4.4 一次函数的应用 教学设计 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦一次函数的应用，涵盖表达式确定及图象应用。通过复习一次函数概念与图象性质搭建学习支架，从确定表达式到单个、两个图象应用，层层递进衔接知识脉络。 特色在于贯穿数形结合思想，以摩托车油箱、水库蓄水量等实际问题为载体，培养几何直观与模型意识。通过待定系数法推理、图象信息提取，提升学生运算与推理能力，为教师提供清晰教学流程与多样化例题，助力高效教学。

4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 教学设计 课 题 第1课时 确定一次函数的表达式 授课人 教学目标 1理解待定系数法的意义。 2.学会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式。 3.进一步培养学生观察、思考、归纳、数形结合的能力以及准确画出一次函数草图的能力。 教学重点 根据所给信息(图象、表格、实际问题等)利用待定系数法确定一次函数的表达式。 教学难点 在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式。培养学生画图和识图能力。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 学生回顾一次函数相关知识，温故而知新。 探究新知 1. 确定正比例函数的表达式 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t (单位：s)的关系如图所示： 问题：从图象中你能得到什么条件？ 过原点的射线→正比例函数的表达式v＝kt 从形到数 (1)请写出 v 与 t 的关系式。 解：设 v＝kt, ∵（2，5）在函数图像上， ∴ 将（2，5）代入 v＝kt 中， 有 2k＝5， 解得：k＝2.5 ∴ v 与 t 的关系式为：v＝2.5t 。 (2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？ 解：当 t＝3时，v＝2.5×3＝7.5(m/s)。 针对练习 1.已知一个正比例函数的图象如图所示。 (1)求该函数的表达式； (2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值。 解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0)。 由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。 所以该函数的表达式为 y＝2x。 (2)∵ 点(－3，m)在该函数图象上， ∴ m＝2×(－3)＝－6。 2.确定一次函数的表达式 探究 如图，已知一次函数的图象经过 P (0，－1)，Q (1，1) 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢？ 因为一次函数的一般形式是 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值(即待定系数)。 解：∵ P (0，-1)和 Q (1，1)都在该函数图象上， ∴它们的坐标都满足 y＝kx＋b ，将这两点坐标代入该式中，得 b＝-1，k＋b＝1， 解这个方程组，得 k＝2，b＝-1。 ∴ 这个一次函数的解析式为 y＝2x－1。 教师归纳 待定系数法求一次函数解析式的步骤： (1)设：设一次函数的一般形式 y = kx + b (k ≠ 0) ； (2)列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式； (3)解：解方程得 k，b； (4)写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式。 数学的基本思想方法：数形结合 思考 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 答：一个(求出 k 的值)。 确定一次函数的表达式呢？ 答：两个(求出 k 和 b 的值)。 （链接例1、例2） 思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。 (1)写出 y 与 x 之间的关系式； (2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间? 解：（1）设 y＝kx＋b(k、b为常数)。 由题意，得30＝b, ① 12＝2k＋30。 ② 将①代入②，得 k＝-9。 ∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝-9x＋30。 （2）当蜡烛燃烧完时，剩下长度 y＝0, 则 0＝-9x＋30。 解得 x＝。 ∴这根蜡烛最多能燃烧 小时。 利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件。 在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量。由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定。 典例精析 【例1(教材P95例1)】在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm。请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。 【解析】“不挂物体时长 14.5 cm”可表示为x＝0，y＝14.5； “当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm”可表示为x＝3，y＝16。 【解】设 y＝kx＋b(k≠0) 由题意得：14.5＝b,16＝3k＋b, 解得：b＝14.5 ; k＝0.5. 所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5. 当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。 故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm。 【例2】若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y＝-x＋3 平行，求其解析式。 【解】设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b。 由题意得k＝-1，2k＋b＝0， 解得k＝-1，b＝2。 ∴ y＝- x＋2。 让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型。 随堂检测 1.某正此例函数的图象如图所示，则这个 函数的表达式为( B ) A.y＝x B.y＝－x C.y＝－3x D.y＝－ 2.过点(0,0)和点(2,3)的正比例函数的表达式为（ A ） A.y＝x B.y＝x C.－y＝x D.－y＝x 3.已知直线 y＝kx＋b 经过 A(0,2)和 B(3,0)两点，那么 y 与 x 之间的函数表达式为（ B ） A.y＝2x＋3 B.y＝－x＋2 C.y＝3x＋2 D.y＝x＋1 4.已知正比例函数 y＝kx,当 x＝2时，y＝4，若这个正比例函数的图像经过点(3，m)，则 m＝ 6 。 5.若一次函数 y＝kx－3 的图像过点(－1，3)，则 k＝ -6 。 6.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？ （3）当 y＝4 时，x 的值是多少？ 解：(1)根据题意，设 y＋2＝kx。 把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 k＝1。 所以 y＋2＝x， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2。 (2)把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3。 (3)把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6。 旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 确定一次函数的表达式 待定系数法 习题解析 教学反思 第2课时 单个一次函数图象的应用 教学设计 课题 第2课时 单个一次函数图象的应用 授课人 教学目标 1.能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题。 2.通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力。 3.在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立知识之间的联系。 4.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式。 教学重点 能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题。 教学难点 在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识之间的联系。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 从一次函数图象可获得哪些信息? 1.由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号； 2.由一次函数的图象可估计函数的变化趋势； 3.可直接观察出：x 与 y 的对应值； 4.由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，从而确定一次函数的图象的表达式。 通过前面内容的回顾,再次明确一次函数图象和性质,为进一步研究一次函数图象和性质的应用作好铺垫。 探究新知 1.单个一次函数图象的应用 某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量 y (单位：L)与摩托车行驶路程 x(单位：km)之间的关系如图所示。根据图象回答下列问题： (1)油箱最多可储油多少升？ 行驶路程 x＝0 时，y 的值 解：观察图象，得 当 x＝0 时，y＝10. 因此，油箱最多可储油 10 L。 (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ 剩余油量 y＝0 时，x 的值 解：当 y＝0 时，x＝500。 因此，一箱汽油可供摩托车行驶 500 km。 (3)摩托车每行驶 100 km 消耗多少升汽油？ 当 x 从 0 增加到 100 时，对应 y 的增加值 解：x 从 0 增加到 100 时，y 从 10 减少到 8，减少了 2，因此摩托车每行驶 100 km 消耗 2 L 汽油。 (4)油箱中的剩余油量小于 1 L 时，摩托车将自动报警。加 当y＝1时，x的值 满油行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ 解：当 y＝1 时，x ＝450， 因此，行驶 450 km 后，摩托车将自动报警。 教师总结 如何解答实际情景函数图象的信息？ 1.理解横纵坐标分别表示的的实际意义； 2.分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形”⇔由“形”定“数” （链接例题） 思考 按照前面例 1 的这个规律，预计干旱持续多少天水库将干涸？ 解：观察图象，得 干旱持续 20 天时， 蓄水量减少 400 (万 m3)。 则蓄水量每天减少约 400÷20＝20(万 m3)。 1200÷20＝60(天)， 所以按照这个规律，预计干旱持续 60 天水库将干涸。 教师总结 怎样通过函数图像获取信息，并解决实际问题？ (1)要看清、弄懂横轴、纵轴所代表的意义(包括单位)； (2)会找到图象上具有特殊意义的点,能把给定的坐标转换成数学语言。图象上具有特殊意义的点主要有：图像与x轴、y轴的交点；给定坐标的点；与其他图象的交点等。 (3)根据坐标能正确写出函数表达式，根据表达式能写出特殊点坐标； (4)了解图象的变化，知道变量的取值范围，会估计图象的发展趋势。 2.一次函数与一元一次方程 做一做 如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当 y＝0 时，x＝ －2 ； （2）这个函数的表达式是 y＝x+1 。 解：设 y＝kx＋b ∵图象经过(0，1)和(－2，0) ∴1＝b，0＝－2k＋b 解得 k＝，b＝1 ∴这个函数的表达式为 y＝x＋1。 思考 一元一次方程 －20x＋1 200＝0 与一次函数 y＝－20x＋1 200 有什么联系？ 答：1.从“数”的方面看，当一次函数 y＝－20x＋1 200 的 y 的值为 0 时，相应的 x 的值即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 2.从“形”的方面看，一次函数 y＝－20x＋1 200 与 x 轴交点的横坐标，即为方程 －20x＋1 200＝0 的解。 教师归纳 一次函数与一元一次方程的关系： (1)一般地，当一次函数 y＝kx＋b 的函数值 y 为 0 时，相应的自变量的值就是方程 kx＋b＝0 的解； (2)从图象上看，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解。 通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用,目的是培养学生的识图能力。 通过练习题让学生认识到一次函数与一元一次方程的联系,能用函数关系解决方程问题,同时也能用方程的观点来看待函数。 典例精析 【例(教材P96例2)】由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量 V (单位：万 m3)与干旱持续时间 t (单位：天)之间的关系如图所示，根据图象回答问题： (1)干旱开始时水库的蓄水量是多少？ (2)干旱持续 10 天，水库的蓄水量是多少？干旱持续 23 天呢？ (3)蓄水量小于 400万 m3 时，将发出严重干旱警报。干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 【解】（1）观察图象，得 （1）当 t＝0 时，V＝1200。 因此，干旱开始时水库的蓄水量是 1200 万 m3。 （2）当 t＝10 时，V＝1000。 因此，干旱持续 10 天，水库的蓄水量为 1000 万 m³。 当 t＝23 时，V≈750。 因此，干旱持续 23 天，水库的蓄水量约为 750 万 m³。 （3）当 V＝400 时，t≈40。 因此，干旱持续约 40 天后将发出严重干旱警报。 从实际情景函数图象中获取信息,培养学生利用图象分析问题、解决问题的能力,发展几何直观;让学生进一步体会函数与方程,数与形的关系,建立良好的知识联系。 随堂检测 1.某弹簧的长度 y (cm)与所挂物体的质量 x(kg)之间的关系如图所示，当所挂物体的质量为 10 kg 时，弹簧的长度为（ D ） A.12 cm B.13 cm D.14 cm D.15 cm 2.如图，直线 y＝ax＋b(a≠0)过点 A(0,4),B(－3,0)，则方程 ax＋b＝0 的解是（ A ） A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－ 3.一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示,则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为 x=1 ,关于 x 的方程 kx＋b＝-1 的解为 x= 。 4.汽车油箱中的余油量 Q(单位：L)是它行驶的时间 t(单位：h)的一次函数。某天一辆汽车外出时，油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 的变化关系如图所示. (1)根据图象，求油箱中的余油量 Q 与行驶时间t之间的函数关系式(不需要写出变量的取值范围); (2)如果汽车每小时行驶 50 km,从外出时开始算起，当油箱中余油量为 30 L 时，该汽车行驶了多少千米? 解：(1)设油箱中余油量 Q 与行驶时间 t 之间函数关系式是 Q＝kt＋b。 ∵ 函数的图象经过点(0,60),(4,40), ∴ b＝60，4k＋b＝40, ∴ k＝-5。故 Q＝-5t＋60。 (2)当 Q＝30时，30＝-5t＋60, 解得 t＝6。 50×6＝300(km), 即油箱中余油量为 30 L 时，该汽车行驶了 300 km。 这个环节充分发挥了学生的主观能动性,是对本节课学习内容的巩固及内化。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 单个一次函数图象的应用 一次函数图象的应用 习题解析 一次函数与一元一次方程 教学反思 第3课时 两个一次函数图象的应用 教学设计 课题 第3课时 两个一次函数图象的应用 授课人 教学目标 1.通过观察函数图象，能够从同一坐标系中的两个一次函数图象中获取信息，理解函数图象交点的实际意义。 2.利用函数图象，解决实际问题。 3.会建立函数的数学模型，解决较深层次的实际问题。 教学重点 利用在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象解决实际问题。 教学难点 1.从函数的图象中提炼出有用的信息。 2．对在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象交点的理解。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 前面我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问题，出现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？ 回顾旧知，为本节内容作铺垫。 探究新知 1.两个一次函数图的应用 l1表示某公司产品的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： (1)当销售量为 2 t 时， 销售收入＝ 2000 元， 销售成本＝ 3000 元。 (2)当销售量为 6 t 时，销售收入＝ 6000 元， 销售成本＝ 5000 元。 (3)当销售量＝ 4t 时，销售收入＝销售成本。 (4)当销售量 ＞4t 时，该公司盈利(收入大于成本)； 当销售量 ＜4t 时，该公司亏损(收入小于成本)。 (5)当销售量等于 6 时，该公司盈利（收入减成本）1 000元。 (6) l1对应的函数表达式是： y1＝1000x ； l2对应的函数表达式是： y2＝500x＋2000 。 思考 如图，设l1对应的一次函数 y＝k1x＋b1 中，k1 和 b1 的实际意义各是什么？设l2对应的一次函数 y＝k2x＋b2 中，k2 和 b2 的实际意义各是什么？ 答：k1 的意义：每销售 1 t 产品的销售收入； b1 的意义：未销售时，销售收入为0； k2 的意义：每销售 1 t 产品的销售成本； b2 的意义：未销售时，为销售所花的成本为 2 000。 2.对简单实际问题作出决策 （链接例题） 1.培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识。通过一连串精心设计的问题，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用函数图象的特征解决问题。在此过程中渗透数形结合的思想方法，提高学生的数学应用能力。 2．使学生进一步认识到k与b在实际问题中有特定的含义。 典例精析 【例(教材P99例3)】图 1 是某景区游览路线示意图。甲在观景台 1 联系乙，发现乙在观景台 2 ,于是沿着游览路线追赶乙。图 2 中 l1,l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s(单位：m)与追赶时间 t(单位：min)之间的关系。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题： (1)哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系? (2)甲和乙哪个人的速度快? (3)30 min内甲能否追上乙? (4)到达观景台 3 后道路分岔，甲能否在到达观景台 3 前追上乙? (5)设 l1 与 l2 对应的两个一次函数分别为 s＝k1t＋b1 与 s＝k2t＋b2 , k1 , k2 的实际意义各是什么?甲、乙两人的速度各是多少? 【解】（1）当 t＝0 时，甲到观景台 1 的路程为 0 m,即 s＝0,故 l1 表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系。 （2）t 从 0 增加到 20 时，l1 上点的纵坐标增加了 1000,l2 上点的纵坐标增加了 600,即 20 min 内，甲行走了 1 000 m,乙行走了 600 m,所以甲的速度快。 （3）如图 3,延长l1 ,l2。 可以看出，当 t＝30时， l1上的对应点在 l2 上对应点的下方，这表明，30 min 时甲尚未追上乙。 （4）在（3） 中， l1与 l2交点 P 的纵坐标小于 (800＋1300＝) 2 100 ,这说明，甲能在到达观景台 3 前追上乙。 （5）解：k1 表示甲的速度，k2 表示乙的速度。 甲的速度是 50 m/min,乙的速度是 30 m/min。 通过问题串的展示提问感知直线与坐标轴交点的意义、两直线交点及表达式中k，b的实际意义，利用图象比较函数值的方法，使学生在教师的引导下逐步形成良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系。 随堂检测 1.如图，l甲、l乙 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行进的路程 s(m)与时间 t(min)之间的关系，则他们行进的速度关系是( A ) A.甲比乙快 B.乙比甲快 C.甲、乙两人行进的速度一样快 D.无法确定 2.甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向行，他们到 B 地的距离s(km)与时间 t (h)的关系如图所示，下列说法错误的是（ D ） A.甲的速度 6 km/h B.甲出发 4.5 小时后与乙相遇 C.乙比甲晚出发 2 h D.乙的速度是 3 km/h 3.某图书馆的租书业务有两种方式：使用会员卡和租书卡。分别使用两种卡租书的租金 y(元)与租书时间 x(天)之间关系如图所示，当租书时间为 50 天时，采用 会员卡 租书的方式比较省钱。 4.小明和小强进赛跑，小明从起跑点出发，小强在起跑点前方一距离处出发.如图,l1，l2分别表示两人离起跑点的距离 s(m)与时间(t)之间的关系。根据图象回答列问题： (1)小强出发时离起跑点 10 m，他的速度为 3 m/s。 (2) l2 表示小明离起跑点的距离与时间的关系； (3)出发多久后，小明追上了小强？ 解：易求得小强速度为 3 m/s, 小明速度为 3.5 m/s。 10÷(3.5－3)＝20(s)。 所以出发 20 s 后,小明追上了小强。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第3课时 两个一次函数图象的应用 1．直线与坐标轴的交点表示的意义。 习题解析 2．理解表达式中k，b的实际意义。 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $