5.4 二元一次方程与一次函数教学设计 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦二元一次方程(组)与一次函数的关系及用方程组确定表达式，第一课时以“数学王国家庭聚会”情境导入，第二课时复习旧知搭建支架，梳理方程与函数“数”与“形”的联系。 特色在于通过问题链引导自主探索，如第一课时问题1-4建立方程解与函数图像点的对应，培养几何直观和抽象能力。第二课时用相遇、行李费等实际问题引入待定系数法，发展模型意识和应用意识。助力学生数形结合能力提升，为教师提供清晰探究路径和分层练习。

5.4 二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程(组)与一次函数 教学设计 课题 第1课时 二元一次方程(组)与一次函数 授课人 教学目标 1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系。 2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力。 3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣。 教学重点 二元一次方程与一次函数的关系及相互转化。 教学难点 理解二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的一一对应关系。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 　 今天数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就座，这时来了“x＋y＝5”。 引出本节课的主题——二元一次方程与一次函数的关系。 探究新知 1.二元一次方程与一次函数的关系 问题 1 方程 x＋y＝5 的解有多少个？写出其中的几个解来。 答：无数个；，，等。 （1）等式 x＋y＝5 还可以看成一个一次函数，把它变成 y＝kx＋b 的形式是_y＝-x＋5_。 （2）画出 y＝-x＋5 的图象： 问题2 在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y＝5－x 的图象上吗？ 在 问题3 在一次函数 y＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5 吗？ 适合 问题4 以方程 x＋y＝5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y＝5－x 的图象相同吗？ 相同，是同一条直线。 教师归纳 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线。 从数的角度看： 从形的角度看： 针对练习 1.以方程 2x＋y＝5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y＝－2x＋5 的图象相同。 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程 x－2y＝2 的解的是（ C ） 2.二元一次方程组与一次函数的关系 思考 在同一平面直角坐标系内分别画出一次函数 y＝5－x 和 y＝2x－1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？ 答：一次函数 y＝5－x 和 y＝2x－1 图象的交点为 A(2, 3)，而就是方程组的解。 教师归纳 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标。 已知两条直线 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2，如果它们在平面直角坐标系内相交，交点坐标为(m，n)，那么方程组的解为。 若方程组的解为则两条直线 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 在平面直角坐标系内相交，交点坐标为(m，n)。 针对练习 3.若二元一次方程组的解为，则函数 y＝5－x 与 y＝－2x＋8 的图象的交点坐标为 （3，2） 。 探究 如图，在同一平面直角坐标系内，一次函数 y＝x＋1 和 y＝x－2 的图象有怎样的位置关系？方程组 解的情况如何？ 答：两个函数图象平行，方程组无解。 教师归纳 通过自主探索，使学生初步体会“数”(二元一次方程)与“形”(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础。 随堂检测 1. 一次函数y＝kx＋b与y＝x＋2两图象相交于点P（2，4），则关于x，y的二元一次方程组的解为　 。 2. 若方程组没有解，由此一次函数 y＝2－x 与 y＝－x 的图象必定( B ) A.重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 3.一次函数 y＝3x－5 与 y＝2x＋b 的图象的交点的坐标为 P(1，-2)，试确定方程组的解和 b 的值。 解：∵一次函数 y＝3x－5 与 y＝2x＋b 的图象的交点的坐标为 P(1，-2)， ∴方程组的解是 将 (1，－2) 代入 y＝2x＋b 中， 得－2＝2×1＋b， ∴b＝－4。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第1课时 二元一次方程(组)与一次函数 习题解析 教学反思 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式 教学设计 课题 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式 授课人 教学目标 1.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解。 2.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣。 教学重点 图像法求解二元一次方程组的原理和方法。 教学难点 灵活运用图像法解决实际问题中的二元一次方程组，并对结果进行合理的解释。 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 复习导入 1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解。 2.二元一次方程组有哪些解法？ 消元法 图象法 ↓ 是一种代数方法 通过回顾旧知，为本节内容的学习做铺垫。 探究新知 1.用二元一次方程组确定一次函数表达式 A，B 两地相距 100 千米，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到 A 地的距离 s（单位：km）都是骑车时间 t（单位：h）的一次函数。骑行 1 h 后乙距离 A 地 80 千米；骑行 2 h 甲距离 A 地 30 km。经过多长时间两人相遇？ 小亮 如图，可以分别画出 s 与 t 之间的图象，找出交点的横坐标就行了！ 用图象法解决问题 结果准确吗？ 小明 对于乙，s 是 t 的一次函数，可以设 s＝kt＋b。当 t＝0 时，s＝100；t＝1 时，s＝80。将它们分别代入 s＝kt＋b 中，从而确定 s 与 t 之间的关系式。同样可以求出甲的 s 与 t 之间的关系式，再联立这两个关系式，求解方程组就行了！ 用二元一次方程组的方法确定一次函数表达式 解：对于乙，设 s＝k1t＋b1， 根据图象，得 解得 ∴乙的表达式为 s＝－20t＋100。 对于甲，设 s＝k2t， 根据图象，得 2k2＝30， 解得 k2＝15， ∴甲的表达式为 s＝15t。 联立 解得。 小颖 骑行 1 h 后乙距离 A 地 80 km，即乙的速度是 20 km/h；骑行 2 h 后甲距离 A 地 30 km，即甲的速度是 15 km/h，由此可以求出甲、乙两人的速度和…… 解：设同时出发后 t 小时相遇， 则 15t＋20t＝100 ∴ t＝。 用一元一次方程的方法解决问题 在以上的解题过程中你受到什么启发？ 用画图象的方法可以直观地获得结果，但往往难以获得准确的结果。为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。 2.通过确定一次函数表达式解决实际问题 （链接例题） 教师归纳 像例题这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y＝kx＋b。 2.将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组。 3.解这个二元一次方程组得 k，b。 4.进而求出一次函数的表达式。 思考 已知函数 y＝2x＋b 的图像过点(a,7)和(－2，a)，求这个函数的表达式。 解：把(a,7)和(－2，a)代入 y＝2x＋b， 得 , 解得 ,， 则函数表达式 y＝2x＋5。 通过自主探索，使学生初步体会如何运用“数”与“形”解决实际问题。 典例精析 【例（教材P130例题）】某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量需购买行李票，且行李费 y(单位：元)是行李质量 x(单位：kg)的一次函数。已知李明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；张华带了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元。 (1)写出 y 与 x 之间的关系式； (2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李? 【解】（1）设 y＝kx＋b（k≠0) ， 根据题意，得 解这个方程组，得 所以 y＝x－5 (2)令 y＝0,即 x－5＝0, 解得 x＝30； 当 x＞30 时，y＞0。 所以，每名乘客最多可免费携带 30 kg 的行李。 巩固学生对本节知识的掌握与理解。 随堂检测 1．如图，一次函数的图象经过 A，B 两点，则这个一次函数的表达式是( A ) 2．已知 y 是 x 的一次函数，下表中列出了部分对应值，则 m 等于( C ) A.－1 B．0 C．－2 D. 3．如图是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李质量 x(千克)之间的关系图象，由图象可知，乘客可以免费托运行李的最大质量为 10 千克。 4．某水果店以每千克 8 元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价 4 元销售，全部售完。 销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题： (1)降价前苹果的销售单价是 16 元/千克； (2)求降价后销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函数表达 式，并写出自变量的取值范围； (3)该水果店这次销售苹果盈利了多少元？ 解：(2)降价后销售的苹果质量是(760－640)÷(16－4)＝10(千克)， ∴当 y＝760时，x＝40＋10＝50。 设降价后销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函数表达式是 y＝kx＋b， 将点(40，640)，(50，760)代入得 解得 即降价后销售金额 y(元)与销售量 x(千克)之间的函数表达式是 y＝12x＋160(40＜x≤50)。 (3) 760－8×50＝360(元)。 答：该水果店这次销售苹果盈利了 360 元。 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的。 课堂小结 通过本节课的学习，谈谈你收获了什么？ 巩固所学知识，加深对本节知识的理解。 作业布置 《课时训练》P0-P0训练题 板书设计 第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式 习题解析 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $