2.6　直角三角形 同步练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本资料为初中数学“直角三角形”新授课同步练习，含性质与判定两课时（共142分），分层设计清晰，从基础概念到综合应用梯度递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|直角三角形锐角关系、中线性质等单一知识点|选择题直接考查概念（如第1题锐角互余），填空题强化基础运算（如第6题斜边中线与高求面积），培养抽象能力与运算能力| |中档|性质与判定综合应用|解答题结合图形转化（如第9题30°角性质证明），中档选择涉及动态情境（如第3题木棍滑动中点距离），发展几何直观与推理意识| |拔高|跨知识点综合与探究|压轴题含动态问题（如第13题动点构成直角三角形）、模型应用（如第12题等腰直角三角形旋转），提升空间观念与模型观念|

2.6　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为(　D　) A.y=180＋x B.y=180－x C.y=90＋x D.y=90－x 2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为(　A　) A.3 cm B.3.5 cm C.4.5 cm D.6 cm 3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离(　D　) A.变大 B.变小 C.先变小后变大 D.不变 4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是(　A　) A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】 ∵D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC=6， ∴BD=CD=AD=AC=3。 又∵∠BDC=60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC=BD=3。 5.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为　35　°。  【解析】 ∵∠ABC=90°，D为AC的中点，C=55°， ∴BD=AC=AD，∠A=90°－∠C=35°， ∴∠ABD=∠A=35°。 6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为　30　。  7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8 m，则DE的长为　4　m。  8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4 cm，则AB=　16　cm，CD=　8　cm。  【解析】 ∵DE⊥AC，∠A=30°，DE=4 cm， ∴AD=2DE=8 cm。 又∵D为AB的中点， ∴AB=2AD=16 cm。 又∵∠ACB=90°， ∴CD=AB=8 cm。 9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=AB。 (1)(5分)请用两种方法完成证明。 (2)(3分)这个命题的逆命题是　真　命题(填“真”或“假”)。  证明：(1)方法一：如答图1，延长BC至点D，使CD=BC，连结AD，则易知∠BCA=∠ACD=90°。 又∵BC=CD，∴AB=AD， ∴∠DAC=∠BAC=30°，∴∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD， ∴BC=CD=BD=AB。 图1 图2 第9题答图 方法二：如答图2，取AB的中点D，连结DC，则CD=AB=AD=DB， ∴∠DCA=∠A=30°， ∴∠BDC=∠DCA＋∠A=60°， ∴△DBC为等边三角形， ∴BC=DB=AB。 10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为(　C　) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】 如答图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D。 第10题答图 ∵在Rt△ACD中，∠CAD=180°－∠BAC=30°，AB=AC=4， ∴CD=AC=2， ∴S△ABC=AB·CD=×4×2=4。 11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为(　C　) A.5 B.7 C.10 D.12 【解析】 如答图，连结AF。 第11题答图 ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°。 ∵EF为AB的垂直平分线， ∴AF=BF=5， ∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠CAF=∠BAC－∠BAF=90°。 又∵∠C=30°， ∴FC=2AF=10。 12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为　3　。  【解析】 如答图，连结CM，CN。 第12题答图 在△ABC中，∠ACB=90°，M，N分别是DE，AB的中点， ∴CN=AB=5，CM=DE=2。 当点C，M，N在同一条直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为5－2=3。 13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。 证明：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线， ∴CD=AD=DB，∠A＋∠B=90°， ∴∠B=∠DCB。 ∵DE⊥AB，∴∠A＋∠AED=90°， ∴∠B=∠AED， ∴∠AED=∠DCB。 14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。 (1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。 (2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。 解：(1)∵∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点， ∴OA=OD=BD，OC=OD=BD， ∴∠ADB=∠OAD=30°，∠BDC=∠OCD=40°， ∴∠AOB=∠ADB＋∠DAO=60°，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=80°， ∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=140°。 (2)同(1)可知，∠ADB=∠OAD，∠BDC=∠OCD， 而∠AOB=∠ADB＋∠DAO=2∠ADB，∠BOC=∠CDB＋∠OCD=2∠CDB， ∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=2∠ADB＋2∠CDB=2∠ADC=2α。 15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。 (1)(5分)求证：DE=DF。 (2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。 第15题图 第15题答图 解：(1)∵BE⊥AC，CF⊥AB，D是BC的中点， ∴DE=BC，DF=BC。 ∴DE=DF。 (2)如答图，过点E作EG⊥DF于点G。 ∵∠A=75°， ∴∠ABC＋∠ACB=105°。 易知BD=DF=BC， ∴∠DBF=∠BFD， ∴∠BDF=180°－2∠DBF。 同理∠EDC=180°－2∠BCA， ∴∠FDB＋∠EDC=180°－2∠ABC＋180°－2∠BCA=360°－2×105°=150°， ∴∠EDF=180°－150°=30°。 ∵BC=8，∴DE=4=DF。 又∵∠EGD=90°，∴EG=DE=2， ∴S△DEF=DF·EG=×4×2=4。 第2课时　直角三角形的判定 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是(　D　) A.∠A＋∠B=∠C B.∠A－∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=2∠C 2.下列说法错误的是(　A　) A.三角形的三条高线都在三角形内部 B.三角形的三条角平分线都在三角形内部 C.三角形的重心是三角形三条中线的交点 D.有两个角互余的三角形是直角三角形 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为(　B　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为(　A　) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA=　90　°。  6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则此三角形是　等腰直角　三角形。  【解析】 ∵∠A=∠B=∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°， ∴∠C＋∠C＋∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴∠A=∠B=×90°=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形。 7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。 证明：∵CE⊥AD， ∴∠C＋∠D=90°。 又∵∠A=∠C，∴∠A＋∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形。 8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。 (1)(4分)求证：BE=AC。 (2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。 解：(1)∵AD⊥BC， ∴∠ADC=∠BDE=90°。 又∵∠ABC=45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD=BD。 又∵DE=DC， ∴.△ADC≌△BDE(SAS)， ∴BE=AC。 (2)BE⊥AC。理由如下： 如答图，延长BE，交AC于点F。 第8题答图 由(1)得，△ADC≌△BDE， ∴∠DBE=∠DAC。 又∵∠DAC＋∠C=90°， ∴∠DBE＋∠C=90°， ∴∠BFC=180°－(∠DBE＋∠C)=90°， ∴BE⊥AC。 9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。 (1)(3分)逆命题是：　如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形　。  (2)(5分)已知：　)在△ABC中，CD是AB边的中线，且CD=AB　。  求证：　△ABC是直角三角形　。  证明： 证明：(2)如答图。 第9题答图 ∵CD是AB边的中线， ∴BD=AD=AB。 又∵CD=AB， ∴BD=AD=CD， ∴∠DCB=∠B，∠DCA=∠A。 ∵∠A＋∠B＋∠ACB=180°， ∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠DCA=180°， ∴2(∠DCB＋∠DCA)=180°， ∴∠DCB＋∠DCA=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形。 10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为　4　。  【解析】 如答图，连结AE。 第10题答图 ∵AB=AD，E是BD的中点， ∴AE⊥BD，∴△AEC是直角三角形。 又∵F是AC的中点，AC=8， ∴EF=AC=4。 11.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。 (1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。 (2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。 解：(1)∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线， ∴EF=BF=AB， ∴∠B=∠BEF。 又∵∠B=∠C， ∴∠C=∠BEF。 又∵∠AEF=∠CEG，∠BEF＋∠AEF=90°， ∴∠C＋∠CEG=90°， ∴∠EGC=90°， ∴EG是△CDE的高线。 (2)△ABE是等腰直角三角形。理由如下： ∵EG是△CDE的中线，EG⊥CD， ∴EG是CD的垂直平分线， ∴DE=CE， ∴△DEC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°， ∴∠A=90°－∠B=45°=∠B， ∴AE=BE， ∴△ABE是等腰直角三角形。 12.(8分)如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°。求证： (1)(4分)AE=BD。 (2)(4分)AE⊥BD。 证明：(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC， ∴∠ACB＋∠BCE=∠DCE＋∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD。 在△ACE与△BCD中， ∵ ∴△ACE≌△BCD(SAS)， ∴AE=BD。 (2)由(1)知△ACE≌△BCD， ∴∠AEC=∠BDC。 ∵∠BDC＋∠CND=90°，∠CND=∠ONE， ∴∠AEC＋∠ONE=90°， ∴∠NOE=90°， ∴AE⊥BD。 13.(10分)[模型观念]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm。动点P，Q分别从A，B两点同时出发，各在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2 cm/s，vQ=1 cm/s。当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)。 (1)(5分)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？ (2)(5分)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 解：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm， ∴BC=AB=2 cm，∠B=60°。 ∵4÷2=2(s)，2×1=2(cm)， ∴当点P到达点B时，点Q恰好到达点C， ∴0≤t≤2，BP=4－2t，BQ=t。 (1)当BP=BQ时，△PBQ是等边三角形， 此时4－2t=t，∴t=， ∴当t=时，△PBQ是等边三角形。 (2)分两种情况讨论： ①当∠BQP=90°时，∠BPQ=30°， 此时BP=2BQ， 即4－2t=2t，∴t=1； ②当∠BPQ=90°时，∠BQP=30°， 此时BQ=2BP， 即t=2(4－2t)，∴t=。 综上所述，当t=1或时，△PBQ是直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.设直角三角形中一个锐角为x°(0＜x＜90)，另一个锐角为y°，则y与x的数量关系为( ) A.y=180＋x B.y=180－x C.y=90＋x D.y=90－x 2.一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知∠ACB=90°，点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7，则CD的长为( ) A.3 cm B.3.5 cm C.4.5 cm D.6 cm 3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行时，AB的中点P到点O的距离( ) A.变大 B.变小 C.先变小后变大 D.不变 4.如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 5.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点。若∠C=55°，则∠ABD的度数为 °。  6.(3分)若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6，则它的面积为 。  7.(3分)某房梁如图所示，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点。若AB=AC=8 m，则DE的长为 m。  8.(3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E。若∠A=30°，DE=4 cm，则AB= cm，CD= cm。  9.(8分)求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°。求证：BC=AB。 (1)(5分)请用两种方法完成证明。 (2)(3分)这个命题的逆命题是 命题(填“真”或“假”)。  10.如图，在△ABC中，若AB=AC=4，∠BAC=150°，则S△ABC的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 11.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F。若BF=5，则FC的长为( ) A.5 B.7 C.10 D.12 12.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE=4。若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为 。  13.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE⊥AB于点D，交AC于点E。求证：∠AED=∠DCB。 14.(8分)如图，Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧，∠DAB=∠BCD=90°，O是BD的中点，连结AC，AO，OC。 (1)(4分)若∠ADB=30°，∠BDC=40°，求∠AOC的度数。 (2)(4分)若锐角∠ADC=α，求∠AOC的度数(用α的代数式表示)。 15.(10分)[推理能力]如图，在△ABC中，D是边BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，连结DE，DF。 (1)(5分)求证：DE=DF。 (2)(5分)若∠A=75°，BC=8，连结EF，求△DEF的面积。 第15题图 第2课时　直角三角形的判定 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是( ) A.∠A＋∠B=∠C B.∠A－∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=2∠C 2.下列说法错误的是( ) A.三角形的三条高线都在三角形内部 B.三角形的三条角平分线都在三角形内部 C.三角形的重心是三角形三条中线的交点 D.有两个角互余的三角形是直角三角形 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC。若∠BAD的平分线与∠CDA的平分线相交于点E，则△AED的形状一定为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4. 如图，在△ABC中，AB=AC=6，AD是角平分线，BE是中线，则DE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.(3分)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线。若∠DCB=∠A，则∠BCA= °。  6.(3分)在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则此三角形是 三角形。  7.(8分)如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C。求证：△ABD是直角三角形。 8.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，E是AD上的一点，且DE=DC。 (1)(4分)求证：BE=AC。 (2)(4分)判断BE与AC的位置关系，并说明理由。 9.(8分)我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，写出其逆命题，画出图形，并证明；若不成立，试说明理由。 (1)(3分)逆命题是： 。  (2)(5分)已知： 。  求证： 。  证明： 10.(3分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD=AB，E，F分别是BD，AC的中点。若AC=8，则EF的长为 。  11.(8分)已知：如图，BD⊥AC，垂足为E，△ABE的中线EF的反向延长线交CD于点G，∠B=∠C。 (1)(4分)求证：EG是△CDE的高线。 (2)(4分)若EG是△CDE的中线，判断△ABE的形状，并说明理由。 12.(8分)如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°。求证： (1)(4分)AE=BD。 (2)(4分)AE⊥BD。 13.(10分)[模型观念]如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 cm。动点P，Q分别从A，B两点同时出发，各在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP=2 cm/s，vQ=1 cm/s。当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t(s)。 (1)(5分)当t为何值时，△PBQ是等边三角形？ (2)(5分)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $