集合、常用逻辑用语不等式、指数滚动训练（4）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版必修第一册

训练内容：集合、常用逻辑用语、不等式、指数 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（4）（原卷版） 一、单选题： 1．设集合，，则的子集个数为( ) A．4 B．7 C．8 D．16 2．设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列各式计算正确的是(　　) A．＝y(y＜0) B．x＝－(x≠0) C．x＝(x＞0) D．－＝(－x)(x＞0) 4．集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( ) A．–4 B．–2 C．2 D．4 5．若，则下列不等式错误的是( ) A． B． C． D． 6．在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园 (阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 7．设，若恒成立，则的最大值为(     ) A．9 B．18 C．20 D．27 8．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 二、多选题： 9．下列命题正确的是( ) A．存在， B．对于一切实数，都有 C．， D．是的充分不必要条件 10．设集合A，B是实数集R的子集，定义，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是( ) A． B． C． D． 11．设，，满足，下列说法正确的是(     ) A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 三、填空题： 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是___________． 13．若正数满足，则的最小值是_________． 14．若“，”为假命题，则实数的取值范围为 ． 四、解答题： 15．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 16．设全集， 集合，． (1)若A是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求． 17．已知，命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中有且仅有一个为真命题，求的取值范围． 18．已知函数，． (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)当时，已知，，若，求的取值范围． 19．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣布尼亚科夫斯基﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材中给出了二维形式的柯西不等式：，当且仅当ad＝bc时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用． (1)试用比较法证明柯西不等式：； (2)若且，用柯西不等式求的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$训练内容：集合、常用逻辑用语、不等式、指数 2024-2025学年第一学期高一数学滚动训练（4）（解析版） 一、单选题： 1．设集合，，则的子集个数为( ) A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】A 【详解】，，则，则的子集个数为个． 2．设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，， 据此可知，是的必要不充分条件，故选B． 3．下列各式计算正确的是(　　) A．＝y(y<0) B．x＝－(x≠0) C．x＝(x>0) D．－＝(－x)(x>0) 【答案】C 【详解】＝|y|＝－y(y<0)； x＝(x≠0)； x＝(x>0)； －＝－x(x>0). 4．集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( ) A．–4 B．–2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】，． 由于，故，解得．故选B． 5．若，则下列不等式错误的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴，故A对； ∵，∴，即，∴，故B对； ∵，∴，，∴，故C错； ∵，∴，∴，即，故D对；故选C． 6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30] 【答案】C 【详解】如图，△ADE∽△ABC， 设矩形的另一边长为y，则＝()2，所以y＝40－x， 又xy≥300，所以，即，解得． 7．设，若恒成立，则的最大值为(     ) A．9 B．18 C．20 D．27 【答案】B 【详解】，， ， 当且仅当，即时等号成立．所以，即实数k的最大值为18，故选B． 8．已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，，为关于的方程的两根且， 所以，解得，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为．故选D． 二、多选题： 9．下列命题正确的是( ) A．存在， B．对于一切实数，都有 C．， D．是的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，故B正确， 对于C，当时，，故C错误， 对于D，时，，但时，x不一定为1，故D正确．故选ABD． 10．设集合，是实数集R的子集，定义，叫做集合的对称差，若集合，，则以下说法正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，， 故，． ．故选BC． 11．设，，满足，下列说法正确的是(     ) A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为1 【答案】AC 【详解】因为，，所以，所以，所以，当且仅当 即时取等号，则的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为，故B错误； 因为，所以，因为，所以，故当时，取最小值为，故C正确； 因为，且，所以，当且仅当时取等号，即的最小值为，故D错误．故选AC． 三、填空题： 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为，故． 13．若正数满足，则的最小值是_________． 【答案】4 【详解】因为正数满足，所以，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 14．若“，”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，为假命题， 则，为真命题，即， 又，恒成立，所以， 设，则， 又，当且仅当时等号成立，所以， 当且仅当时等号成立， 所以． 四、解答题： 15．（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式； （2）原式 . 16．设全集， 集合，． (1)若A是非空集合，求实数的取值范围： (2)若，，求． 【答案】(1)；(2)． 【详解】(1)因为A是非空集合，所以方程有实数根， 所以，即，所以实数的取值范围为． (2)因为，，所以，，且，， 所以，解得，， 所以，， 所以． 17．已知，命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求的取值范围； (2)若和中有且仅有一个为真命题，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】(1)若是真命题，则在上恒成立， ∵，， ∴当时，， ∴； (2)对于，当时，，当且仅当时取等号， 若，使得方程成立，只需即可， 因为和中有且仅有一个为真命题， ①当真假时，， ②当假真时， 综上，的取值范围为． 18．已知函数，． (1)若，当时，求的最小值； (2)求关于的不等式的解集； (3)当时，已知，，若，求的取值范围． 【答案】(1)7；(2)见解析；(3)． 【详解】(1)当时， ， 当且仅当，即时取等号， 故当时，的最小值为7． (2)由题知， ①当，即时，解得或，解集为或； ②当，即时，解得或，解集为或； ③当，即时，解得，解集为． (3)不等式可化为， 因为，所以不等式在时恒成立， 又，结合二次函数图象知，，解得． 故的取值范围是． 19．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣布尼亚科夫斯基﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材中给出了二维形式的柯西不等式：，当且仅当ad＝bc时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用． (1)试用比较法证明柯西不等式：； (2)若且，用柯西不等式求的最大值． 【答案】(1)见解析；(2) ． 【详解】(1)∵， ∴． (2)由柯西不等式可得 ∵，∴ ，即， ∴的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$