第八章 第64课时 双曲线 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“双曲线”专题，依据考试要求系统梳理定义、标准方程、几何性质等核心考点，对接高考评价体系分析离心率、渐近线等高频考点权重，归纳定义应用、方程求解、性质综合等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+思维建模”，如以离心率计算为例，通过定义转化和几何关系构建方程，培养学生数学思维与运算能力，提供母题变式训练和易错点警示，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第八章　解析几何 第64课时　双曲线 [考试要求]　1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程． 2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 3．了解双曲线的简单应用． 第64课时　双曲线 理法先行·题练固本 知识点1　双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个____叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 定点 第64课时　双曲线 3 (2)数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0． ①若____，则集合P为双曲线； ②若a＝c，则集合P为________； ③若____，则集合P为空集． a<c 两条射线 a>c 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 知识点2　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R __________________ 对称性 对称轴：______；对称中心：____ 顶点 ________________________ A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x ________ x∈R，y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) y＝±x　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 性质 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝______ a2＋b2 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝______________．   17　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 17　[根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8， 因为|PF1|＝9， 所以|PF2|＝1或|PF2|＝17． 又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 2．(苏教版选择性必修第一册P106练习T3)若双曲线经过点(－，6)，且它的两条渐近线方程是y＝±3x，则双曲线的方程是______________．   －x2＝1　[由题设，可设双曲线方程为x2－＝m且m≠0，又 (－，6)在双曲线上， 所以m＝3－＝－1， 故双曲线的方程是－x2＝1．] －x2＝1　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 3．(北师大版选择性必修第一册P68习题2－2A组T3改编)点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为______________．  　[双曲线＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0． 由点到直线的距离公式，得所求距离为．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [常用结论] 1．双曲线＝1(a>0，b>0)中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为． (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a． (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2． (5)若P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c． 2．与双曲线＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为＝λ(λ≠0)． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 考点深研·题型突破 考点一　双曲线的定义及应用 [典例1]　(1)(多选)下列各选项正确的是(　　) A．已知动点M(x，y)满足＝4，则动点M的轨迹是双曲线的一支 B．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1 第64课时　双曲线 14 C．如果双曲线＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是4或12 D．已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为2 (2)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝______________．  　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (1)CD　(2)　[(1)对于A，设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|．故动点M的轨迹是射线，故选项A错误； 对于B，设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r， |MC2|－|MC1|＝2<6， 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 且2a＝2，解得a＝1．又c＝3， 则b2＝c2－a2＝8， 所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)，故选项B错误； 对于C，设双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝2，c＝＝4， 则|PF2|＝8>6， 由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝4， 即||PF1|－8|＝4， 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 所以|PF1|＝4或|PF1|＝12，由于c－a＝2，故点P到它的左焦点的距离是4或12，故选项C正确； 对于D，不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝， 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2，故选项D正确． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2|PF2|＝4，c2＝a2＋b2＝4， 所以cos∠F1PF2＝＝＝．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [母题探究] (综合变式)将本例(2)条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“＝0”，则△F1PF2的面积是多少？ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [解]　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， ∵＝0， ∴⊥， ∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝4， ∴|PF1|·|PF2|＝2． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 通性通法：(1)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． (2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑应用定义求解． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 【教用·备选题】 如图，F1，F2是双曲线＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等 于16，求点M到另一个焦点的距离； (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [解]　双曲线的标准方程为＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5． (1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22． 又c－a＝2，故点M到另一个焦点的距离为10 或22． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100． 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝ ＝＝0， ∴∠F1PF2＝90°，△F1PF2为直角三角形， ∴|PF1|·|PF2|＝×32＝16． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 考点二　双曲线的标准方程 [典例2]　(2025·景德镇昌江区校级期末)若双曲线C1与双曲线C2：＝1有相同渐近线，且C1过点(2，3)，则双曲线C1的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．＝1 C．＝1 D．x2－＝1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 B　[因为C1和C2有相同的渐近线，所以设双曲线C1的方程为＝1(λ≠0)，将(2，3)代入得＝1⇒λ＝－2，所以双曲线C1的标准方程为＝1．故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 通性通法：求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2． (2)待定系数法：“先定型，再定量”，当双曲线焦点位置不确定时，可分类讨论；也可设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，求出m，n的值，即可得出双曲线方程． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [多维变迁] 1．(2025·保山一模)双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A． B．＝1 C． D．＝1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 D　[根据对称性，不妨设双曲线的其中一条渐近线方程为y＝x， 则过F2(c，0)且垂直于渐近线y＝x的直线方程为y＝－(x－c)， 联立可得P， ∴|PF2|＝＝b＝2，又F1(－c，0)， ∴，∴， ∴a2＋2＝2a，∴a＝，又b＝2， ∴双曲线的方程为＝1．故选D．] 2．经过点P(3，2，7)的双曲线的标准方程为______________．   ＝1　[设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)． ∴∴双曲线的标准方程为＝1．] ＝1　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 【教用·备选题】 已知双曲线的离心率e＝)，则该双曲线的标准方程为______________．   －x2＝1　[由题意，知e＝，解得a＝2b， 当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为 ＝1(a>0，b>0)， －x2＝1　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 ∵点(2，2)在该双曲线上，∴＝1， 即＝1，此方程无解； 当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为 ＝1(a>0，b>0)， ∵点(2，2)在该双曲线上，∴＝1， 即＝1，解得b＝1，∴a＝2， ∴该双曲线的标准方程为－x2＝1．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 考点三　双曲线的几何性质 考向1　离心率 [典例3]　(1)(2025·内江三模)已知双曲线，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)(2025·南昌月考)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则C的离心率等于(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (1)D　(2)B　[(1)因为双曲线－y2＝1(a>0)的焦距为2，即2c＝2， 所以c＝，又b＝1， 所以a＝＝2， 所以双曲线的离心率为e＝． 故选D． (2)法一：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±， ∴|AF1|＝． ∵△ABF2为等边三角形，∴tan∠AF2F1＝＝tan 30°＝， ∴． ∴， 即，解得离心率e＝(负值舍去)． 法二：设C的半焦距为c，则直线l的方程为x＝－c，代入＝1，解得y＝±， ∴|AF1|＝，|AB|＝， ∵△ABF2为等边三角形，∴|AF2|＝|AB|＝， 由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，即＝2a，∴＝2， ∴C的离心率e＝． 故选B．] 通性通法：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程，通过解方程求得离心率的值． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [多维变迁] (2025·上海月考)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A(0，－a)，若双曲线的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A． B．] C． D．，＋∞) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 C　[A(0，－a)，设双曲线的左焦点为F'， 则|FP|－|PF'|＝2a， 故而|PA|＋|PF|＝2a＋|PF'|＋|PA|≥2a＋|F'A|， ∴|PA|＋|PF|的最小值为2a＋|F'A|＝2a＋， ∵C的左支上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝7， ∴2a＋≤7，即≤7－2a， 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 ∴c2＋a2≤4a2－28a＋49，又c2＝a2＋1， 可得a2－14a＋24≥0⇒a≥12(舍)或a≤2， ∴a2≤4＝4(c2－a2)， 可得e≥， ∴离心率的取值范围是． 故选C．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 考向2　渐近线 [典例4]　(1)(2026·杭州模拟)已知双曲线，则此双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)(2025·南昌期末)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上一点，且∠F1PF2＝，|PF2|＝3|PF1|，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (1)B　(2)D　[(1)双曲线＝1的离心率为， 则，解得m＝－4， 故a＝，b＝2， 则渐近线方程为y＝±x＝±x． 故选B． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)由双曲线定义知||PF2|－|PF1||＝2a， ∵|PF2|＝3|PF1|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝3a， ∵∠F1PF2＝，|F1F2|＝2c，∴cos∠F1PF2＝， 即，化简得7a2＝4c2，又c2＝a2＋b2， ∴，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x． 故选D．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 思维建模：离心率与渐近线互求模型 第1步　判断焦点位置． 第2步　代公式．当焦点在x轴上时，e＝； 当焦点在y轴上时，e＝(其中k为渐近线斜率)． 第3步　解方程求渐近线斜率k或离心率e． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 【教用·通性通法】 渐近线的求法：求双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程是±． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [多维变迁] (2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则实数m＝______________．  －3　[双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±＝±x，故实数m＝－3．] －3　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 考向3　几何性质的综合应用 [典例5]　(多选)(2025·深圳期末)已知双曲线C：且右焦点为C的虚轴为线段B1B2，P为C上任意一点，平面内一动点M满足|MB2|，则(　　) A．C的渐近线方程为x±2y＝0 B．C的实轴长为4 C．|FM|的最大值为6 D．|PM|的最小值为 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 ABD　[设双曲线半焦距为c，则由已知可得c＝，因为双曲线C经过点＝1， 联立所以双曲线C的方程为－y2＝1． 对于A，因为a＝2，b＝1，所以C的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故A正确； 对于B，C的实轴长为2a＝4，故B正确； 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 依题意，不妨设B1(0，1)，B2(0，－1)，设M(x，y)， 动点M满足|MB1|＝|MB2|， 所以， 化简得x2＋(y＋2)2＝3，则点M的轨迹是以N(0，－2)为圆心，半径为的圆． 对于C，点F到圆心N的距离d＝＝3，所以|FM|的最大值为3＋，故C错误； 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 对于D，设P(x0，y0)为双曲线上任一点，则＝4， P到圆心N的距离为|PN|＝ ， 当y0＝－时，|PN|最小，最小值为，故|PM|的最小值为，故D正确． 故选ABD．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 通性通法：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [多维变迁] 1．(多选)(2025·连云港月考)已知双曲线)和(2，3)，则下列说法正确的是(　　) A．实轴长为2 B．焦距为4 C．渐近线方程为y＝±x D．离心率为 √ √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 ABC　[因为双曲线＝1(a>0，b>0)过点()和(2，3)， 所以则c＝＝2． 对于A选项，实轴长为2a＝2，故A正确； 对于B选项，焦距为2c＝4，故B正确； 对于C选项，渐近线方程为y＝±x＝±x，故C正确； 对于D选项，离心率为＝2，故D错误．故选ABC．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 2．(2026·济南模拟)设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是F1，F2，点P是C右支上的一点，则的最小值为______________．   8　[a＝2，b＝，c＝5，|PF2|≥c－a＝3，|PF1|＝|PF2|＋2a＝|PF2|＋4， |PF1|＋＋4，|PF2|≥3，而函数y＝x＋＋4(x>0)在[3，＋∞)上单调递增，所以当且仅当x＝3时，ymin＝8．] 8　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 教材拓展13　椭圆与双曲线的第二定义与第三定义 1．第二定义：平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹： (1)当0<e<1时，轨迹为椭圆． (2)当e>1时，轨迹为双曲线． ①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线． ②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 2．第三定义：平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)(或A(0，－a)，B(0，a))的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的点的轨迹是椭圆或双曲线，其中两定点为椭圆或双曲线的顶点． 当常数λ<0且λ≠－1时，轨迹是除去两个定点A，B的椭圆； 当常数λ>0时，轨迹是除去两个定点A，B的双曲线．其中两个定点分别是椭圆或双曲线的顶点． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [典例6]　已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A|MF2|的最小值为______________．   　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 　[设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知， ， ∴d＝|MF2|， ∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d， 如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [典例7]　(1)(2026·成都模拟)已知点A(1，0)，点B(－1，0)，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为(　　) A．－y2＝1 B．－y2＝1(x≠±1) C．x2－＝1 D．x2－＝1(x≠±1) √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (2)(2022·全国甲卷)椭圆C： ，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (3)椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是 (　　) A． B． C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (1)D　(2)A　(3)B　[(1)设动点M(x，y)，由于A(1，0)，B(－1，0)，根据直线AM与BM的斜率之积为4，整理得＝4，化简得x2－＝1(x≠±1)．故选D． (2) 法一(设而不求)：设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，则由kAP·kAQ＝得kAP·kAQ＝＝1，得，所以椭圆C的离心率e＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 法二(第三定义)：设右顶点为B，连接PB(图略)，由椭圆的对称性知kPB＝－kAQ，故kAP·kAQ＝kPA·(－kPB)＝，由椭圆第三定义得kPA·kPB＝－，所以椭圆C的离心率e＝． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 (3)设点P(x，y)， 则直线PA1的斜率为k1＝， 直线PA2的斜率为k2＝， k1·k2＝． ∵点P(x，y)满足＝1， ∴x2＋＝4， 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 即x2－4＝－， 故k1·k2＝，k1＝－， ∵k2∈[－2，－1]， ∴k1∈． 故选B．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 【教用·备选题】 (人教A版选择性必修第一册P113例6)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和M到定直线l：x＝，求动点M的轨迹． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 [解]　如图所示，设d是点M到直线l：x＝的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合P＝． 由此得． 将上式两边平方，并化简，得9x2＋25y2＝225， 即＝1． 所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆． 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 1．(链接考点二)(苏教版选择性必修第一册P107习题3.2(2)T5，9改编)中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，双曲线C的一条渐近线的方程为y＝0，则C的方程为(　　) A．＝1 B．x2－＝1 C．－x2＝1 D．x2－－x2＝1 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 A　[椭圆＝1的半焦距c＝＝2，则C的半焦距c'＝2．∵C的一条渐近线的方程为x－y＝0，∴可设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为＝1．当λ>0时，c'＝＝2，得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c'＝＝2，得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1．综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 2．(链接考点一)(2026·榆林模拟)已知F1，F2分别为双曲线＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　) A． B．－4 C． D． √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 C　[因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，所以要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．如图，连接F1P交双曲线的右支于点A0．当点A位于点A0处时， |AP|＋|AF1|最小，最小值为|PF1|＝． 故|AP|＋|AF2|的最小值为．] 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 3．(链接考点三)(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线＝－1的实轴长为___，离心率为____，渐近线方程为________．  10　　y＝±x　[双曲线＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49， ∴实轴长为2a＝10，离心率e＝， 渐近线方程为y＝±x．] 10 　 y＝±x　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 4．(链接考点三)(2025·连云港一模)已知M(x0，y0)是双曲线C：y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，<0，则y0的取值范围是______________．  　[因为F1(－，0)，F2(，0)，＝1，所以＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝－3<0，即3－1<0，解得－．] 　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 一、单项选择题 1．(2026·黄山模拟)“m>－1”是“＝1为双曲线方程”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 课时作业(六十四)　双曲线 第64课时　双曲线 77 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 A　[若＝1为双曲线方程， 则(m＋1)(m＋2)>0，解得m>－1或m<－2， 又{m|m>－1}⫋{m|m>－1或m<－2}， 故“m>－1”是“＝1为双曲线方程”的充分不必要条件．故选A．] 78 √ 2．(2025·郑州期末)已知双曲线C：y＝0，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 79 B　[渐近线方程为y＝0，即y＝x， 根据双曲线的渐近线斜率为±， e2＝1＋，因此，离心率e＝．故选B．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 80 √ 3．(2026·山东济南模拟)已知双曲线C：，虚半轴长为2，则C的焦距为(　　) A．2 B． C． D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 81 D　[双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚半轴长为2，即b＝2，e＝， 可得a＝，c＝，2c＝2， 所以双曲线的焦距为2． 故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 82 √ 4．(2025·泰州月考)设P是双曲线＝1(a>0)上一点，该双曲线的一条渐近线方程是4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝15，则|PF2|＝(　　) A．3 B．9 C．27 D．3或27 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 83 C　[由题意得b＝8且，所以a＝6， 所以||PF1|－|PF2||＝2a＝12，则|PF2|＝3或|PF2|＝27． 当|PF2|＝3时，|PF1|＋|PF2|＝18<|F1F2|＝20，故舍去； 当|PF2|＝27时，|PF1|＋|PF2|＝42>|F1F2|＝20，满足题意． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 84 √ 5．(2024·天津卷)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A． B．＝1 C． D．＝1 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 85 C　[如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝， 86 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶， 则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，由|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2， 则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝， 由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝， 所以双曲线的方程为＝1．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 87 √ 6．(2025·银川三模)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，则△MF1N的周长为(　　) A．8＋2 B．8 C．4＋2 D． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 88 C　[以F1F2为直径的圆与双曲线在第一、三象限的交点分别为M，N，如图所示，设|MF2|＝n，|MF1|＝m，由M在以F1F2为直径的圆上可得MF1⊥MF2， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 89 ∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，四边形MF1NF2为矩形，则|MN|＝|F1F2|＝2c，|MF2|＝|F1N|＝n． 由双曲线C：－y2＝1，得a2＝3，b2＝1，c2＝a2＋b2＝4， ∴m2＋n2＝16，又由双曲线的定义有m－n＝2a＝2， ∴m2－2mn＋n2＝12，得mn＝2， ∴(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝16＋4＝20， 即m＋n＝2，而|MN|＝|F1F2|＝2c＝4， ∴m＋n＋|MN|＝4＋2，∴△MF1N的周长为4＋2． 故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 90 √ 二、多项选择题 7．(2025·南通一模)已知双曲线C：＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是(　　) A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为4 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 91 AD　[已知双曲线C：＝1， 则a＝3，b＝4，c＝＝5． 对于A，双曲线的实轴长为6， 故选项A正确； 对于B，双曲线的焦距为10， 故选项B错误； 对于C，双曲线的离心率为， 故选项C错误； 对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为＝4，故选项D正确． 故选AD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 92 √ 8．(2026·宜城模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，且不与双曲线C的顶点重合，则下列命题中正确的是(　　) A．若a＝2，b＝，则双曲线C的两条渐近线的方程是y＝±x B．若点P的坐标为(2，4)，则双曲线C的离心率大于3 C．若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积等于b2 D．若双曲线C为等轴双曲线，且|PF1|＝3|PF2|，则cos∠F1PF2＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 93 BCD　[对于A，双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x， 当a＝2，b＝时，双曲线的渐近线方程是y＝±x，故A错误； 对于B，因为点(2，4)在C上，则＝1，得＋8>8， 所以双曲线的离心率e＝>3，故B正确； 对于C，因为|PF1|－|PF2|＝2a，若PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 94 即(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2，即4a2＋2|PF1|·|PF2|＝4c2， 得|PF1|·|PF2|＝2(c2－a2)＝2b2，所以|PF1|·|PF2|＝b2，故C正确； 对于D，若C为等轴双曲线，则a＝b，从而|F1F2|＝2c＝2a， 若|PF1|＝3|PF2|，结合|PF1|－|PF2|＝2a， 则|PF2|＝a，|PF1|＝3a， 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝，故D正确． 故选BCD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 95 √ 9．(2025·全国二卷)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 √ √ 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 96 ACD　[根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝．故A正确． 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 97 不妨设M(x0>0)，根据|OM|＝c，得＝c2，解得x0＝a， 故M(a，b)，N(－a，－b)，所以∠MA2A1＝，又因为∠A1MA2＝，所以|MA2|＝|MA1|，故B错误． 在Rt△MA1A2中，|MA2|＝b，|A1A2|＝2a，∠A1MA2＝， 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 98 所以tan∠A1MA2＝， 故e＝，故C正确． 当a＝时，b＝2＝2××2 ×2，故D正确．故选ACD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 99 三、填空题 10．(人教B版选择性必修第一册P156习题2－6AT3改编)已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，它的焦点是椭圆＝1的长轴的端点，则此双曲线的标准方程为______________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ＝1　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 100 ＝1　[依题意，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 由题意得解得a＝4，b＝3，所以双曲线的标准方程为＝1．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 101 11．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A (－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是_____________________．  题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 ＝1(x≥3)　[由双曲线的定义，知点M的轨迹是双曲线的右支，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为＝1(x≥3)．] ＝1(x≥3)　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 102 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 12．(2026·宜宾模拟)已知双曲线C：－y2＝1，P为C上的任意点，设点A的坐标为(3，0)，则|PA|的最小值为______________．  　 理法先行 考点深研 课时作业 第64课时　双曲线 103 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 　[设P(x，y)，因为－y2＝1，所以y2＝－1，所以|PA|＝ ＝， 因此当x＝时，满足x≥2，|PA|取最小值，最小值是．] 104 谢谢！ $