3.2 函数的单调性与最值 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与最值，以8类递进题型构建从概念判断到综合应用的训练体系，突出逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性判断与证明|3题|定义证明与图像识别|从概念本质到判定方法| |求单调区间|4题|复合函数与分段函数区间分析|概念应用于具体函数| |利用单调性求参数|4题|单调性条件转化参数范围|性质应用的逆向思维| |比较大小|4题|函数值大小的单调性判定|单调性的直接应用| |解不等式|4题|函数不等式的单调性转化|单调性与不等式结合| |求值域与最值|6题|单调性法求最值及值域|最值与单调性的关联| |已知值域求参数|4题|值域条件反求参数值|最值应用的逆向问题| |恒成立与有解问题|5题|不等式恒成立及存在性分析|综合应用单调性与最值|

§3.2 函数的单调性与最值·专项训练 目录 题型1：函数单调性的判断与证明 2 题型2：求函数的单调区间 4 题型3：利用单调性求参数 7 题型4：利用单调性比较大小 9 题型5：利用单调性解不等式 11 题型6：求函数的值域与最值 14 题型7：已知函数的值域求参数 18 题型8：恒成立与有解问题 20 题型1：函数单调性的判断与证明 【例1.1.】 下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C 【例1.2.】 下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】对于A，在上先减后增，不合题意. 对于B，为上的减函数，不合题意. 对于C，在上先减后增，不合题意. 对于D，为上的增函数，符合题意. 【例1.3.】 已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】已知函数类型求解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递减，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递减. 题型2：求函数的单调区间 【例2.1.】 求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 【例2.2.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 【例2.3.】 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据题意，确定函数的定义域，结合复合函数单调性可知，的单调递增区间即为的单调递增区间，再利用正弦型函数单调区间整体代入求解即可. 【详解】由题意可得，则， 解得，故的定义域为， 因为单调递增，所以的单调递增区间即为的单调递增区间， 令（），解得， 则的单调递增区间是． 故选：B. 【例2.4.】 已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、对数型复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】求导后可得函数的单调区间，再求出函数定义域及其奇偶性，设，则，求出时的单调性即可得解. 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 题型3：利用单调性求参数 【例3.1.】 若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【例3.2.】 设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 【例3.3.】 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数的单调性的判断方法求参数的取值范围. 【详解】设（且），， 因为在上是减函数， 所以或. 解得：或. 所以实数的取值范围为：. 故答案为： 【例3.4.】 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上，的取值范围为 . 故答案为： 题型4：利用单调性比较大小 【例4.1.】 设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为. 【例4.2.】 已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、复合函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】通过指数函数性质判断函数单调递增得出，结合，，由此即可求解. 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 【例4.3.】 已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】研究对数函数的单调性、复合函数的单调性、比较函数值的大小关系 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 【例4.4.】 已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案. 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 故选：A 题型5：利用单调性解不等式 【例5.1.】 已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据条件得到，由单调性解不等式，解不等式即得所求． 【详解】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为， 故选：B． 【例5.2.】 已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 【例5.3.】 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、分段函数的性质及应用 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数单调性确定分段函数单增，再利用函数的单调性解不等式. 【详解】根据复合函数的单调性可知函数在上单调递增. 当时，，则， 易知在上单调递增， 而函数在处连续，故在上单调递增， 由，得，解得， 故实数的取值范围是. 【例5.4.】 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、分段函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可. 【详解】当时，，所以， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以； 所以在R上单调递增. 令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 故不等式可化为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型6：求函数的值域与最值 【例6.1.】 已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)答案见详解； (2)最小值为，最大值为. 【难度】0.94 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据函数单调性的定义进行判断； （2）利用单调性求最值. 【详解】（1）任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，所以， 所以，即. 所以在上单调递减. （2）由（1）知在上单调递减， 所以， . 所以函数在上的最小值为，最大值为. 【例6.2.】 已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 【例6.3.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 【例6.4.】 已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求已知指数型函数的最值 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 【例6.5.】 已知，，则的值域为___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用、对数的运算、利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用复合函数的定义域的求法求得的定义域，进而利用的单调性可求得值域. 【详解】由于，故，所以的定义域为， 而单调递增，则值域为． 故答案为：. 【例6.6.】 函数在上的最小值为_____. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由题可得，令，则， 从而得到，运用函数的单调性求其最值即得. 【详解】由 令，则， 因，则，则， 所以， 因函数在上为减函数， 则，故，当且仅当时等号成立， 故在上的最小值为． 故答案为： 题型7：已知函数的值域求参数 【例7.1.】 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以当时，单调递增，则.又函数的值域为， 所以当，函数的值要取到内的所有实数，所以. 当，即时，函数在上单调递增，时，， 当趋近于1时，，即，所以，即实数a的取值范围是. 【例7.2.】 若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】根据函数的最值求参数、对数型复合函数的单调性、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】令，则在上的最大值， 最小值． 当时，，解得． 当时，，解得（舍去）． 综上，． 故答案为：2 【例7.3.】 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.52 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值 【分析】作出函数图像，利用数形结合即可求解. 【详解】当时，， 作出函数的图像： 由图可知：， 要使无最小值，只需无最小值， 即的对称轴在直线处或右边，即，且， 解得，所以. 【例7.4.】 已知函数的值域为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域、根据值域求参数的值或者范围 【分析】由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求. 【详解】∵， ∴， 令，设，则， 当时，在上单调递减， ∴，解得，∴， 当时，在上单调递增， ∴，解得，∴， 当时，，无解， 当时，，无解. 综上，或. 故选：C. 题型8：恒成立与有解问题 【例8.1.】 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 【例8.2.】 若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意得，解出即可求解. 【详解】将题中条件转化为不等式，在区间上至少有一个解， 这等价于的值大于该区间上x的最小值， 因为当时，x的最小值为， 所以必有，解得以. 故选：B. 【例8.3.】 已知函数，（），若存在实数，使得成立，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 【例8.4.】 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】先推得的单调性和，进而将目标转化为在上恒成立，求一元二次函数的最大值即得. 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又因， 所以等价于， 则在上恒成立，也即在上恒成立， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，所以，则， 故a的取值范围是. 【例8.5.】 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】先求在给定区间的值域，再根据的单调性分类讨论，确保的值域包含的值域，解不等式组得到k的范围. 【详解】因为，最小值在处为， 根据题目，函数在区间上的值域为， 对任意的，存在，使得等价于要求的值域是的值域的子集， 由于是一次函数，需要满足： 当时，单调递增，值域为，要求且，解得， 当时，单调递减，值域为，要求且，解得 ​， 综上，k的取值范围为​或，即， 故选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 函数的单调性与最值·专项训练 目录 题型1：函数单调性的判断与证明 2 题型2：求函数的单调区间 2 题型3：利用单调性求参数 3 题型4：利用单调性比较大小 3 题型5：利用单调性解不等式 4 题型6：求函数的值域与最值 4 题型7：已知函数的值域求参数 5 题型8：恒成立与有解问题 5 题型1：函数单调性的判断与证明 【例1.1.】 下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； 题型2：求函数的单调区间 【例2.1.】 求下列函数的单调区间． (1). (2). 【例2.2.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 题型3：利用单调性求参数 【例3.1.】 若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 【例3.2.】 设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【例3.3.】 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是______． 【例3.4.】 已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 题型4：利用单调性比较大小 【例4.1.】 设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数，，则（  ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型5：利用单调性解不等式 【例5.1.】 已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知函数则不等式的解集为__________. 【例5.3.】 已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数，则不等式的解集为______． 题型6：求函数的值域与最值 【例6.1.】 已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 【例6.2.】 已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【例6.3.】 函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例6.5.】 已知，，则的值域为___________． 【例6.6.】 函数在上的最小值为_____. 题型7：已知函数的值域求参数 【例7.1.】 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 若函数在上的最大值为2，则实数____________． 【例7.3.】 设函数，当时，函数的最小值为______；若无最小值，则实数a的取值范围是______． 【例7.4.】 已知函数的值域为，则（    ） A． B． C．或 D．或 题型8：恒成立与有解问题 【例8.1.】 设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例8.2.】 若，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例8.3.】 已知函数，（），若存在实数，使得成立，则______． 【例8.4.】 函数，若对任意，都有，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例8.5.】 设函数，若对任意的，存在，使得，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $