精品解析：2026年上海市中考数学试题

2026年上海市初中学业水平考试 数学试卷 （考试时间100分钟，满分150分） （试卷共5页，答题纸共2页） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列选项中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数和有理数的定义逐一判断选项即可，用到的知识点为：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称． 【详解】解：选项A，是分数，属于有理数， 选项B，是整数，属于有理数， 选项C，是无限不循环小数，是无理数， 选项D，，是整数，属于有理数． 2. 下列选项中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 4. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟． A. 50，50 B. 45，60 C. 50，60 D. 55，60 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的定义，先求出7天需要的总运动时间，再减去前5天的总运动时间，得到周六周日的总运动时间，对比选项得到结果． 【详解】解：∵7天平均运动时间为40分钟， ∴7天总运动时间为分钟， ∵周一到周五的总运动时间为分钟， ∴周六和周日的总运动时间为分钟， 对比各选项，只有C选项中，符合题意． 5. 已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 相切 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据两圆位置关系的判定方法，比较圆心距与两圆半径差的大小，即可得出结论，若两圆半径分别为，（），圆心距为，当时，两圆内含． 【详解】解：设的半径，的半径，两圆圆心距， ， ， 与的位置关系是内含． 6. 如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是( ) A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，，设，则， 是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则 同理可得，， ∴四边形的周长 四边形的周长 故①正确，②错误 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 【请将结果直接填入答题纸相应的空格内】 7. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 8. 在1，，，4，5这5个数中选一个数，选出的数是正数的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再找出选出的数为正数的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，总共有个数，所有等可能的结果总数，其中正数为，，，满足条件的结果数． 根据概率公式，可得选出的数是正数的概率为． 9. 方程 的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴ 解得：，经检验是原方程的解． 10. 在中，，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出直角边的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 根据正切的定义，． 11. 在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题分是顶角，是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件，排除不符合条件的情况后求解． 【详解】已知等腰中，，且． 若是顶角，则，所以，符合； 若是底角，当是顶角时，，所以，符合； 当是顶角时，，与矛盾，故舍去． 综上，的度数为或． 12. 已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 13. 如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得到，再结合平行四边形法则得到，进而求出用、表示的结果． 【详解】解：如图，设正六边形的中点为，连接，， 在正六边形中，、，且、， 四边形是平行四边形， 根据向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线向量等于两邻边向量之和：， ． 14. 某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】用年进出口集装箱数量减去年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答． 【详解】解：根据题意列算式计算得：． 15. 某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有________人． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知，300名学生每周做家务次数大于5次的有（人）， 在300名学生中，每周做家务次数大于5次的学生占比为， 据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有（人）， 16. 如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设梯形的高为，用表示出的长度，利用三角形面积公式求出与的乘积，最后代入梯形面积公式计算即可求解． 【详解】解：设梯形的高为 是梯形的中位线 ，，与之间的距离为 在中，为中点， 同理可得 梯形的面积为． 17. 如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，结合求出，利用旋转的性质得到，，判定为等边三角形，从而得出，最后在中求出与的数量关系即可求解． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， ，，， ， 在（设交于点）中， 由旋转的性质可知， ，， 在中，，， 是等边三角形 ， 在中，， ， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分） 【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、绝对值的性质、二次根式化简以及分母有理化的知识． 先分别化简每一项，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：原式   ． 19. 解方程组：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题使用代入消元法求解，先将一次方程变形，用含的代数式表示，再代入二次方程得到一元二次方程，求解后再回代求的值． 【详解】解： 由②得 把③代入①得 整理得 因式分解得 解得， 把代入③得 把代入③得 ∴原方程组的解是，． 20. 如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． （1）当米时，至少需要小于多少米？ （2）若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 【答案】（1）至少需要小于米 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入中，解得，即可求解； （2）过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，，在中，，，得到，，即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知，当米时，，解得， ∴至少需要小于米； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作建筑物的垂线，垂足为点，则，， 在中，，， ∴，， ∴． 21. 某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． （1）设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 （2）①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 【答案】（1）表格依次填入，；关于的函数解析式为 （2）①位；②位 【解析】 【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游客到达间隔推出表格数据，再推导得到关于的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时的范围，结合为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51秒． 所以当时，． 每位游客到达间隔为秒， 当时，． ∵位游客，第一位用时51秒，剩余位每位间隔秒， ∴ 【小问2详解】 解：①从8点10分0秒整到8点12分0秒整，总计时秒． 令 解得为正整数，因此最大． 答：一共有位游客到达观景台． ②从8点10分0秒整到8点14分0秒整，总计时秒． 令 解得为正整数， 因此到8点14分0秒整最多有位游客到达． 该时间段游客数为． 答：一共有位游客到达观景台． 22. 如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． （1）如果，求证：； （2）如果的角平分线交、于点、，求证：． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即 故． （2）证明：据（1）可知， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线平分内角，结合等角对等边得，由得到，再由证，推出，结合菱形边长相等证出； （2）先通过与推导，结合角平分线得，证得，写出相似比例式，用代换，变形得到乘积等式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． （1）已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； （2）已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【答案】（1） （2），点在抛物线上 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，计算线段比，再求出抛物线解析式，代入点坐标验证点是否在抛物线上． 【小问1详解】 解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 24. 在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． （1）如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； （2）如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 【答案】（1）①证明：如图，作于，于，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②； （2） 【解析】 【分析】（1）①作于，于，连接，利用垂径定理结合，得出，证明，得出，再证明，即可求证； ②先证明，得出，可得，则，即可得出，，再求出，即可求解； （2）证明，得出，设，，可得，，求出，连接，交于点，由（1）可得，，得出，证明为的重心，得出，设，在和中，利用勾股定理列式求出，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：①略； ②∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， 设，， 则， ∴， ∴， ∴， 连接，交于点， 由（1）①中可得（图1）， 又∵（①已证）， ∴， ∴， 又∵（①已证）， ∴， ∴， ∵为边的中点，为边的中点， ∴为的重心， ∴， 设，则， ∵在和中，， ∴， 化简得（负值舍）， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市初中学业水平考试 数学试卷 （考试时间100分钟，满分150分） （试卷共5页，答题纸共2页） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列选项中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 2. 下列选项中，与是同类项的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一周的周一至周五，某同学的运动时间为34、28、40、36、32分钟，为了让一周7天内的平均活动时间恰好达到40分钟，该同学周六、周日应分别运动（ ）分钟． A. 50，50 B. 45，60 C. 50，60 D. 55，60 5. 已知的半径为，的半径为，且，则与位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 相切 D. 相离 6. 如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是( ) A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 【请将结果直接填入答题纸相应的空格内】 7. 计算的结果为________． 8. 在1，，，4，5这5个数中选一个数，选出的数是正数的概率为________． 9. 方程 的解为________． 10. 在中，，，，则的值为________． 11. 在等腰三角形（）中，，则的度数为________． 12. 已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 13. 如图，在正六边形中，，，用、表示的结果是________． 14. 某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 15. 某区抽查300名学生每周做家务的次数，如图所示，据此可以推测全区9000名学生每周做家务次数大于5次的有________人． 16. 如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________． 17. 如图，在等边中，点是边的中点，连接，将绕点旋转（），得到，边交于点，当时，的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分） 【请在答题纸相应位置写下相应步骤】 18. 计算： 19. 解方程组：． 20. 如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆与建筑物的底端处在同一水平面上，规定建筑物高度与栏杆到建筑物的距离满足即为安全． （1）当米时，至少需要小于多少米？ （2）若在观测场测得的长是，的长为，在处观测的仰角为，求．（用含、、的代数式表示） 21. 某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，时第一位游客站上扶梯，时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为秒． （1）设登上观景台的游客数为，时间为（从开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出关于的函数解析式；（不用写定义域） 表1 （2）①请你求出从整，一共有几位游客到达观景台； ②请你求出，一共有几位游客到达观景台． 22. 如图，菱形中，是线段上的点，连接交对角线于点，且． （1）如果，求证：； （2）如果的角平分线交、于点、，求证：． 23. 对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． （1）已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； （2）已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 24. 在半圆中，点为圆心，线段为直径，、是半圆上两点，是上一点，连接、交于点，且． （1）如图1，连接； ①求证：； ②如图2，连接交弦于点 ，若，，，求的长； （2）如图3，连接、 交于点，线段 上有一点 使得，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $