5.5 三元一次方程组 题型总结讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦三元一次方程组这一核心知识点，系统梳理从二元一次方程组到三元一次方程组的过渡脉络，涵盖解法（加减消元、整体代入）与实际应用，形成“概念理解—解法掌握—应用拓展”的学习支架。 资料特色鲜明，题型分类清晰且例题变式梯度合理，渗透整体思想与转化思想，如通过方程正整数解规律探究培养抽象能力，借助购物费用计算问题发展模型意识。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

5.5三元一次方程组题型总结讲义 【题型一】解三元一次方程组 【例1】（2025•德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【考点】解三元一次方程组；二元一次方程的解．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【分析】根据二元一次方程组的解的个数总结规律，然后令y+z＝k，从而求得k的整数解的个数，再根据y，z为正整数分别确定k取不同的解时y+z＝k的正整数解的个数，然后将它们相加即可． 【解答】解：关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，即1， x+2y＝5的正整数解有2组，即2， x+2y＝7的正整数解有3组，即3， …， x+2y＝n（n为正奇数），其正整数解有组， 已知关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15， 设y+z＝k， 则x+2k＝15， 其正整数解的组数为7， ∵x为正整数， ∴k＝1，2，3，4，5，6，7， ∴y+z＝1，2，3，4，5，6，7， ∵y，z都是正整数， ∴当y+z＝1时，不符合题意， 当y+z＝2时，有1组正整数解， 当y+z＝3时，有2组正整数解， 当y+z＝4时，有3组正整数解， 当y+z＝5时，有4组正整数解， 当y+z＝6时，有5组正整数解， 当y+z＝7时，有6组正整数解， 则1+2+3+4+5+6＝21（组）， 即关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有21组， 故选：B． 【例2】（2025春•花溪区校级月考）三元一次方程组的解是　　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣z＝﹣2④， ③+④得：2x＝2， 解得：x＝1， 将x＝1代入①得：1+y＝3， 解得：y＝2， 将x＝1代入③得：1+z＝4， 解得：z＝3， 故原方程组的解为， 故答案为：． 【例2】（2025春•平舆县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 【变式1】（2025春•闵行区校级期末）方程组的解为　　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】先整理出x＝﹣3+z，再代入③，得出z＝4，再把z＝4代入②，得出y＝9，则把y＝9代入①解出x＝1，即可作答． 【解答】解：， 由①﹣②得出x﹣z＝﹣3，整理得x＝﹣3+z 把x＝﹣3+z代入③，得出﹣3+z+z＝5 解得z＝4 把z＝4代入②，得出y＝9 把y＝9代入①，得出x＝1 ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式2】（2025春•应城市期末）解下列方程组． （1） （2） 【考点】解三元一次方程组；解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）①+③消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【解答】解：（1）， ①×5+②解得x＝2， 把x＝2代入①解得y＝﹣1， ∴； （2）， ①+③得2x+3z＝1④， 联立②和④得， 解得， 把x＝2代入①解得y＝﹣1， ∴原方程组的解为， 【变式3】（2025春•徐汇区校级期末）解方程组：． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】利用加减消元法解答即可． 【解答】解：， ②+③得2x﹣y＝2，则， ①﹣④×2得x＝0， 把x＝0代入①得y＝﹣2， 把x＝0，y＝﹣2都代入③得z＝7， 故方程组的解为． 【题型二】三元一次方程组的应用 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）下列判断语句中，错误的是（　　） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是﹣1 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是017．（2025•江油市开学）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，然后根据需要的钱数可得两个三元一次方程；然后将两个三元一次方程相加，不难得出购甲、乙、丙三种商品各一件需要的钱数． 【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得： 4x+4y+4z＝800， 4（x+y+z）＝800， ∴x+y+z＝200， ∴三种商品各一件共需200元钱． 故选：A． 【例2】（2025春•西城区校级期末）有三种物体□，Δ，o，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（　　） A．2g B．3.5g C．4.5g D．5.5g 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】由图（a）和图（b）可得b+c＝2.5，a+c＝2，进而根据b+c＜a+b+c＜（a+c）+（b+c），求出取值范围即可解题． 【解答】解：设种物体□，△，〇的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：2a+b+3c＝6.5①，2b+2c＝5， 即b+c＝2.5，a+c＝2， 所以2.5＜a+b+c＜4.5， 故选：B． 【例2】（2025秋•杨浦区校级期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． （1）求水果超市购进三种水果各多少千克？ （2）在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【分析】（1）根据题意苹果占总数的列出算式，计算 即可求出值，再用剩余的求出苹果与香蕉的千克数； （2）根据题意求出三种水果的单价，进而表示出提价后的价钱，乘以各自的千克数（除去损失），列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：， ∵桔子占剩下的， ∴桔子的质量为600×（1）144， ∴香蕉的质量为216， 即苹果、桔子、香蕉的质量分别为240千克、144千克、216千克； （2）解：根据题意得： 苹果：1750（元）， 1200（元），实赚1750﹣1200＝550（元）； 香蕉：945（元）， 216×3＝648（元），实赚：600﹣240﹣216＝144945﹣648＝297（元）； 桔子：840（元）， 576（元），实赚：840﹣576＝264（元）， 550+297+264＝1111（元），则该商店共赚1111元钱． 【变式1】（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（　　） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为x，y，z个，根据题意列方程得5x+10y+15z＝100，化简后根据x，y，z均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可． 【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x，y，z个， 根据题意列方程得5x+10y+15z＝100， 即x+2y+3z＝20， 由题意得x，y，z均为正整数． ①当z＝1时，x+2y＝17， ∴， ∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数； ②当z＝2时，x+2y＝14， ∴， ∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数； 综上所述：共有8+6＝14种购买方案， 综上所述，只有选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】25．（2025•重庆开学）某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需　110　 元． 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，足球的单价为z元，根据“购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，利用（方程①﹣方程②×2），即可求出结论． 【解答】解：设篮球的单价为x元，排球的单价为y元，足球的单价为z元， 根据题意得：， ①﹣②×2得：x+y+z＝110， ∴买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需110元． 故答案为：110． 【变式3】（2025春•北仑区期末）问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　2　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【考点】三元一次方程组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识． 【分析】（1）依据题意，由可得①﹣②得，2x+y＝2，进而判断得解； （2）依据题意，由，可得①+②得，3x＝3a+1，进而x，再把x代入②得，2y＝2﹣a，故可得y，再计算x+y可以判断得解； （3）依据题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元，则，可得①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420，故2x+2y+2z＝150，进而可以得解． 【解答】解：（1）， ∴①﹣②得，2x+y＝2． 故答案为：2． （2）， ∴①+②得，3x＝3a+1， ∴x． 把x代入②得， 2y＝2﹣a， ∴y． ∴x+y． ∴无论a取何值，x+y的值始终不变． （3）由题意，设购买甲1件x元，乙1件y元，丙1件z元， 则， ∴①×8+②×4得，20x+20y+20z＝1080+420， ∴2x+2y+2z＝150． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 【课后练习】 1．（2025春•樊城区校级月考）若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【考点】解三元一次方程组；点的坐标．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；平面直角坐标系；运算能力． 【分析】利用加减消元法解方程组，然后根据各象限内的点的坐标特征即可求得答案． 【解答】解：， ①﹣②得：y﹣z＝7④， ③+④得：2y＝12， 解得：y＝6， 将y＝6代入①得：x+6＝3， 解得：x＝﹣3， 则P（﹣3，6）在第二象限， 故选：B． 2．（2025•合肥校级二模）若a﹣b+c＝5，a+b+c＝﹣3，则c2﹣ab的值满足（　　） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】通过联立方程消去变量，求出b的值，再用a与c的关系代入表达式c2﹣ab，转化为完全平方形式判断符号． 【解答】解：①+②得2a+2c＝2， 则a＝1﹣c， 将a＝1﹣c代入②得：1﹣c+b+c＝﹣3， 解得：b＝﹣4， 则c2﹣ab ＝c2+4（1﹣c） ＝（c﹣2）2≥0， 故选：D． 3．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】把z看作已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值． 【解答】解：， ①﹣②得：y＝﹣z﹣2， 把y＝﹣z﹣2代入①得：x+z+2＝1﹣4z， 解得：x＝﹣1﹣5z， 把x＝﹣1﹣5z，y＝﹣z﹣2代入得：x+y+6z＝﹣1﹣5z﹣z﹣2+6z＝﹣3． 故选：A． 4．（2025春•泉州期末）若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】将三个方程相加并两边同时除以2可求得x+y+z的值，然后将3k﹣x﹣y﹣z＝6变形后代入数值解关于k的方程即可． 【解答】解：已知方程组， 将三个方程相加可得2x+2y+2z＝18， 则x+y+z＝9， ∵方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6， ∴3k＝6+x+y+z＝6+9＝15， ∴k＝5， 故选：C． 5．（2025秋•鼓楼区校级月考）如果关于x的方程x3+ax2+bx+c＝0的根分别为﹣2，1，3，那么a的值是　﹣2　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【分析】把方程的根代入方程，解三元一次方程组即可求解． 【解答】解：x3+ax2+bx+c＝0的根分别为﹣2，1，3， 代入得， 解得a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 6．（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　0　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【分析】由于（m+2）x+y|m+1|+z＝4是三元一次方程，可知指数为1，各未知数系数不为0． 【解答】解：∵（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程， 可得：m+2≠0，|m+1|＝1， 所以解得：m＝0， 故答案为：0 7．（2025春•新会区校级月考）已知方程组，则x+y+z＝　8　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】先解三元一次方程组，再求解． 【解答】解：， 由②﹣①得：2x+6y＝12③， 由③得：x＝6﹣3y④， 将④代入①得：18﹣9y+7y+z＝20， ∴z＝2+2y， ∴x+y+z＝6﹣3y+y+2+2y＝8， 故答案为：8． 8．（2025春•和平区校级月考）已知，则x+y+z的值为 　9　 ． 【考点】解三元一次方程组；代数式求值．版权所有 【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】方程组三个方程左右两边相加，化简即可求出所求． 【解答】解：， ①+②+③得：3x+3y+3z＝27， 即3（x+y+z）＝27， 则x+y+z＝9． 故答案为：9． 9．（2025春•东坡区校级期中）解下列方程： （1）7x+6＝16﹣3x． （2）． （3）． （4）． 【考点】解三元一次方程组；解一元一次方程；解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）依据题意，根据解一元一方程的一般步骤计算可以得解； （2）依据题意，根据解一元一方程的一般步骤计算可以得解； （3）依据题意，根据解方程组的一般步骤计算可以得解； （4）依据题意，根据解三元一次方程组的步骤计算可以得解． 【解答】解：（1）∵7x+6＝16﹣3x， ∴7x+3x＝16﹣6． ∴10x＝10． ∴x＝1． （2）由题意，∵， ∴3（3﹣x）﹣2（x﹣8）＝6． ∴9﹣3x﹣2x+16＝6． ∴﹣5x＝﹣19． ∴x． （3）由题意，， 由①得，y＝3x﹣2， 把y＝3x﹣2代入②得，2x﹣5（3x﹣2）＝﹣3． ∴x＝1． 把x＝1代入y＝3x﹣2得，y＝1． ∴原方程组的解为． （4）由题意，， ∴①+②得，3x+z＝1④， ②+③得，6x﹣4z＝﹣4⑤， ∴④×2﹣⑤得，6z＝6． ∴z＝1． 把z＝1代入④得3x+1＝1， ∴x＝0． 把x＝0，z＝1代入②得，0﹣3y﹣1＝﹣2， ∴y． ∴原方程组的解为． 10．（2025春•井研县校级月考）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 【考点】解三元一次方程组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）把①代入②，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值； （2）先把①代入③，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，即可． 【解答】解：（1）按照小明的思路，完成解方程组的过程如下： ， 把①代入②，得5x﹣2×2＝6， ∴x＝2， 把x＝2代入①得：2+y＝2， ∴y＝0， ∴； （2）， 把①代入③得：3+c＝0， ∴c＝﹣3， 把c＝﹣3代入②得：5a﹣9＝1， ∴a＝2， 把a＝2代入①得：2+b＝3， ∴b＝1， ∴． 11．（2025•重庆校级开学）电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（　　）张 A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设三种票分别买了x，y，z张．则根据题意列出关于x，y，z的三元一次方程组，然后解z﹣x的值即可． 【解答】解：分别设三种票买了x，y，z张． 则根据题意列三元一次方程得，， 由②得y＝30﹣x﹣z③ 将③代入①，得：z﹣x＝10． 即票价为20元的比票价为10元的多10张， 故选：A． 12．（2025春•蔡甸区校级期末）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（　　） A．140元 B．145元 C．150元 D．165元 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为x元、y元、z元，根据B盒和C盒的成本列出方程组，通过消元法求出x+y的值，再代入A盒的成本表达式求解即可． 【解答】解：设保温杯成本为x元、电子手表成本为y元、蓝牙耳机的成本为z元，根据题意列三元一次方程组得： ， 则（2x+3y+z）﹣（x+2y+z）＝155﹣100， 化简得：x+y＝55， 由x+2y+z＝100得z＝100﹣x﹣2y， 则A盒成本为： x+3y+2z ＝x+3y+2（100﹣x﹣2y） ＝x+3y+200﹣2x﹣4y ＝﹣x﹣y+200 ＝﹣55+200 ＝145（元）， 即A盒的成本为145元， 故选：B． 13．（2025•盐亭县开学）一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角．3种包装的饮料每瓶各多少元（　　） A．1个大瓶3元，1个中瓶2元，1个小瓶1元 B．1个大瓶5元，1个中瓶4元，1个小瓶3元 C．1个大瓶5元，1个中瓶3元，1个小瓶1.6元 D．1个大瓶4元，1个中瓶3.5元，1个小瓶2.6元 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】根据题意可得，1个中瓶＝2个小瓶﹣0.2，1个大瓶＝1个中瓶+1个小瓶+0.4，1个大瓶+1个中瓶+1个小瓶＝9.6；设大、中、小瓶包装的饮料分别为x、y、z元，根据上述等量关系列出三元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：设大、中、小瓶包装的饮料每瓶分别为x、y、z元．根据题意得 解得 答：小瓶饮料每瓶1.6元，则中瓶饮料每瓶3元，大瓶饮料每瓶5元． 故选：C． 14．（2025秋•南岸区校级期中）某超市为迎接“双十一”大促，推出饼干、巧克力、面包三种热销商品，并将其搭配成甲、乙、丙三种优惠礼包销售．其中甲礼包含3盒饼干、1块巧克力、6个面包；乙礼包含5盒饼干、10个面包；丙礼包含2盒饼干、2块巧克力、3个面包．每个礼包的售价等于礼包内所有商品售价之和，11月11日（双十一促销日）当天，超市对饼干、巧克力、面包的售价分别打8折、8折、5折销售，11月12日恢复原价．小明发现11月11日一个甲礼包的售价等于11月12日一个乙礼包售价的48%，11月11日一个乙礼包的售价比11月12日一个丙礼包售价多4元，若饼干、巧克力、面包的原价都是正整数，且一盒饼干的原价不超过10元，则小明在11月11日购买一个丙礼包，应该付　31.6元　 ． 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】设饼干的单价为x元，巧克力的单价为y元，面包的单价为z元，根据“11月11日一个甲礼包的售价等于11月12日一个乙礼包售价的48%，11月11日一个乙礼包的售价比11月12日一个丙礼包售价多4元”，可列出关于x，y，z的三元一次方程组，解之可得出x＝1.25z+2，y＝2.25z，结合x，y，z均为正整数且x≤10，可得出x，y，z的值，再将其代入0.8×2x+0.8×2y+0.5×3z中，即可求出结论． 【解答】解：设饼干的单价为x元，巧克力的单价为y元，面包的单价为z元， 根据题意得：， 化简得：， 将①代入②得：x＝2.25z+2﹣z＝1.25z+2， ∵x，y，z均为正整数，且x≤10， ∴z＝4， ∴x＝1.25z+2＝1.25×4+2＝7，y＝2.25z＝2.25×4＝9， ∴0.8×2x+0.8×2y+0.5×3z＝0.8×2×7+0.8×2×9+0.5×3×4＝31.6（元）， ∴小明在11月11日购买一个丙礼包，应该付31.6元． 故答案为：31.6元． 15．（2025•西安校级开学）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有　9或7　 名同学． 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c＝365，再根据极值可得a+b+c＝12或13，再分a+b+c＝12或13两种情况，分别确定b、c的关系，然后运用列举法确定c的值即可解答． 【解答】解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人． 则由题意得：28a+30b+31c＝365， ∵28（a+b+c）＜28a+30b+31c＝365， ∴， ∴a+b+c≤13， ∵31（a+b+c）＞28a+30b+31c＝365， ∴ ∴a+b+c≥12， ∴a+b+c＝12或13， 当a+b+c＝12时，则28a+30b+31c＝28（a+b+c）+2b+3c＝28×12+2b+3c＝365，即2b+3c＝29； ∴， 当b＝1时，c＝9；当b＝4时，c＝7；当b＝7时，c＝5，此时a＝0，不符合题意（因题干提及甲、乙、丙三组，默认各组人数为正整数）；当b＝10时，c＝3，此时a＜0，不符合题意； 当a+b+c＝13时，则28a+30b+31c＝28（a+b+c）+2b+3c＝28×13+2b+3c＝365，即2b+3c＝1，此方程无符合题意的解． 综上，丙组的学生数为9或7名同学． 故答案为：9或7． 16．（2025春•阿荣旗期末）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1～9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中y的值为　8　 ． 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】利用九宫格的规则列出三元一次方程组求解即可． 【解答】解：根据题意列三元一次方程组可得， ， 解得， 即使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，图中y的值为8， 故答案为：8． 17．（2025春•芜湖期末）有甲、乙、丙三种小商品，若购甲2件、乙5件、丙1件，共需80元；若购甲4件、乙1件、丙5件，共需130元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需　35　 元． 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设甲、乙、丙三种小商品的单价分别为x元，y元，z元，根据题意，得，解方程组即可． 【解答】解：设甲、乙、丙三种小商品的单价分别为x元，y元，z元， 根据题意列三元一次方程组得，， 故， ， 即购甲、乙、丙货物各1件，则共需要35元， 故答案为：35． 18．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③ ③得，2x+y+z＝3 所以，2x+y+z的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元，根据题意列得方程组为，然后根据②﹣①×2求得x+y+z的值后再两边同时乘以45即可． 【解答】解：（1）①+②得：6x+8y+10z＝36， 两边同时除以2得：3x+4y+5z＝18， 即3x+4y+5z的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面红旗需要z元， 由题可得， ②﹣①×2：x+y+z＝10， 两边同时乘以45得：45x+45y+45z＝450， 即购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5三元一次方程组题型总结讲义 【题型一】解三元一次方程组 【例1】（2025•德州）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，x+2y＝5的正整数解有2组，x+2y＝7的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有（　　） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【考点】解三元一次方程组；二元一次方程的解．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力． 【分析】根据二元一次方程组的解的个数总结规律，然后令y+z＝k，从而求得k的整数解的个数，再根据y，z为正整数分别确定k取不同的解时y+z＝k的正整数解的个数，然后将它们相加即可． 【解答】解：关于x，y的方程x+2y＝3的正整数解有1组，即1， x+2y＝5的正整数解有2组，即2， x+2y＝7的正整数解有3组，即3， …， x+2y＝n（n为正奇数），其正整数解有组， 已知关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15， 设y+z＝k， 则x+2k＝15， 其正整数解的组数为7， ∵x为正整数， ∴k＝1，2，3，4，5，6，7， ∴y+z＝1，2，3，4，5，6，7， ∵y，z都是正整数， ∴当y+z＝1时，不符合题意， 当y+z＝2时，有1组正整数解， 当y+z＝3时，有2组正整数解， 当y+z＝4时，有3组正整数解， 当y+z＝5时，有4组正整数解， 当y+z＝6时，有5组正整数解， 当y+z＝7时，有6组正整数解， 则1+2+3+4+5+6＝21（组）， 即关于x，y，z的方程x+2y+2z＝15的正整数解有21组， 故选：B． 【例2】（2025春•花溪区校级月考）三元一次方程组的解是　　 ． 【考点】解三元一次方程组．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【解答】解：， ①﹣②得：x﹣z＝﹣2④， ③+④得：2x＝2， 解得：x＝1， 将x＝1代入①得：1+y＝3， 解得：y＝2， 将x＝1代入③得：1+z＝4， 解得：z＝3， 故原方程组的解为， 故答案为：． 【例3】（2025春•平舆县期末）[阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组． 解：把②代入①得，x+2×1＝3，解得x＝1． 把x＝1代入②得y＝0， 所以方程组的解为． （2）已知，求x+y+z的值． 解：①+②，得10x+10y+10z＝40，③ ③÷10，得x+y+z＝4． [类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若，求x+y+z的值． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答； （2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 把②代入①得：3×2+4＝2a， 解得：a＝5， 把a＝5代入②得：5﹣b＝2， 解得：b＝3， ∴原方程组的解为：； （2）， ①﹣②得：4x+4y+4z＝4， ∴x+y+z＝1， ∴x+y+z的值为1． 【变式1】（2025春•闵行区校级期末）方程组的解为　 　 ． 【变式2】（2025春•应城市期末）解下列方程组． （1） （2） 【变式3】（2025春•徐汇区校级期末）解方程组：． 【题型二】三元一次方程组的应用 【例1】（2024秋•雁塔区校级期中）下列判断语句中，错误的是（　　） A．最小的正整数是1 B．最大的负整数是﹣1 C．没有最大的有理数 D．最小的有理数是017．（2025•江油市开学）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件，乙2件，丙1件共需420元钱，购甲1件，乙2件，丙3件共需380元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（　　） A．200元 B．300元 C．350元 D．400元 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元，然后根据需要的钱数可得两个三元一次方程；然后将两个三元一次方程相加，不难得出购甲、乙、丙三种商品各一件需要的钱数． 【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x元、y元、z元， 根据题意有：， 把这两个方程相加得： 4x+4y+4z＝800， 4（x+y+z）＝800， ∴x+y+z＝200， ∴三种商品各一件共需200元钱． 故选：A． 【例2】（2025春•西城区校级期末）有三种物体□，Δ，o，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（　　） A．2g B．3.5g C．4.5g D．5.5g 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【分析】由图（a）和图（b）可得b+c＝2.5，a+c＝2，进而根据b+c＜a+b+c＜（a+c）+（b+c），求出取值范围即可解题． 【解答】解：设种物体□，△，〇的重量分别为x克，y克，z克， 由图（a）和图（b）可得：2a+b+3c＝6.5①，2b+2c＝5， 即b+c＝2.5，a+c＝2， 所以2.5＜a+b+c＜4.5， 故选：B． 【例2】（2025秋•杨浦区校级期中）某水果超市运进苹果、桔子和香蕉三种水果共600千克，其中苹果占，桔子占剩下的，香蕉的进价为3元/千克，桔子每千克的进价比香蕉多，苹果每千克的进价比桔子多． （1）求水果超市购进三种水果各多少千克？ （2）在销售过程中，三种水果分别提价销售，因腐烂等原因有的损失，将这批水果全部卖出，该商店共赚多少钱？ 【考点】三元一次方程组的应用．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【分析】（1）根据题意苹果占总数的列出算式，计算 即可求出值，再用剩余的求出苹果与香蕉的千克数； （2）根据题意求出三种水果的单价，进而表示出提价后的价钱，乘以各自的千克数（除去损失），列出算式，计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：， ∵桔子占剩下的， ∴桔子的质量为600×（1）144， ∴香蕉的质量为216， 即苹果、桔子、香蕉的质量分别为240千克、144千克、216千克； （2）解：根据题意得： 苹果：1750（元）， 1200（元），实赚1750﹣1200＝550（元）； 香蕉：945（元）， 216×3＝648（元），实赚：600﹣240﹣216＝144945﹣648＝297（元）； 桔子：840（元）， 576（元），实赚：840﹣576＝264（元）， 550+297+264＝1111（元），则该商店共赚1111元钱． 【变式1】（2025•齐齐哈尔四模）在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（　　） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【变式2】25．（2025•重庆开学）某校为开展体育活动，购买同样的篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，后来又买同样的篮球3个，排球2个，足球1个共花费170元，问买同样的篮球1个，排球1个，足球1个，共需　 　 元． 【变式3】（2025春•北仑区期末）问题提出 已知实数x，y满足，求7x+5y的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得7x+5y＝19．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 利用上面的知识解答下面问题： （1）已知方程组，则2x+y的值为 　 　 ． 问题探究 （2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，x+y的值始终不变． 问题解决 （3）甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【课后练习】 1．（2025春•樊城区校级月考）若点P（x，y）满足方程组，则点P在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（2025•合肥校级二模）若a﹣b+c＝5，a+b+c＝﹣3，则c2﹣ab的值满足（　　） A．小于0 B．小于或等于0 C．大于0 D．大于或等于0 3．（2025春•凉山州期末）若实数x，y，z满足，则x+y+6z＝（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．不能确定值 4．（2025春•泉州期末）若方程组的解满足方程3k﹣x﹣y﹣z＝6，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 5．（2025秋•鼓楼区校级月考）如果关于x的方程x3+ax2+bx+c＝0的根分别为﹣2，1，3，那么a的值是　 　 ． 6．（2024秋•荔城区校级期末）若（m+2）x+y|m+1|+z＝4是关于x，y，z的三元一次方程，则m＝　 　 ． 7．（2025春•新会区校级月考）已知方程组，则x+y+z＝　 　 ． 8．（2025春•和平区校级月考）已知，则x+y+z的值为 　 　 ． 9．（2025春•东坡区校级期中）解下列方程： （1）7x+6＝16﹣3x． （2）． （3）． （4）． 10．（2025春•井研县校级月考）【数学问题】解方程组． 【思路分析】小明观察后发现可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． （2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组． 11．（2025•重庆校级开学）电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（　　）张 A．10 B．11 C．12 D．13 12．（2025春•蔡甸区校级期末）某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（　　） A．140元 B．145元 C．150元 D．165元 14．（2025秋•南岸区校级期中）某超市为迎接“双十一”大促，推出饼干、巧克力、面包三种热销商品，并将其搭配成甲、乙、丙三种优惠礼包销售．其中甲礼包含3盒饼干、1块巧克力、6个面包；乙礼包含5盒饼干、10个面包；丙礼包含2盒饼干、2块巧克力、3个面包．每个礼包的售价等于礼包内所有商品售价之和，11月11日（双十一促销日）当天，超市对饼干、巧克力、面包的售价分别打8折、8折、5折销售，11月12日恢复原价．小明发现11月11日一个甲礼包的售价等于11月12日一个乙礼包售价的48%，11月11日一个乙礼包的售价比11月12日一个丙礼包售价多4元，若饼干、巧克力、面包的原价都是正整数，且一盒饼干的原价不超过10元，则小明在11月11日购买一个丙礼包，应该付　 　 ． 15．（2025•西安校级开学）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，则丙组有　 　 名同学． 16．（2025春•阿荣旗期末）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1～9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中y的值为　 　 ． 17．（2025春•芜湖期末）有甲、乙、丙三种小商品，若购甲2件、乙5件、丙1件，共需80元；若购甲4件、乙1件、丙5件，共需130元．若购甲、乙、丙货物各1件，则共需　 　 元． 18．（2025春•闵行区校级期末）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得，4x+2y+2z＝6③ ③得，2x+y+z＝3 所以，2x+y+z的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $