福建省厦门大学附属科技中学2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试题

姓名________ 班级________ 座号________ （在此卷上答题无效） 2025-2026学年（下）厦门大学附属科技中学高一期末考前模拟测试 数学试题 （考试时长：120分钟 满分：150分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第2-4页． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的． 1．复数的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ）． A． B． C． D． 3．已知点，，且，则点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色的围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色的围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目约为（ ） A．200颗 B．300颗 C．400颗 D．500颗 5．已知一组数据：x，1，2，3，4，5，17，若该组数据的第80百分位数为5，平均数不小于5，则实数x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．如图，圆内接四边形中，，，，，．现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，并约定规则如下：在每个回合中，若发球方赢球，则得1分，并且下一回合继续由其发球；若发球方输球，则双方均不得分，且下一回合交换发球权；比赛持续三回合后结束，若最终甲乙得分相同，则为平局．已知在每回合中，甲获胜的概率均为，各回合比赛结果相互独立，第一回合由甲发球．则甲乙两人在比赛中平局的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件A，“点数大于2”记为事件B，“点数小于3”记为事件C．下列说法正确的是（ ） A．A与C互斥 B．B与C对立 C．A与B相互独立 D． 10．在复平面内，复数对应的点为Z，向量绕原点O逆时针旋转至处，若旋转角为，则（ ） A．Z的坐标为 B． C．当时， D．的坐标为 11．在正三棱柱中，，E，F，G，H分别为，，，的中点，动点N在四边形内及其边界上运动，则下列说法正确的是（ ） A．E，F，G，H四点共面 B．与所成角的余弦值为 C．正三棱柱的外接球表面积为 D．若平面，则动点N的轨迹长度为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为____________． 8823 6833 0877 6314 6621 4302 9714 1298 3204 0234 4936 8200 1323 4869 6938 7181 13．甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，，，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为____________． 14．在圆内接四边形中，，，若，则的面积最大值为____________． 第Ⅱ卷 四．解答题：本大题共6小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． （1）求m的值，并估计样本中成绩的上四分位数； （2）若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在内的平均数为88，方差为7，成绩在[90，100]内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差． 16．（15分） 如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N． （1）设，，试用，表示； （2）设，，求的最小值． 17．（15分） 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的大小； （3）点T是棱上的动点（不包括端点），求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 19．（17分） 在不透明的甲袋中装有相同的6个红色的乒乓球，其中a个球上标有数字1，b个球上标有数字2，个球上标有数字3，在不透明的乙袋中装有相同的3个白色的乒乓球，其中m个球上标有数字1，n个球上标有数字2，个球上标有数字3． （1）若，，分别从甲、乙袋中随机摸出一个球，求摸出两个球的数字相等的概率； （2）若，，，，从甲袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为p，再从乙袋中有放回地随机摸出两个球，记下数字之和为q，求的概率； （3）若，，，，将乙袋中的球倒入甲袋中，此时从甲袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件，事件，M，N是否相互独立？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）厦门大学附属科技中学高一期末考前模拟测试 1．A 2．B 3．A 4．B 5．A 6．D 7．D． 8．D 二、多选题 9．BC 10．BCD 11．ACD 三、填空题 12．04 13． 14． 15．【答案】（1），86 （2）平均数为91，方差为22． 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1， 则，解得， 前四个小矩形的面积之和为， 前五个小矩形的面积之和为，所以成绩的上四分位数落在内，设其为a， 则，解得，即估计样本中成绩的上四分位数为86． （2）样本中成绩在内占成绩在内的比例为， 样本中成绩在内占成绩在内的比例为． 设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为，， 由分层随机抽样的平均数公式可得， 由分层随机抽样的方差公式可得， 故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22． 16．【答案】（1） （2） 【小问1详解】由，得，所以． 【小问2详解】由（1）知，，而，， 因此，而M，O，N共线，则， 又，，于是， 当且仅当即，时，等号成立，所以的最小值为． 17．【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为． 18．【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【小问1详解】，，， 所以，，所以在中，由余弦定理得 ， 所以，所以，因为底面，平面，所以． 又，，平面，所以平面． 【小问2详解】取的中点E，过点D作平面，交平面于点F，连接． 因为平面，平面，所以平面平面． 因为平面平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为，，所以，， 又，平面，，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面， 所以点A到平面的距离等于点D到平面的距离，所以， 由（1）知平面，因为平面，所以． 因为平面，平面，所以． 又，平面，，所以平面 因为平面，所以． 由，，平面平面，知是二面角的平面角的补角． 由，，，得．所以二面角的大小为． 【小问3详解】过点T作平行于，交于点G，连接． 因为平面，，平面，所以，． 因为，所以，． 因为，，平面，所以平面，所以与底面所成的角为． 设（），所以，即，所以，． 所以． 由函数单调递增，得； 所以直线与平面所成角的正切值的取值范围为． 19．【答案】（1） （2） （3）是 【小问1详解】给定，． 甲袋：6个红球，其中标数字1的球有2个，标数字2的球有2个，标数字3的球有2个． 乙袋：3个白球，其中标数字1的球有1个，标数字2的球有1个，标数字3的球有1个． 设X为从甲袋摸出的球的数字，Y为从乙袋摸出的球的数字． ，，． ，，． 摸出两个球数字相等的概率为： ． 【小问2详解】给定，，，． 甲袋：6个红球，其中标数字1的球有2个，标数字2的球有4个，无标数字3的球． 乙袋：3个白球，其中标数字1的球有1个，标数字2的球有0个，标数字3的球有2个． 从甲袋有放回摸两个球，数字和： ，． p的分布： ， ， ． 从乙袋有放回摸两个球，数字和： ，，． q的分布： ， ， ． p和q独立，求：满足的组合： ，：，，：， ，：，，：，，：． 总和：． 【小问3详解】给定，，，． 甲袋：6个红球，其中标数字1的球有2个，标数字2的球有4个，无标数字3的球． 乙袋：3个白球，其中标数字1的球有1个，标数字2的球有2个，无标数字3的球． 将乙袋球倒入甲袋后，总球数9个：标数字1的球有个，标数字2的球有个． 事件定义：M：第一次取到红球（红球共6个），N：第二次取到标数字1的球（标数字1的球共3个）． 计算概率：，：第二次取到标数字1的球，由全概率公式： ， ，此时剩余标数字1的球有2个，总球8个，故． ，此时剩余标数字1的球有3个，故． ． ：第一次取到红球且第二次取到标数字1的球．有序抽取，总可能结果数：． 有利结果： 第一次取标数字1的红球（有2个），第二次取标数字1的球（剩余2个标数字1的球）：种． 第一次取标数字2的红球（有4个），第二次取标数字1的球（剩余3个标数字1的球）：种． 总和：种．． 验证独立性：，． 因为，所以事件M和N相互独立． 学科网（北京）股份有限公司 $