第1章 集合单元测试-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本集合单元卷全面覆盖集合运算、关系及应用，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配高中数学单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合交并补、子集关系|基础概念直接考查，强化抽象能力| |多选题|3/18|集合运算综合、参数范围|部分得分设计，提升推理严谨性| |填空题|3/15|孤立元素、杰卡德距离新定义|结合新情境，培养数学语言表达| |解答题|5/77|容斥原理应用、伴随拆分探究|分层设计，从基础运算到创新探究，发展应用意识|

第1章 集合单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 2．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 4．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 11．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，则__________． 13．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 16．（15分） 设全集，集合，集合． (1)若，求，. (2)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 18．（17分） 关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 19．（17分） 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． (1)若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； (2)若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 第4页，共5页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 2．设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，， 所以，所以. 3．已知集合，集合，则与关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 因为，所以集合不是集合的子集，A错误 因为可视为集合的一个元素，但集合中不含该元素，所以集合不是集合的子集，C错误； 因为集合的元素中含有元素，所以，B错误，D正确. 4．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 5．已知集合，，则的真子集个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】或，则方程组解为或， 即，有2个元素， 从而的真子集个数为个. 6．已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 7．已知为实数，集合，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以或， 解得，或，（不符合集合元素的互异性，舍去） 所以. 8．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 10．已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以，所以或， 解得或， 因为，所以 综上，的取值范围为或， 故选：BC 11．定义集合与的运算：，且，，且.若，则（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】ABD 【解析】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 13．当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【解析】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 14．“杰卡德距离”经常用来度量两个有限集合的差异性，在机器学习、数据科学等领域有着广泛的应用.设和为有限集，定义“杰卡德距离”为：（1）当，不全为时，；（2）当时，.其中表示中的元素的个数，，，为有限集.若，，则______；若，，，（其中为正整数，为非负整数），则的最大值为______. 【答案】 /0.4 【解析】当，时，，， 所以； 由，得，由，得， 因此，，则， 所以的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 【解析】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 16．（15分） 设全集，集合，集合． (1)若，求，. (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以． 因为，所以． 因为，所以或，所以． （2）因为，，， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 17．（15分） 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 18．（17分） 关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)求证： (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）设，∴，故， ∴是方程的解，∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵，∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 19．（17分） 设是由有限个正整数构成的集合，记为集合中的元素个数．若存在非空集合使，且满足如下两个条件，则称为集合的维伴随拆分： ①对； ②对，若，均有． (1)若． （i）请写出一个集合的2维伴随拆分； （ii）证明：集合不存在3维伴随拆分； (2)若集合存在10维伴随拆分，求的最小值． 【解析】（1）（i）若，则存在非空集合，满足， 且满足条件:①对；②对，若，均有. 取，， 满足，，，， ，，，， 不存在的情况，故满足条件①②， 故一个集合的2维伴随拆分为，. （ii）假设集合存在3维伴随拆分，由于， 所以只能取1或． 不妨设， 其中． 若，则，而，不合题意； 若，则，而，不合题意； 若或，则，而，不合题意． 所以假设不成立．所以集合不存在3维伴随拆分． （2）不妨设中元素最少的集合为， 且. 记，由，可得． 由条件（2）知，对，得． 于是 当时，有，则，所以． 当时，． 综上，． 当， 时，． 所以的最小值为50． 第2页，共11页 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $