精品解析：江苏南京联合体2025-2026学年下学期期末学情调研 八年级数学

2025-2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式定义判断即可．最简二次根式的定义：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x≠﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得，x﹣2≠0， 解得x≠2． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 3. 下列是随机事件的是（ ） A. 投出的篮球会下落 B. 购买1张体育彩票中奖 C. 两直线平行，同位角相等 D. 13个人中至少有2人生日在同一个月 【答案】B 【解析】 【分析】在一定条件下，一定发生的事件是必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，再逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：选项A，投出的篮球受重力作用一定会下落，是必然事件，不符合要求； 选项B，购买1张体育彩票，可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，符合要求； 选项C，“两直线平行，同位角相等”是平面几何定理，一定成立，是必然事件，不符合要求； 选项D，一年共12个月，13个人中至少有2人生日在同一个月，一定发生，是必然事件，不符合要求． 4. 下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可得到答案． 【详解】根据因式分解的定义，变形后等式右边需为几个整式的乘积形式，逐一判断： A．等式右边为，是和的形式，不是乘积形式，∴ A不是因式分解； B．变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，右边不是乘积形式，∴ B不是因式分解； C．变形是整式乘法，右边是和的形式，不是乘积形式，∴ C不是因式分解； D．左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，符合因式分解的定义，∴ D是因式分解． 故选：D． 5. 若分式中，的值都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将都扩大2倍后代入原分式，化简后和原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：∵原分式为，都扩大2倍， 则可得新分式：， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变． 6. 如图，在中，是边上的点，，，的延长线相交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，结合平行线的性质推导角的关系，进而判断各选项 ． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，故A选项正确； ， ， ，故D选项正确； ， ，故C选项正确； ，， 若，则， 此时为等边三角形，题目未给出此条件，故B选项错误． 7. 与相乘，积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘法法则或平方差公式计算乘积，再判断结果是否为有理数即可． 【详解】解：A选项：，结果是无理数，不符合要求； B选项，结果是无理数，不符合要求； C选项：，结果是无理数，不符合要求； D选项：，是有理数，符合要求． 8. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，当取最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形得，．过点作，将点关于对称得，．利用矩形性质证明为定值，故最小值为．设交于点，在中利用三角形内角和证明，从而为中点；同理证明为中点，得；进而得到，在中用勾股定理求，进而求得． 【详解】解：菱形中，，， ，，， 过点作，将点关于对称得， ，， ， 由对称性得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形为平行四边形， ，， 延长交过点平行于的直线于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，均为定值，， 为定值， 由对称性得， ，当且仅当、、三点共线时取等号， 对上任意点，， 设交于点， 是关于的对称点，， ， 又、均在上， ， 在中，， ， 设，则， ， ， ， ， 、、共线， ， ， ， 又， ，即是的中点， 同理可得，即是的中点， ， ， 在中，，， 由勾股定理：， ， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分母有理化的方法去掉分母中的根号，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 12. 为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】在大量重复试验中，可用事件发生的频率估计该事件发生的概率，计算出发芽的频率即可得到概率的估计值． 【详解】解：根据利用频率估计概率的方法，这种绿豆种子发芽概率的估计值等于发芽频率，即． 13. 分式与的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中两个分式的分母都是单项式，最简公分母为各系数的最小公倍数与所有字母最高次幂的乘积，由此求解即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是． 14. 方程 的解为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故答案为：． 15. 已知，，求的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接把，整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 16. 如图，是正方形对角线上的一点，，过点作的垂线，交于点．若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质得出，，利用证明，得出，再证是等腰直角三角形得出，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，， ，，， 在中，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 17. 若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先令最简公分母为零确定增根，再将增根代入去分母后得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：该分式方程的最简公分母为，令，得方程的增根为， 将原方程两边同乘去分母，得， 把代入整式方程，得， 整理得，解得． 18. 如图，在矩形中，，，是的中点，是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在处，当时，的长为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，由中点定义得出的长，根据折叠的性质和平行线的性质证得，从而得出，进而判定四边形为菱形，过点作于点，利用三角形中位线定理求出和的长，分点在点右侧和点在点左侧两种情况，利用勾股定理求出的长，最后利用菱形的面积公式求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 点是的中点， ，由折叠可得，， ，即， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ，过点作于点， 点是的中点，， 是的中位线， ，，当点在点右侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得，当点在点左侧时，如图所示， ，在中，， ， ，解得， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式即，分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式，分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值： ，其中x=﹣3 【答案】-1 【解析】 【详解】分析：先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，化简化把x的值代入求值. 详解： ＝ ＝. 当x＝﹣3时， 原式＝＝－1. 点睛：本题考查了分式的化简求值，分式的化简求值是指不直接把字母的取值代入到分式中计算，而是要先化简，然后再代入求值． 22. 2026赛季的“苏超”如约重返我们的生活，对于“苏超”的成功之处，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为：A．以城为名-强化归属感；B．社交传媒-网络玩爆梗；C．赛事升级-城市嘉年华；D．票根经济-驱文旅消费；E．商业赞助-引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热点话题E所在扇形的圆心角度数为 ； （3）若这个小区居民共有1600人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中选择的热点话题是“B”的人数． 【答案】（1）200， （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）样本容量对应组人数对应组占比，所以用B的人数除以即可得到样本容量；用总样本容量减去A、B、D、E的人数，即可求出C类的人数，以此补全条形统计图即可； （2）扇形圆心角 对应组占比，所以用该比例乘即可得到E所在扇形的圆心角度数； （3）总体中选择B的人数总人数 样本中B的占比，所以用小区总人数乘该占比即可估计出对应人数． 【小问1详解】 ∵话题B人数为60，占总人数的， ∴样本容量， 话题C的人数为：（人）； 统计图略； 【小问2详解】 ∵E人数为40， ∴ ； 【小问3详解】 ∵B占总体的， ∴1600人中选择B的人数估计为：（人）． 23. 某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率是一名分拣工人的20倍．用一台机器人分拣5000件货物，比原先10名工人分拣这些货物要少用．求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ 【答案】3000件 【解析】 【分析】设一名分拣工人每小时可分拣y件货物，根据时间差的等量关系列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解：设一名分拣工人每小时可分拣y件货物，则一台机器人每小时可分拣件货物， 根据题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， （件） 即一台机器人每小时分拣货物的件数为3000件． 24. 如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∵ 和 关于点 对称， ∴点 与 关于 对称，点与 关于 对称， ∴ ， ，即 四边形 的对角线互相平分， ∴四边形 是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；可得对角线互相平分，即可求证； （2）根据勾股定理先计算的长，再根据菱形的性质可知对角线互相垂直，根据等面积法可计算的长,进而根据勾股定理就可以计算 的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：在 中， ， ， ， ∴  ， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴在 中， ． 25. 当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． （1） ， ； （2）运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）①4； ②（ⅰ）； （ⅱ）解：，理由如下： 设分式， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴，当且仅当时，等号成立， 故与的大小关系为． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求解即可； （2）①根据结论可得，由此求解即可； ②（ⅰ）先对分式进行变形，再由结论求解范围即可； （ⅱ）先表示出，再结合的取值范围比较大小即可． 【小问1详解】 解：由完全平方公式可得； 【小问2详解】 解：①由结论：当，时，． 则有当时，， 当且仅当时，等号成立，即， ∴当时，式子的最小值为4； ②（ⅰ）． ∵，则有， ∴， 当且仅当时，等号成立，即， ∴分式的取值范围是； （ⅱ）略 26. 如图，直线，点在上，．四边形的顶点， 分别是，上的动点，且点在点右侧，点，在，之间． （1）如图①，若，，垂足为，且．求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形为正方形，用两种不同的方法求作正方形． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （3）如图②，矩形的顶点在上，，在上，点，， 分别在边，，上，点在矩形内或在其边上．当，之间的距离为时，若四边形为菱形，，，则的长的取值范围是 ． 【答案】（1）证明：∵，， ∴ ，且  如图，连， ∵，， ∴，， ， 在  和  中， ， ∴  又 ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：方法一：延长交于, ∵，， ∴， ∴， 若四边形为正方形，则, ∴, ∴, ∴， 所以作图思路如下：交于,截取， 分别以为圆心，为半径画圆，与的交点即为,再为圆心，为半径画圆，交于,顺次连接，所以四边形为所作正方形； 方法二：延长，交于，以为圆心，为半径画弧交于，以为圆心，为半径画弧交于，连接，以为圆心，为半径画弧交于，连接，作的垂直平分线交于点，连，则四边形为所作正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明，得到，已知，根据一组对边平行且相等即可证明四边形是平行四边形； （2）根据正方形的判定定理，方法一：构造全等，作出菱形由垂直得正方形，方法二：由作图和得为正方形，用可证明得出，再由垂直平分线可得，，得出四边形是菱形，进而由对角形互相垂直平分可得四边形为所作正方形； （3）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过作于，由菱形的性质可得从而解关于字母的取值范围，同理（1）可证，得到，可得到，代入，从而求出范围即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形， ∴,， 以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，过作于， ∵， ∴， ∴，，,, 设，，则，， 由矩形范围得，， ∵ 四边形为菱形， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， ∵ ∴， 即， ∴①或② 解①得， 解②得 ∵ ∴， 同理（1）可证, ∴， ∴，在矩形内（含边）， ∴， 代入​得 解得， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，尺规作图，勾股定理等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学情调研 八年级数学 注意事项： 1．本试卷全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. x＞2 B. x≥2 C. x≠2 D. x≠﹣2 3. 下列是随机事件的是（ ） A. 投出的篮球会下落 B. 购买1张体育彩票中奖 C. 两直线平行，同位角相等 D. 13个人中至少有2人生日在同一个月 4. 下列从左到右的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式中，的值都扩大2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 缩小为原来的 D. 不能确定 6. 如图，在中，是边上的点，，，的延长线相交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 与相乘，积为有理数的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，当取最小值时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 计算：______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 11. 计算的结果是______． 12. 为了鉴定和评价新品种绿豆，对3000粒绿豆种子在相同条件下进行发芽实验，发芽2850粒，估计这种绿豆种子发芽的概率是______． 13. 分式与的最简公分母是______． 14. 方程 的解为 ______ ． 15. 已知，，求的值是______． 16. 如图，是正方形对角线上的一点，，过点作的垂线，交于点．若，则的长为______． 17. 若关于的方程有增根，则的值为______． 18. 如图，在矩形中，，，是的中点，是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在处，当时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 因式分解： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值： ，其中x=﹣3 22. 2026赛季的“苏超”如约重返我们的生活，对于“苏超”的成功之处，某自媒体对小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点话题，分别为：A．以城为名-强化归属感；B．社交传媒-网络玩爆梗；C．赛事升级-城市嘉年华；D．票根经济-驱文旅消费；E．商业赞助-引体系创新．每人只能从中选一个热点话题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）热点话题E所在扇形的圆心角度数为 ； （3）若这个小区居民共有1600人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中选择的热点话题是“B”的人数． 23. 某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率是一名分拣工人的20倍．用一台机器人分拣5000件货物，比原先10名工人分拣这些货物要少用．求一台机器人每小时可分拣多少件货物？ 24. 如图，在 中， ， 是上一点， 和 关于点 对称．连接，． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）已知 ， ，求四边形 是菱形时 的长． 25. 当一个命题被证明了是真命题时，可作为结论解决其他问题． 已知，．求证：． 证明：，， ． ∴当，时，． （1） ， ； （2）运用结论解决问题： ①当时，式子的最小值为 ； ②已知分式． （ⅰ）分式的取值范围是 ； （ⅱ）设分式，比较与的大小关系，并说明理由． 26. 如图，直线，点在上，．四边形的顶点， 分别是，上的动点，且点在点右侧，点，在，之间． （1）如图①，若，，垂足为，且．求证：四边形是平行四边形． （2）若四边形为正方形，用两种不同的方法求作正方形． （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） （3）如图②，矩形的顶点在上，，在上，点，， 分别在边，，上，点在矩形内或在其边上．当，之间的距离为时，若四边形为菱形，，，则的长的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $