第四章一次函数复习课教学设计 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

一次函数复习课（第1课时）教学设计 1、 课标分析 1. 《课标（22版）》分析 内容要求 学业要求 教学提示 1. 结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；会运用待定系数法确定一次函数的表达式； 2. 能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0）探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数； 3. 体会一次函数与二元一次方程的关系； 4. 能用一次函数解决简单实际问题。 能根据简单实际问题中的已知条件确定一次函数的表达式；会在不同问题情境中运用待定系数法确定一次函数的表达式；会画出一次函数的图象：会根据一次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k≠0)，探索并理解k 值的变化对函数图象的影响。认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律。会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系；能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。 要通过对现实问题中变量的分析，建立两个变量之间变化的依赖关系，让学生理解用函数表达变化关系的实际意义；要引导学生借助平面直角坐标系中的描点，理解函数图象与表达式的对应关系，理解函数与对应的方程、不等式的关系，增强几何直观；会用函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识。 2. 与《11版课标》对比 增加了学业要求和教学建议，相比较而言更加细化了教师在教学过程中的评价要求以及学生学业要求，有助于清晰的了解学生需要学到什么程度、教师需要教到什么程度。 3. 与《普通高中数学课程标准》对比 函数在高中是学习的重要知识，主要在必修课程以及选择性必修课程，在必修课程中，学生学习了函数的概念和性质，总结了研究函数的基本方法，掌握了一些具体的基本函数类，探索了函数的应用。在函数主题中，学生将学习数列和一元函数导数及其应用。数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具。 从初中函数与高中函数的整体框架来看，高中的函数延续了初中研究函数的方法，遵循“概念——表达式——图象——实际应用拓展”的过程，实现数学抽象与数学建模。具体课标内容如下： （1） 主题一 预备知识 内容要求 学业要求 教学提示 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式； 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法。本单元的学习，可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式。通过梳理初中数学的相关内容，理解函数、方程和不等式之间的联系，体会数学的整体性。 能够从函数观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性。掌握等式与不等式的性质。 初中阶段数学知识相对具体，高中阶段数学知识相对抽象。教师应针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡，包括知识与技能、方法与习惯、能力与态度等方面。 （2） 主题二 函数 内容要求 学业要求 教学提示 函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数，三角函数，函数应用。 能够从两个变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等多个角度，理解函数的意义与图形表达；理解函数符号表达与抽象定义之间的关联，指导函数抽象概念的意义。 应把本主题的内容视为一个整体，引导学生从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数概念；通过梳理函数的单调性、周期性、奇偶性（对称性）、最大（小）值等，认识函数的整体性质；经历运用函数解决实际问题的全过程。 2、 教材分析及教学重点 函数的学习从小学到高中持续发展，整个知识发展遵循“经验感知——初步形成——系统建构——深化拓展”的过程。 小学是函数思想的萌芽阶段，学生通过解决生活中的实际问题（如单价、总价、数量；速度、路程、时间），感受到两个量是相互关联的，并且一种量变化会引起另一种量也随之变化。他们发现当比值一定时，这两种量就是成正比例的。 初中是函数知识的形式化定义和初步系统化阶段。小学的“正比例关系”被明确为“正比例函数”。学生第一次正式学习“变量”、“常量”、“自变量”、“因变量”、“函数”等抽象术语。初中对函数知识的关键飞跃在于抽象了函数定义，实现了从具体到抽象的关键跨越；强调函数的三种表示法，使得学生开始体会不同表示法之间的转化与联系；系统地从图象的角度研究函数的性质，实现了数与形的第一次紧密结合；开始用函数（比如二次函数）来解决最优化等实际问题，初步建立函数模型思想。 高中的函数知识是在初中基础上的全面深化和一般化的过程，用更严格的集合与对应语言重新定义函数；对函数的单调性、奇偶性、周期性、最值等性质进行严格代数和图象定义；系统学习几类全新的、在现实生活中极具应用价值的基本初等函数，构建起完整的基本初等函数体系，强调函数与方程的关系。并在最终实现函数知识的工具化与高阶思维，使得函数性质的研究从定性走向定理，从宏观走向微观。 1. 整体函数脉络知识结构 2. 单元知识结构 3. 单元教学设计基础上的课时教材分析 4. 认知过程与结构 （1）知识点结构图 （2）研究路径图 5. 教学重点：从函数的角度对前面的相关知识进行再认识，从整体上认识所学数学知识的联系。 3、 学情分析 学生完成了本章学习，对函数和一次函数知识有一定的认识和了解，具有基本知识的相关基础，具体分析如下： 1. 学生已有知识基础： （1） 体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型； （2） 了解常量、变量的意义及函数的概念、了解函数的三种表示方法； （3） 能根据已知条件确定一次函数表达式，会画它们的图象； （4） 探索并理解一次函数的性质、以及有关参数对一次函数图象的影响。 2. 学生已有数学活动基础： （1）经历画函数图象，并结合图象讨论函数的增减变化的过程； 3. 学生已有数学基本技能： （1） 能结合函数图象数形结合地分析简单的函数关系； （2） 能利用函数的性质分析和解决简单实际问题； 4. 学生已有数学思想方法基础： （1） 体会“变化与对应”的思想； （2） 从运动变化的角度，用函数的观点加深对已学方程等内容的认识； （3） 感受函数的研究内容和研究方法、初步体会函数与方程的联系。 5. 学生可能存在问题及起点分析 学生对函数和一次函数的基本概念有一定的认识，但是对于知识点之间的相互联系还缺乏认识，构建和发展相互联系的知识体系存在一定的难度，知识间的联系有待加强。对于学习函数的方法和研究路径，学生没有进行系统归纳，从整个初中及高中函数学习的角度来看，缺少整体的结构化认识。 6. 本课时学习目标 （1） 理解函数是研究变量之间关系的重要数学模型，体会函数概念中隐含着“变化与对应”的的思想； （2） 从运动变化的角度加深对数学问题的理解、体会数形结合的研究方法； （3） 从“一次函数”感受函数学习的结构化、加强对知识之间内在联系的认识。 4、 教学目标及难点 1.教学目标 （1）回顾本章的主要内容及先后顺序，体会本章知识结构图，加深学生对各部分内容之间的关系的认识； （2）理解函数概念中隐含的“变化与对应”的思想； （3）通过多种方式理解一次函数的本质，并从运动变化的角度加深对数学问题的理解； （4）掌握本章基本知识、基本技能，进一步加强数形结合地分析问题和解决问题的能力。 2.教学难点 帮助学生加深对基本数学思想方法的认识，培养学生对运动变化和对应关系的把握能力，进一步加强数形结合地分析问题和解决问题的能力； 5、 教学方法 探究式学习、合作学习 6、 课时安排 一次函数复习课计划安排为2课时，具体课时安排如下： 课时 聚焦点 主要内容 复习深度 第1课时 基础与应用 基础概念、图象性质与数形结合； 夯实函数、图象、性质等基础概念，并贯穿“数形结合”思想，为综合应用准备好“工具”。 理解基本知识；掌握并运用图象与性质，从数到形，从形到数；熟练求解函数表达式等。 第2课时 综合与拓展 综合应用、模型建立与方案优化； 综合运用第1课时的“工具”解决复杂的实际问题，提升“模型观念”和“应用意识”。 能综合应用基础知识、基本技能解决实际问题，综合应用相关知识完成建模与应用。 7、 教学准备 前置作业单（附件1） 8、 教学过程 环节 学生活动 教师活动 设计意图及评价 前置作业 学生在授课前一天完成前置作业单，梳理本章框架内容，进行回顾。 回顾函数概念，进行基本知识的回顾。 组织学生完成前置作业单。 （对应教学目标1） 通过举例感受生活中存在的变量，使得学生感受到函数式研究变量之间关系的重要数学模型。 引导学生回忆本章的主要内容及学习的先后顺序，体会本章知识结构图，加深学生对各部分内容之间的关系的认识。使得知识结构图能更好地发挥总结作用。 任务一 学生从视频中抽象出变量，并基于情境、结合抽象出来的核心元素进行提问。 教学预设：学生会联想到两个变量之间存在函数关系，并且会思考在众多变量里面，哪个量是自变量，哪个量是因变量。哪些变量之间是函数关系，哪些变量之间是一次函数关系？ 教师播放汽车行进并刹车后停止的视频。 （对应教学目标2） 客观世界中变量大量存在，本章基于实际问题分析了一个变化过程中的两个变量的一种对应关系。经历用数学的眼光观察世界的过程。在现实情境中培养抽象能力。让学生在应用知识的过程中，感受到数学模型是从实际生活中抽象而来的。 学生自主完成小组合作探究，从表格的角度来研究反应距离s1、制动距离s2、停车距离s、停车时间t这4个变量中，哪些变量可近似的看成速度v的一次函数。 教学预设： 学生通过思考并分析表中数据，得出反应距离s1、停车时间t可以近似地看成速度v的一次函数。 学生的说理：速度每增加10km/h，反应距离的增长量基本相同；停车时间的增长量基本也相同。 组织学生小组合作完成下面的任务： 下面是某品牌汽车的刹车实验数据，根据实验数据回答下列问题： 1.反应距离s1、制动距离s2、停车距离s、停车时间t这4个变量， （对应教学目标3） 在实际情境中，进行数据分析，通过对表格的数据分析，判断哪些变量与速度是一次函数关系，哪些不是。 在这个过程学生从表格方式理解一次函数的“均匀变化”。并且加深学生从运动变化的角度对数学问题的理解，发展几何直观，能利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路。 因为是单元复习课，在思考过程中可能会有学生想到用图象或表达式等方法来验证两个变量之间是否是一次函数，也能顺利承接任务后面的思考问题。 学生基于第1个问题，进行进一步思考。从图象和表达式的角度对这个情境进行分析。 教学预设： 学生通过信息化技术，绘制了函数图象，从图象的角度观察到这4个变量与速度v之间的关系。 我们刚才已经从对表格数据分析的角度进行了判断，体会了表格中数据的“均匀变化”，并得到两组存在一次函数关系的变量，引导学生复习从表格到绘制函数图象的过程。 2.你还有别的方法来判断吗？ （对应教学目标3、4） 学生通过复习函数图象的绘制过程，复习从表格到图象的绘制过程，并从图象的角度感受“均匀变化”，复习巩固一次函数图象绘制的过程，以及部分图象性质，巩固本章所学后的基本技能。 回顾一次函数图象是一条直线，理解一次函数是一种线性函数，并利用图象从“形”的角度感受一次函数是具有线性关系的。 学生利用待定系数法与k值的实际意义的方法来确定一次函数的表达式。 教学预设： 1. 利用表格中的数据变化，根据k、b值的实际意义来确定函数表达式， 2. 利用图象确定了为一次函数或正比例函数后，根据图象上点的坐标构建方程组来进行解答。 引导学生完成任务二的第3个问题。 3.基于以上两种判断的一次函数的方法，你能求出对应的一次函数的表达式吗？ （对应教学目标3、4） 学生能根据问题的条件写出一次函数的表达式。 并通过一次函数的不同表示形式来帮助学生对基本数学思想方法的认识，进一步加强数形结合地分析问题和解决问题的能力。 在表达式的表示形式中，再次理解“均匀变化”，感受一次函数不同表示方法之间的联系，从整体上认识所学知识之间的联系。 学生交流后，提出自己关于不等式的问题，并且进行解答。从多种方法的角度进行思考和交流。 教学预设： 学生可以提出类似第4题的问题，并且能够利用表格直接读出数据，但是第5题得不到达到精确值的数据。 学生利用表达式进行求解，构造不等式或通过图象法进行分析找出相应的取值范围。 引导学生思考一次函数可以与方程联系，那能不能从不等式的角度提出一些问题。 完成任务二的第4、5个问题。 4.若在刹车实验中，速度v不低于60km/h，那么设计的反应距离至少为多少米？ 5.若停车时间t不超过3秒，那么速度v的最大值是多少？（结果精确到0.1） （对应教学目标4） 通过对问题的改变，进一步加强数形结合地分析问题和解决问题的能力。 同时从函数的角度对方程与不等式的相关内容进行了再认识。 研究路径整理 学生经历回顾的过程，进行思考总结归纳出知识的一般研究路径。 请学生根据解决问题的顺序对基本模块进行排序。 教学预设：学生可能一次无法正确排序，可以进行生生互助。 我们从情境中复习并思考一次函数解决实际问题的研究顺序与路径，大家尝试整理一下： （对应教学目标1） 通过具有情境中对知识的再回顾与思考，展现出学生对个部分之间的关系的认识，并且及时总结回顾有助于学生形成关于函数学习的“结构化”方法与途径。 任务二 学生根据图象上的信息编写一道符合实际意义的应用题，使其满足函数图象上的相关信息。先小组讨论，再以小组代表的形式进行回答。 基于函数图象及相关数据，赋予一个实景背景，提出一个具体问题。 （对应教学目标4） 任务一是从情境中从函数的角度观察、思考并表达现实问题，此任务重在培养学生的将数学知识应用于情境中，并根据数学知识创设合适的实际情境，展现出学生的应用意识。 课堂小结 学生自行讨论后回答。 通过本节课的复习与回顾，请围绕“研究函数的基本路径”以及“后续函数学习的启示”这两个话题谈一谈你的收获。 引导学生反思复习课的过程及学习一次函数的整体过程，从中感受整体性与结构化。 9、 课后作业 1. 结合本节课的复习与思考、梳理整章知识点、研究路径、利用函数解题的方法等，完成课前任务的知识点框架图； 2. 书107页：复习巩固1至5；完善课堂任务三中你设计的实际情境问题，并进行解答； 3. 通过本章的学习，你对一次函数及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文。 10、 板书设计 一次函数复习课 函数概念： 两个变量、依赖关系、唯一确定； 数 ：y=kx+b (k≠0) 形 ：具有线性关系 解决问题： 数形结合 学生小结板书 预设：能有学生总结出函数研究的一般路径，然后进行板书 11、 课后反思 从整节课的目标达成和效果来看，实现了回顾与思考四个教学目标，并且有效突破了重难点，学生有效的在课堂中对一次函数整章的知识点进行了回顾，同时通过自己提问，从实际情境抽象数学问题，到从数学问题回到实际情境的过程，理解并认识到一次函数解决实际问题的基本路径。最后在小结环节进行再思考，并在课后作业中完善整章知识结构图。 在教学过程中，学生的提问与本章所学内容有关，并且学生在课堂上利用信息化工具对函数图象进行了绘制，并从“形”的角度理解哪些变量之间是一次函数的关系，这能有效促进学生借助信息化手段理解数学知识。同时，整个教学环节设计从实际问题中来，又回到实际问题中，对发展学生的抽象能力有着重要的促进作用。从表格、图象等形式对函数问题进行分析也能够较好的培养几何直观。 不足之处在于学生提问环节，预留给学生的时间还是不太多，部分学生还没有进行充分的思考，就有一些反应较快的学生提出了问题，推进了课堂的持续发展，还是应该给予学生更充分的时间来进行思考。 1 学科网（北京）股份有限公司 附件1： 前置任务单 举例： 1. 请你举出现实生活中关于函数的几个例子。 2. 举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数？ 说理： 1. 函数有哪些表示法？它们各有什么优点？ 2. 一次函数y=kx+b的图象是什么图形？ 3. 常数k对函数y=kx+b的图象有什么影响？由此能说明y与x之间的什么变化规律？ 完善：本章是第一次系统地研究一个具体的函数，梳理本章内容，请将你理解到的知识、方法与思想补充在下列知识结构图上。 学科网（北京）股份有限公司 $