离与半径的大小关系判定，为简化计算，统一比较距离平方与半径平方，无需开方运算。 2. 判定公式与结论 已知圆 ，圆心 ，任意点 ： ① 点在圆外： ② 点在圆上： ③ 点在圆内： 3. 考点应用 点在圆上：可代入方程求参数；点在圆内/外：常用于不等式取值范围、轨迹范围判定。 知识点03圆的一般方程 1. 一般方程标准形式 其中 为常数，且二次项系数均为1，无 交叉项。 2. 轨迹判定核心条件 由判别式 判定图形： ① ：方程表示圆； ② ：方程表示一个点（圆心）； ③ ：无轨迹，不表示任何图形。 3. 圆心与半径公式 当方程表示圆时，圆心坐标： 半径公式： 4. 一般方程特点 适用于已知圆上多点，待定系数求方程的题型；需先判定轨迹是否为圆，再计算圆心和半径。 知识点04标准方程与一般方程互化 1. 标准转一般 将 完全展开、整理，即可得到一般式 。 2. 一般转标准 通过配方法，对 分别配方，整理为平方和等于半径平方的标准形式。 知识点05本节高频易错点汇总 1. 圆的一般方程必须满足二次项系数相等且不为0，无交叉项，否则不是圆的方程； 2. 由一般方程求圆心时，横坐标、纵坐标均带负号，是高频计算失误点； 3. 未判定 正负，直接默认方程为圆； 4. 点与圆位置关系判定，禁止漏平方、误用半径而非半径平方比较。 一、单选题 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆的面积最小即直径最小，即当直径为时最小，求出圆心及半径即可得标准方程. 【详解】根据题意，要使过点，的圆的面积最小，那么此时圆的直径为， 此时圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为，故B正确. 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法、配方法进行求解即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为的三个顶点分别为， 所以有， 配方得， 故选：C 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，根据线段的中点坐标得到与和与的关系式，再代入圆的方程即可求得结果. 【详解】设，，则线段的中点坐标为， 即，所以. 因为点在圆上，所以满足. 化简得. 故选：C. 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意计算即可. 【详解】由， 化简可得， 则有，解得. 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解. 【详解】由，化简可得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得， 故实数的取值范围是． 故选：A. 8．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，求出圆的一般方程，求其半径长即可. 【详解】如下图所示，以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意可知、、， 设圆弧所在圆的方程为， 将、、三点的坐标代入圆的方程可得，解得， 所以圆弧所在圆的一般方程为，标准方程为， 故该圆的半径为. 故选：C. 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于方程表示圆，当且仅当，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于选项A：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项A错误； 对于选项B：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项B错误； 对于选项C：，则，表示一个圆（圆心为，半径为3），即选项C正确； 对于选项D：，则，表示一个圆（圆心为，半径为1），即选项D正确； 故选：CD． 10.设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 【答案】AB 【分析】对于AD：由题意可知：圆，的圆心，半径，进而分析判断；对于CD：分别将点，代入方程，通过解的个数分析判断. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径. 对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确； 对于选项B：令，整理得， 因为，可知方程无解， 所以所有圆均不经过点，故B正确； 对于选项C：令，整理得， 因为，可知方程有两个不同的解， 所以经过点的圆有且只有两个，故C错误； 对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误； 故答案为：AB. 11．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 【答案】BCD 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，方程，可化为， 可圆的圆心坐标为， A中，当时，此时半径为，所以A错误； B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确； C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确； D中，当时，可得，方程表示的圆半径为， 又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确． 故选：BCD. 三、填空题 12. （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则圆的半径最大时圆的方程为______． 【答案】 【分析】将一般方程转化成标准方程，再由半径最大求出的值，即可得出结果. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得，因此当时，圆的半径最大， 此时圆的方程为. 故答案为： 13．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】设圆的一般方程，代入顶点坐标待定系数法可解出，再转化为圆的标准方程即可. 【详解】设圆的方程为， 把的顶点坐标，，代入可得， 解得， 故所求的的外接圆的方程为， 化为标准方程可得：. 故答案为：. 14. （25-26高二上·重庆·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为___________m． 【答案】7 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故答案为：7. 四、解答题 15．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 【答案】 【分析】根据圆的一般式列方程求解. 【详解】设所求圆的方程为, 因为点，，在所求的圆上， 所以，解得， 故所求圆的方程是． 16．（24-25高二下·内蒙古通辽）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 【答案】 【分析】设，则，又，代入即可求解. 【详解】设，由中点坐标公式可得， 所以， 又点在圆：上， 所以， 将代入得，即， 所以的轨迹方程为. 17．（25-26高二上·江苏·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线BC的斜率k，代入点斜式方程，整理即可得答案. （2）设出圆的一般方程，将A、B、C点坐标代入，待定系数，即可得答案. 【详解】（1）直线BC的斜率，则方程为，变形为. （2）设外接圆的一般方程为， 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的方程， 所以，即，解得， 故所求圆的一般方程为. 18. （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线 (1)求直线所过定点的坐标 (2)已知圆经过定点，，，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线方程变形成，再由，即可求解； （2）设圆的方程为，将点的坐标代入求出，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 由，解得，所以直线所过定点的坐标为. （2）由（1）知，又，， 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 19．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程的理解 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由圆心(或半径)求圆的方程 题型02：求过已知三点的圆的标准方程 题型03：由标准方程确定圆心和半径 题型04：圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型05：求圆的一般方程 题型06：由圆的一般方程确定圆心和半径 题型07：判断点与圆的位置关系 题型08：点与圆的位置关系求参数 题型09：求圆的轨迹方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆的标准方程 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫作以点(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程. 温馨提示　(1)圆的标准方程是关于x,y的二元二次方程. (2)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a,b,r(r>0). (3)当圆心在原点即C(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆. 【例1】求以 为圆心，半径 的圆的标准方程，并判断点 是否在圆上。 【知识点02】点与圆的位置关系 圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0), 设d=PC=. 位置关系 几何法:利用距离判断 代数法:利用方程判断 点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆内 d<r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 【例2】已知圆的方程为 ，判断点 、、 与圆的位置关系。 【知识点03】圆的一般方程的理解 1.圆的一般方程的概念 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心为,半径长为. 温馨提示　1.二元二次方程要想表示圆,需x2与y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项. 2.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 【例3】判断方程 是否为圆的方程，若为圆，求出圆心坐标与半径。 【题型01】由圆心(或半径)求圆的方程 【典例1-1】（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）以和为一条直径的两个端点的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·河南开封·期末）圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的标准方程为___________. 【变式1-3】求以为圆心且经过原点O的圆的方程． 【题型02】求过已知三点的圆的标准方程 【典例2-1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）过点，，的圆的圆心坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）过三点，，圆的方程为__________. 【变式2-3】分别根据下列条件求圆的标准方程： (1)圆心为，且与x轴相切； (2)过三点. 【题型03】由标准方程确定圆心和半径 【典例3-1】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）圆C的圆心在直线上，且C与x轴、y轴均相切，则C的半径为______. 【变式3-3】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求外接圆的方程，并求出圆心和半径． 【题型04】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【典例4-1】（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． A．圆心坐标为 B．圆心坐标为 C．半径 D．半径 【变式4-2】圆的半径为_________ 【变式4-3】下列各方程是否表示圆？若表示圆，求其圆心的坐标和半径． (1)； (2)； (3)． 【题型05】求圆的一般方程 【典例5-1】（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）过点的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（多选）（25-26高二上·安徽亳州·期中）已知圆与轴相切，且经过两点，，则圆的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测），，.三角形的外接圆方程为_______. 【变式5-3】（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【题型06】由圆的一般方程确定圆心和半径 【典例6-1】（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·广东广州·期中）圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（24-25高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知圆的一般方程为，其圆心坐标是_____；半径为______. 【变式6-3】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型07】判断点与圆的位置关系 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【变式7-1】（多选）（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【变式7-3】求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【题型08】点与圆的位置关系求参数 【典例8-1】（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知点在圆内，则实数的取值范围为__________. 【变式8-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，点在的外接圆上试求的值． 【题型09】求圆的轨迹方程 【典例9-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知点和点，动点与点的距离是它与点的距离的倍，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二下·宁夏银川·开学考试）已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【变式9-3】已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 知识点01圆的标准方程 1. 核心定义 在平面直角坐标系中，平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的轨迹为圆，对应的方程为圆的标准方程。 2. 标准公式（微软公式） 设圆心为 ，半径为 ，则圆的标准方程： 3. 特殊形式 当圆心在坐标原点 时，圆的标准方程简化为： 4. 核心特点 方程结构直观，可直接读出圆心坐标和半径，是求解圆方程、判定圆基本信息的首选形式，适用于已知圆心、半径或可快速求出圆心半径的题型。 5. 必备条件 半径 ，若 ，轨迹退化为一个点，不构成圆。 知识点02点与圆的位置关系 1. 判定原理 根据平面内任意一点到圆心的距离与半径的大小关系判定，为简化计算，统一比较距离平方与半径平方，无需开方运算。 2. 判定公式与结论 已知圆 ，圆心 ，任意点 ： ① 点在圆外： ② 点在圆上： ③ 点在圆内： 3. 考点应用 点在圆上：可代入方程求参数；点在圆内/外：常用于不等式取值范围、轨迹范围判定。 知识点03圆的一般方程 1. 一般方程标准形式 其中 为常数，且二次项系数均为1，无 交叉项。 2. 轨迹判定核心条件 由判别式 判定图形： ① ：方程表示圆； ② ：方程表示一个点（圆心）； ③ ：无轨迹，不表示任何图形。 3. 圆心与半径公式 当方程表示圆时，圆心坐标： 半径公式： 4. 一般方程特点 适用于已知圆上多点，待定系数求方程的题型；需先判定轨迹是否为圆，再计算圆心和半径。 知识点04标准方程与一般方程互化 1. 标准转一般 将 完全展开、整理，即可得到一般式 。 2. 一般转标准 通过配方法，对 分别配方，整理为平方和等于半径平方的标准形式。 知识点05本节高频易错点汇总 1. 圆的一般方程必须满足二次项系数相等且不为0，无交叉项，否则不是圆的方程； 2. 由一般方程求圆心时，横坐标、纵坐标均带负号，是高频计算失误点； 3. 未判定 正负，直接默认方程为圆； 4. 点与圆位置关系判定，禁止漏平方、误用半径而非半径平方比较。 一、单选题 1．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点，的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点分别为，则的外接圆方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若点 在圆 上运动，且点 与点 所连线段的中点为 ，则点 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆的圆心在第二象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）“圆”在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的月洞门.如图，某园林中的圆弧形月洞门高为，底面宽为，则该月洞门所在圆弧的半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高二上·全国·专题练习）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 10.设有一组圆，下列命题正确的是（　　） A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为4 11．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆 C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切 三、填空题 12. （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则圆的半径最大时圆的方程为______． 13．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）已知的三个顶点为，，，则外接圆的标准方程为__________. 14. （25-26高二上·重庆·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱（将支柱视为两条线段），且，则支柱的高度为___________m． 四、解答题 15．已知 的三个顶点为，，，求外接圆的方程． 16．（24-25高二下·内蒙古通辽）已知圆：，为圆上任一点，为定点，的中点为.求：动点的轨迹方程 17．（25-26高二上·江苏·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 18. （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线 (1)求直线所过定点的坐标 (2)已知圆经过定点，，，求圆的方程． 19．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $