2.2 平方根与立方根 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计围绕平方根、算术平方根、立方根及估算展开，通过勾股定理情境导入算术平方根，以算术平方根复习引入平方根，结合三阶魔方体积问题探究立方根，用游乐园门票估算引入估算方法，构建知识递进支架。 资料以问题驱动探究，如用梯子稳定摆放问题培养数学眼光（几何直观），通过平方根与算术平方根对比发展数学思维（推理意识），借助符号表示和实际应用强化数学语言（模型意识），帮助学生建立数感与符号感，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

2.2 平方根 第1课时 算术平方根 教学设计 课题 第1课时 算数平方根 授课人 教学目标 1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念。 2.会求某些正数的算术平方根并会用符号表示。 3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。 4.通过探究活动培养学生动手能力，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，激发学习兴趣，提高学习热情。 教学重点 算术平方根的概念。 教学难点 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： 教师思考 x,y,z,w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？ 带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性。 探究新知 1.算术平方根的概念 教师归纳 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根。 记作： 读作：根号 a 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0 ，即 √0＝0。 （链接例1） 算术平方根的求解方法 求非负数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 思考 一个正数的算术平方根是一个__正__数； 0 的算术平方根是 0 ； 负数有算术平方根吗？负数没有算术平方根。 （链接例2） 2.与()2的性质 探究 (1)在上面例 1 中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? 这些数正好是某个正有理数的平方。 (2)在上面例 1 中，＝30,也就是＝30。一般地，当a≥0时，＝a 成立吗? 当 a≥0 时，＝a。 思考 a＜0时，＝a成立吗? 当 a＜0 时，＝－a。 （3）()²＝a 成立吗?这里的 a 是什么数?你是怎么理解的? 当 a≥0 时，()²＝a。 3.算术平方根的实际应用 （链接例3） 利用具体实例得出算术平方根的性质。 典例精析 【例1】求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3）； （4）14。 【解】(1)因为 302＝900， 所以 900 的算术平方根是 30，即＝30; (2)因为 12＝1， 所以 1 的算术平方根是 1，即＝1； (3)因为()2＝，所以的算术平方根是，即＝; (4) 14 的算术平方根是。 【方法总结】非平方数的算术平方根只能用根号表示。 【例2】若|m－1|＋＝0,求 m＋n 的值。 【解】 ∵|m－1|≥0，≥0， 又|m－1|＋＝0, ∴|m－1|＝0，＝0， ∴ m＝1,n＝－3, ∴ m＋n＝1＋(－3)＝－2。 【方法总结】几个非负数的和为 0，则每个数均为 0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根。 【例3（教材P32例2）】 自由下落物体下落的距离 s（单位：m）与下落时间 t（单位：s）的关系为 s＝4.9t2。有一铁球从 19.6 m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 【解】将 s＝19.6 代入公式 s＝4.9t2 ， 得 t2＝4， ∴ t＝＝2。 即铁球到达地面需要 2 s。 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言。 随堂检测 1．下列说法正确的是（ A ） A．5 是 25 的算术平方根 B．16 是 4 的算术平方根 C．－6 是 (－6)2 的算术平方根 D．0 没有算术平方根 2．49 的算术平方根是（ A ） A．7 B．－9 C．±9 D．±49 3． 的算术平方根是（ C ） A．3 B．±3 C． D．± 4．1.44 的算术平方根为 1.2 ，13 的算术平方根为 ， (－7)2 的算术平方根为 7 ； 6．若一个数的算术平方根是 6，则这个数为 36 ； 是 6 的算术平方根。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 算数平方根 算术平方根的概念 当 a≥0 时，＝a，()²＝a；当 a＜0 时，＝－a。 习题解析 教学反思 第2课时 平方根 教学设计 课题 第2课时 平方根 授课人 教学目标 1.理解开平方与平方是一对互逆的运算。 2.会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。 教学重点 理解开平方与平方是一对互逆的运算。 教学难点 会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 1.什么叫算术平方根？ 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a 那么这个正数x就叫做a的算术平方根,表示为(a≥0)。 2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 答：加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考 乘方有没有逆运算？ 通过复习巩固算术平方根的概念，便于在接下来的学习活动中，学生能将知识迁移、类比得到平方根的概念。通过思考已学运算之间的互逆关系，引发学生产生新的思考，便于引入平方与开平方的互逆关系。 探究新知 1.平方根的概念 （1）3 的平方是 9，还有其他的数，它的平方也是 9 吗? （2）平方等于 的数有几个? 平方等于 0.64 的数呢? （3）平方等于正数的数都有几个，它们有什么关系？ 解：（1）3 的平方是 9 ，－3 的平方也是 9。 即 32＝9，(－3)2＝9。 （2）平方等于的数有2个，即 和−； 平方等于 0.64 的数也有2个，即±0.8。 （3）平方等于正数的数有2个，它们互为相反数。 教师归纳 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即x2＝a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 例如：(±4)2＝16，则 4 和 －4 都是 16 的平方根； 即 16 的平方根是 4 和 －4； 其中，4 还是 16 的算术平方根。 思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点? 一个数的平方根有两个，一个数的算术平方根只有一个。 (2)一个正数有几个平方根? 0 有几个平方根?负数呢? 【平方根的性质】 ① 一个正数有两个平方根，两个平方根互为相反数。 ② 0 只有一个平方根，它是 0 本身。 ③ 负数没有平方根。 教师提醒：因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根。 教师归纳： 正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根,另一个是 − ,它们互为相反数。 记作： 读作：正、负根号 a。 (链接例1) 教师归纳 2.开平方 ☀求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方， a 叫做被开方数。 想一想：开平方与平方运算有什么关系呢？ （链接例2） 通过引导，让学生形成“平方根”的概念。 再深一步引导学生寻找平方根与算术平方根的联系与区别。 典例精析 【例1（教材P33例3）】求下列各数的平方根: （1）64； （2）； （3）0.0004； （4）(−25)2； （5）11。 【解】（1）∵(±8)2＝64，所以 64 的平方根为±8，即±＝±8； （2）∵(±)2＝，所以的平方根为 ±，即±＝±； （3）∵(±0.02)2＝0.0004，所以 0.0004 的平方根为 ±0.02，即 ±＝±0.02； （4）∵(±25)2＝(−25)2，所以 (−25)2的平方根为 ±25，即±＝±25； （5）11 的平方根为 ±。 【例2（教材P33例4）】求下列各式的值： (1)； (2)－； (3)。 【解】(1) ==15； (2)－=－=－； (3)=8。 随堂检测 1．代数式 x2＋1,,|y|,(m－1)2 中一定是正数的有（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若有意义，则 x 的取值范围是（ D ） A．x＞－ B．x≥－ C．x＞ D．x≥ 3．下列说法中，错误的是（ D ） A．4 的算术平方根是 2 B．的平方根是 ±3 C．121 的平方根是 ±11　　　　　 D．－1 的平方根是 ±1 4．若 5＋的小数部分为 a，5－的小数部分为 b，求 a＋b 的值。 解：∵ 3＜＜4 ， ∴ 5＋的整数部分为 8， 5－的整数部分为 1， ∴ 5＋的小数部分 a＝5＋－8＝－3， 5－的小数部分 b＝5－－1＝4－， ∴ a＋b＝－3＋4－＝1。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 平方根 平方根的概念与性质； 平方根与算术平方根的区别与联系。 习题解析 教学反思 第3课时 立方根 教学设计 课题 第3课时 立方根 授课人 教学目标 1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。 3．了解立方根的性质。 教学重点 1.立方根的概念； 2.与()3的性质。 教学难点 区别立方根和平方根。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 1.算术平方根的定义 一般地，如果一个非负数 x 的平方等于a，即 x2＝a 那么这个非负数 x 叫做 a 的算术平方根。记作：x＝。 2.平方根的定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个数叫做 a 的平方根。记作：x＝±。 3.你还记得吗？ 16的平方根是 ±4 ； －16的平方根 没有 ； 0的平方根是 0 。 学生通过回 顾上节课的学习内容，为进一步研究立方根的概念及性质做好铺垫。 探究新知 1.立方根的概念及开立方 如图,一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积为 216cm³ 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少? 解：∵魔方是由 27 个小正方体组成， ∴每个小正方体的体积为 217÷27＝8(cm3)， ∵ 23＝8， ∴每个小正方体的棱长是 2 cm 。 教师归纳 ☀立方根的概念 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫三次方根。 如：2是 8 的立方根， － 是 － 的立方根， 0 是 0 的立方根。 思考 （1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ 每个数 a 都有一个立方。 （2）根据立方根的意义填空： 因为( 2 )3＝8，所以8的立方根是（2）； 因为( 0 )3 ＝0，所以0的立方根是（0）； 因为( -3 )3 ＝－27，所以－27的立方根是（ -3 ）。 （3）正数有几个立方根？0 有几个立方根？负数呢？ 都只有一个立方根。 教师归纳：正数的立方根是正数， 0 的立方根是 0 ， 负数的立方根是负数。 教师提醒：立方根是它本身的数有 1, －1, 0； 平方根是它本身的数只有0。 针对练习 下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根。其中，正确的有（ D ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 教师归纳 求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方。 类似开平方与平方，开立方与立方也互为逆运算。 （链接例1） 2.与()3的性质 探究 (1)在例 1 中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数。 (2)在例 1 中，＝－3,也就是＝－3。一般地，＝a 成立吗? ＝ 2 ， ＝ 2 ； ＝ -3 ,＝ 4 ， ＝ 0 。 规律：对于任何数 a 都有 ＝a 。 (3) ()3＝a 成立吗? ()3＝ 8 ，()3＝ -8 ； ()3＝ 27 ，()3＝ -27 ； ()3＝ 0 ， 规律：对于任何数 a 都有()3＝a 。 (4)填空并观察： 因为 ＝ 2 ，＝ -2 ； 所以 ＝。 因为 ＝ 3 ，＝ -3 ； 所以 ＝。 思考 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与－a的立方根的关系吗? ＝－。 互为相反数的数的立方根也互为相反数。 （链接例2） 教师归纳 通过实例让学生从生活中去发现、探究、认识平方根。使学生产生思维上困惑，引发学生的思考，导入立方根。 注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠。 典例精析 【例1（教材P35例5）】 求下列各数的立方根: （1）－27；（2）；（3）0.216；（4）－5。 【解】（1）∵(－3)3＝－27， ∴－27的立方根是－3，即＝−3。 （2）∵()3＝，∴ 的立方根是，即 ＝。 （3）∵(0.6)3＝0.216， ∴ 0.216 的立方根是 0.6，即 ＝0.6。 (4) －5 的立方根是 。 【例2（教材P35例6）】求下列各式的值: （1）；（2）；（3）－；（4）()3。 【解】（1）=； （2）=； （3）－=； （4）()3=。 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言。 随堂检测 1.－64的立方根是（ B ） A.4 B.－4 C.－ D. 2.要使＝3－k，k 的取值为（ D ） A.k≤3 B.k≥3 C.0≤k≤ 3 D.一切实数 3.一个数的平方等于 64，则这个数的立方根是__2或-2__。 4.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解:∵ 600＋129＝729, 729 的立方根是 9， ∴正方体的棱长为 9 cm。 答：这个正方体的棱长为 9 cm。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况。 课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 立方根 1.立方根的概念及开立方 习题解析 2.对于任何数 a 都有 ＝a 。 对于任何数 a 都有()3＝a 。 ＝－。 教学反思 第4课时 估算 教学设计 课题 第4课时 估算 授课人 教学目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题。 2.认识计算器的按键，了解计算器开方的方法。 3.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感。 4.体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情。 教学重点 让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感，提高估算能力。 教学难点 掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 已知：游乐园门票82元/人。 学生A：周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩，带550元，购吗? 学生B：82×7＝574元， 574＞550，不够。 你还能想到更快速的判断方法吗? 解：80×7＝560＞550。 估算法 从学生熟悉的生活情境引入，让学生体会生活中的数学，从而激发学习的积极性。 探究新知 1.估算无理数的大小及用估算比较无理数的大小 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (1)公园的宽大约是多少？它有 1000 m 吗？ (2)如果要求结果精确到 10 米，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花园，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗？(误差小于 1 米) 解：（1）若公园的宽为 1000 米，则长为 2000 米， S＝2000×1000 ＝2000000＞400000 （2）设公园的宽为 x 米，则长为 2x 米，得： 2x·x＝400 000 x＝ x≈450 （3）设花园的半径为 r 米，得 πr2＝800 r2≈254.8 r＝ r≈16 怎么估算无理数的大小？ 探究1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？ （1）≈0.066； ()2=0.43 2=0.004356 ＞0.066 （2）≈96； ()3=900 963=884736 ＜96 （3）≈60.4。 60.42=3648.16 ()2=2536 ＜60.4 通过“精确计算”可比较两个数的大小关系 探究2 你能估算无理数的大小吗？（结果精确到 1） 解：∵()3＝900， ∴93＜900＜103。 ∴9＜＜10。 所以的估算值是或10。 注意：精确到 1 是四舍五入到个位。 探究3 宽与长之比为 长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗? 解：∵＜＜， ∴2＜＜3。 ∴1＜−1＜2。 ∴ ＜ 。 （链接例1） 2.无理数估算的实际应用 （链接例2） 3.利用计算器进行开方运算 除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算。 对于开平方运算，按键顺序为：被开方数； 对于开立方运算，按键顺序为：被开方数。 不同计算器可能会存在不同的用法。 思考 (1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键?利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1)： ①； ②。 解： (2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。 都符合一个规律：计算的结果越来越接近1。 通过实例让学生从生活中去发现、探究、认识平方根。使学生产生思维上困惑，引发学生的思考。 本题的解决方法主要是通过进行平方和立方进行的，这一比较过程也相对较为简单，甚至学生不用计算出它们的具体结果，只需感受等号左右两边的数量级，就可以快速做出判断。 明确使用计算器进行开方运算的按键顺序，并进行实际操作。 典例精析 【例1】 怎样估算无理数(误差小于 0.1)? 【解】∵()²＝12.5, ∴ 3＜12.5＜4。 ∴ 的整数部分是 3。 ∵ 3.5²＜12.5＜3.6², ∴ 3.5＜＜3.6。 ∴ 的值约是 3.5 或 3.6。 【例2（教材P36例7）】生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子的底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头吗？ 【解】设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。 根据勾股定理，得： x2＋(×6)2＝62， 即 x2＝32，x＝。 ∵ 5.62＝31.36＜32, ∴ ＞5.6。 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达 5.6 m 高的墙头。 梯子的摆放问题让学生增加了生活经验，同时又发现数学在实际生活中的应用价值.让学生感受数学来源于生活，又服务于生活。 随堂检测 1.下列整数中，与最接近的是 ( C　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列计算结果正确的是(　C ) 3. 通过估算，下列不等式不成立的是（　 B　） 4. 估算的值是在（　C ） A. 2 与 3 之间 B. 3 与 4 之间 C. 4 与 5 之间 D. 5 与 6 之间 5. 面积为 10 m2 的正方形地毯，它的边长介于（　B　） A. 2 m 与 3m 之间 B. 3m 与 4m 之间 C. 4m与 5m 之间 D. 5m 与 6m 之间 6. 比较 2，， 的大小，正确的是（　A　） 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第4课时 估算 1.估算无理数大小的方法： 习题解析 2.用估算比较无理数的大小： 3.使用计算器进行开方运算； 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $