第八章 第68课时 定点(定线)、定值问题(进阶课) 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦解析几何定点、定线、定值问题，依据高考评价体系明确三大考查类型，通过真题分析指出直线过定点、动点定线等高频考点占比，归纳抛物线、椭圆、双曲线中的证明与探究题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“通性通法+真题突破”策略，如典例1结合分类讨论与韦达定理证直线过定点，培养学生逻辑推理能力和模型观念。含2023新高考Ⅱ卷等真题训练及易错点警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

第八章　解析几何 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [总体概览]　解析几何中的定点、定线、定值问题是高考考查的热点，难度较大．定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等；定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上；定值问题的类型一般为某些几何量或参数为定值． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 类型一　定点(定线)问题 [典例1]　(2025·眉山市期末)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为1，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线OA，OB的斜率之积为－4，求证：直线AB恒过定点． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [解]　(1)由题意得，F，点P的横坐标为1，且|PF|＝2， 则2＝1＋，∴p＝2， ∴抛物线E的标准方程为y2＝4x． (2)证明：当直线AB的斜率不存在时， 设A，B(t>0)， 因为直线OA，OB的斜率之积为－4， 则 ×＝－4，化简得t2＝4． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 所以A(1，t)，B(1，－t)，此时直线AB的方程为x＝1． 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简得ky2－4y＋4b＝0，需满足Δ＝16(1－kb)>0， 根据根与系数的关系得y1y2＝， 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 因为直线OA，OB的斜率之积为－4， 所以＝－4， 即y1y2＋4x1x2＝0， 即y1y2＋4·＝0， 解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4， 所以y1y2＝＝－4，即b＝－k，满足Δ＝16(1－kb)>0，所以y＝kx－k， 即y＝k(x－1)． 综上所述，直线AB过定点(1，0)． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 通性通法：动线过定点问题的两大类型及解法 (1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [多维变迁] (2026·成都模拟节选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(t，2)是C上的一点，且|MF|＝2． (1)求抛物线C的方程； (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1<x2)是C上异于M的两点，∠AMB的角平分线与x轴垂直，N为线段AB的中点．求证：点N在定直线上． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [解]　(1)因为|MF|＝2， 由抛物线的定义得t＋＝2， 又2pt＝4，所以t＝， 因此＝2，即p2－4p＋4＝0，解得p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) (2)证明：由(1)知点M的坐标为(1，2)， 因为∠AMB的角平分线与x轴垂直， 所以可知直线MA，MB的倾斜角互补， 即MA，MB的斜率互为相反数， kMA＝， 同理kMB＝， 则kMA＋kMB＝＝0， 化简得y1＋y2＝－4， 则yN＝＝－2， 所以点N在定直线y＝－2上． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 【教用·备选题】 (2026·榆林模拟节选)已知椭圆C：的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N．证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [证明]　由题意知直线l的斜率存在，可设直线l：y＝kx＋，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 得(4k2＋2)x2＋4kx－3＝0，Δ>0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 直线AP的方程为y＝x＋1， 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 直线AQ的方程为y＝x＋1， 可得M，N， 以MN为直径的圆的方程为＋y2＝0，即x2＋y2＋＝0，① 因为＝＝＝－6， 所以在①中，令x＝0，得y2＝6， 即以MN为直径的圆过y轴上的定点(0，±)． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 类型二　定值问题 [典例2]　(2025·南京调研节选)已知椭圆E：＋y2＝1，且椭圆E的上、下顶点分别为A，B，右顶点为D，直线l过点D且垂直于x轴．如图，若点Q在椭圆E上(且在第一象限)，直线AQ与l交于点N，直线BQ与x轴交于点M，试问：|OM|＋2|DN|是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) [解]　设Q(x0，y0)， 由点Q在椭圆E上(且在第一象限)可知＝1(x0>0，y0>0)， 因为D(2，0)， 所以直线l：x＝2， 由已知得直线AQ，BQ的斜率存在， 则直线AQ：y＝x＋1， 令x＝2得yN＝＋1， 直线BQ：y＝x－1， 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 令y＝0得xM＝． 因为点Q在第一象限， 所以|DN|＝＋1，|OM|＝， 则|OM|＋2|DN|＝＋2， 又＝1，即－4＝0， 所以|OM|＋2|DN|＝2． 所以|OM|＋2|DN|为定值，该定值为2． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 通性通法：定值问题的解题思路 (1)引出变量法．解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值． (2)特例法．从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 【教用·备选题】 1．已知双曲线C：x2－y2＝4，A是双曲线C的左顶点，直线x＝my＋1(m≠±1)交双曲线C于E，F两点，求证：直线AE与AF的斜率之积为定值． [证明]　由消去x，得(m2－1)y2＋2my－3＝0，则Δ>0，m≠±1．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 又A(－2，0)，则kAE＝，kAF＝， 所以kAE·kAF＝ ＝＝ ＝＝， 即直线AE与AF的斜率之积为定值． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 2．(2026·枣庄模拟改编)若直线l交双曲线C：＝1于P，Q两点，点A(4，3)在双曲线C上，∠PAQ的平分线与x轴垂直，求证：l的倾斜角为定值． [证明]　易知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y并整理得 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) (3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝0，Δ>0， 则x1＋x2＝①， x1x2＝②， 因为∠PAQ的平分线与x轴垂直， 所以kAP＋kAQ＝＝0， 即(x2－4)(y1－3)＋(x1－4)(y2－3)＝0， 可得(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)·(kx2＋m－3)＝0， 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 整理得2kx1x2＋(m－4k－3)(x1＋x2)－8(m－3)＝0③， 将①②代入③得2k×＋(m－4k－3)×－8(m－3)＝0， 整理得(k＋1)(4k＋m－3)＝0， 因为直线l不过点A(4，3)，所以4k＋m－3≠0，解得k＝－1． 则直线l的倾斜角为定值，定值为． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 1．(2025·长沙期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点F在直线2x＋3y－2＝0上，A，B是抛物线C上两个不同的点． (1)求抛物线C的方程； (2)设直线OA，OB的斜率分别为kOA，kOB，若kOA·kOB＝－2，证明：直线AB过定点，并求定点坐标． 课时作业(六十八)　定点(定线)、定值问题(进阶课) *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 23 [解]　(1)易知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F， 因为直线2x＋3y－2＝0与x轴的交点坐标为(1，0)，所以＝1，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x． (2)证明：易知直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x并整理得y2－4my－4n＝0，此时Δ＝16m2＋16n>0， 24 则y1y2＝－4n， 所以kOA·kOB＝＝－2，解得n＝2，此时满足Δ>0． 故直线AB恒过点(2，0)． 25 2．(2025·漯河期末)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P(t，t)(t≠0)为C上的一点，且|PF|＝5，斜率为－的直线l与C交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2． (1)求抛物线C的方程； (2)求证：k1＋k2为定值． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 26 [解]　(1)因为P(t，t)(t≠0)为抛物线C：y2＝2px上的一点，且|PF|＝5， 所以 所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)证明：设l：y＝－x＋m， 联立 27 得y2＋8y－8m＝0． 由Δ＝82－4×1×(－8m)＝64＋32m>0，得m>－2． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝－8，y1y2＝－8m． 由(1)知，P(4，4)， 所以k1＝，k2＝， 则k1＋k2＝＝0． 所以k1＋k2为定值． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 28 3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 29 [解]　(1)设双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，c为双曲线C的半焦距， 由题意可得 所以双曲线C的方程为＝1． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 30 (2)证明：易知直线MN的斜率不为0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4， 则x1＝my1－4，x2＝my2－4． 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0． 因为直线MN与双曲线C的左支相交于两点，所以4m2－1≠0，且Δ>0． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 31 由根与系数的关系得所以y1＋y2＝y1y2． 因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点， 所以A1(－2，0)，A2(2，0)． 直线MA1的方程为，直线NA2的方程为， 所以． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 32 因为＝ ＝＝－3， 所以＝－3，解得x＝－1， 所以点P在定直线x＝－1上． 课时作业 *第68课时　定点(定线)、定值问题(进阶课) 33 谢谢！ $