1.1　认识三角形 同步练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练聚焦三角形边与角、三线（角平分线、中线、高线）核心知识，通过基础辨析、综合应用、推理拓展三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形定义、分类、边角关系|以选择填空为主，如三角形概念辨析、简单角度计算，培养抽象能力与几何直观| |提升层|三边关系应用、三线性质综合|结合图形情境，如截木条围三角形、中线分面积问题，发展应用意识与运算能力| |拓展层|逻辑推理与证明|设置共边三角形判断、不等式证明题，如“AB+AC>BP+CP”证明，提升推理能力与创新意识|

1.1　认识三角形 第1课时　三角形的边与角 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.三角形是指( ) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 2.如图，钝角三角形的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.给出下列说法：(1)等边三角形是等腰三角形；(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；(3)三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。其中，正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 4.下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( ) A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 5.如图，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.为了用一根3 dm和一根5 dm长的木条首尾相接组成三角形，决定将其中一根截为两段，则以下说法正确的是( ) A.把3 dm长的截成两根1.5 dm长的 B.把5 dm长的截成1 dm和4 dm长的 C.不能截3 dm长的那根 D.无论怎么截取，都不能组成三角形 7.(3分)若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 (写出一个即可)。  8.(5分)如图，图中有 个三角形；其中以AB为边的三角形有 ；含∠ACB的三角形有 ；在△BOC中，OC的对角是 ，∠OCB的对边是 。  9.(4分)已知△ABC，完成下列填空。 (1)(2分)若∠A=68°，∠B=26°，则∠C= °，△ABC是 三角形(填“锐角”或“钝角”)。  (2)(2分)若∠A=96°，∠C=35°，则∠B= °，△ABC是 三角形(填“锐角”或“钝角”)。  10.(3分)一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC的度数为 °。  第10题图 11.(8分)如图，在△BCD中，BC=4，BD=5。 (1)(4分)若CD的长是整数，则CD长的最大值是多少？ (2)(4分)若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数。 12.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 13.已知一个三角形的三边分别为a，b，c，其中a，b的值满足|a－6|＋(b－8)2=0，那么这个三角形的最长边c的取值范围是( ) A.c＞8 B.8＜c＜14 C.6＜c＜8 D.2＜c＜14 14.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则∠1的度数为( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 15.(3分)a，b，c是三角形的三边长，且a，b，c都是整数，化简：|a－b＋c|＋|c－a－b|－|a＋b|= 。  16.(8分)小王准备用一段长为30 m的篱笆围成一个三角形的场地，用于饲养家兔。已知第一条边的长为a(m)，由于受地势限制，第二条边的长只能是第一条边长的2倍多2 m。 (1)(4分)请用含a的式子表示第三条边的长。 (2)(4分)第一条边的长可以为7 m吗？请说明理由。 17.(8分)如图，在△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB＋AC＞BP＋CP。 18.(8分)[推理能力]如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，求证：(AB＋AC＋BC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC。 第18题图 第2课时　三角形的角平分线、中线与高线 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高线的是( ) A.　　 　B. C.　　 　D. 2.若AG，AM，AN分别是△ABC的角平分线、中线和高线，则( ) A.AM＜AG B.AG＜AN C.AN≤AG D.AM≤AN 3.下列说法错误的是( ) A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别相交于一点 B.钝角三角形有两条高线在三角形外部 C.直角三角形只有一条高线 D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 4.如图，在锐角三角形ABC中，AD为边BC上的中线，则( ) A.BD=AD B.BD=CD C.AD=AC D.AB=BC 第4题图　　 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是边AC上两点，AE=DE，BD平分∠EBC，下列说法中错误的是( ) A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高 6.(3分)如图，在△ABC中，角平分线BE，CD相交于点F。若∠ABC=42°，∠ACB=78°，则∠BFC的度数为 °。  7.(3分)如图，已知AE为△ABC的中线，AB=8 cm，AC=6 cm，△ACE的周长为20 cm，则△ABE的周长为 cm。  8.(3分)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F。若S△ABC=24，BD=4，则EF的长为 。  9.(8分)如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=30°，∠ADC=70°，求∠C的度数。 10.下列三角形中的线段，能将三角形的面积分成相等的两部分的是( ) A.中线 B.角平分线 C.高线 D.任意两边中点的连线 11.在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为( ) A.7 B.11 C.7或11 D.8或10 12.(3分)在△ABC中，AD为BC边上的高线，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC= 。  13.(8分)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE相交于点O。 (1)(2分)若CD是中线，BC=4，AC=3，则△BCD与△ACD的周长差为 。  (2)(3分)若∠ABC=64°，CD是高线，求∠BOC的度数。 (3)(3分)若∠A=80°，CD是角平分线，求∠BOD的度数。 14.(10分)[推理能力]如图，AD平分∠BAC，F是射线DA上一点，过点F作FE⊥BC于点E。 (1)(3分)如图1，若点F与点A重合，∠B=40°，∠C=60°。求∠DFE的度数。 (2)(3分)如图2，若点F在DA的延长线上，∠B=α，∠BCA=β(∠B＜∠BCA＜∠BAC)，求∠DFE的度数(用含α，β的代数式表示)。 (3)(4分)如图3，在(2)的基础上，作CG平分∠ACB，分别交DF，AB于点P，G，过点P作PH⊥AB于点H。请直接写出∠HPG的度数(用含α，β的代数式表示)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1　认识三角形 第1课时　三角形的边与角 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.三角形是指(　C　) A.由三条线段所组成的封闭图形 B.由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形 C.由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 D.由三条线段首尾顺次相接组成的图形 2.如图，钝角三角形的个数为(　D　) A.2 B.3 C.4 D.5 3.给出下列说法：(1)等边三角形是等腰三角形；(2)三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；(3)三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。其中，正确的个数是(　B　) A.1 B.2 C.3 D.0 4.下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　B　) A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10 5.如图，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(　C　) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 6.为了用一根3 dm和一根5 dm长的木条首尾相接组成三角形，决定将其中一根截为两段，则以下说法正确的是(　C　) A.把3 dm长的截成两根1.5 dm长的 B.把5 dm长的截成1 dm和4 dm长的 C.不能截3 dm长的那根 D.无论怎么截取，都不能组成三角形 7.(3分)若长度分别为3，6，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是　4(答案不唯一)　(写出一个即可)。  【解析】 ∵长度为3，6，a的三条线段能组成一个三角形， ∴6－3＜a＜6＋3，∴3＜a＜9， ∴整数a的值可以是4。 8.(5分)如图，图中有　8　个三角形；其中以AB为边的三角形有　△ABO，△ABC，△ABD　；含∠ACB的三角形有　△BOC，△ABC　；在△BOC中，OC的对角是　∠OBC　，∠OCB的对边是　OB　。  9.(4分)已知△ABC，完成下列填空。 (1)(2分)若∠A=68°，∠B=26°，则∠C=　86　°，△ABC是　锐角　三角形(填“锐角”或“钝角”)。  (2)(2分)若∠A=96°，∠C=35°，则∠B=　49　°，△ABC是　钝角　三角形(填“锐角”或“钝角”)。  10.(3分)一副三角尺按如图所示的方式放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC的度数为　100　°。  第10题图 第10题答图 【解析】 如答图所示标注角。 由题意得∠1=∠2，∠E=∠B=90°， ∴∠3=∠EAB=35°， ∴∠DFC=180°－∠3－45°=100°。 11.(8分)如图，在△BCD中，BC=4，BD=5。 (1)(4分)若CD的长是整数，则CD长的最大值是多少？ (2)(4分)若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数。 解：(1)∵在△BCD中，BC=4，BD=5，BD－BC＜CD＜BD＋BC， ∴1＜CD＜9。 又∵CD的长是整数， ∴CD长的最大值是8。 (2)∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠E=180°－∠BDE=55°， ∴∠C=180°－∠E－∠A=70°。 12.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有(　B　) A.2对 B.3对 C.4对 D.6对 13.已知一个三角形的三边分别为a，b，c，其中a，b的值满足|a－6|＋(b－8)2=0，那么这个三角形的最长边c的取值范围是(　B　) A.c＞8 B.8＜c＜14 C.6＜c＜8 D.2＜c＜14 【解析】 由题意得a－6=0，b－8=0， 解得a=6，b=8。 ∵c是最长边， ∴8＜c＜6＋8， 即8＜c＜14。 14.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则∠1的度数为(　C　) A.50° B.60° C.70° D.80° 【解析】 ∵∠BAC=60°，∠B=50°， ∴∠C=180°－∠BAC－∠B=180°－60°－50°=70°。 又∵AD∥BC， ∴∠1=∠C=70°。 15.(3分)a，b，c是三角形的三边长，且a，b，c都是整数，化简：|a－b＋c|＋|c－a－b|－|a＋b|=　a－b　。  【解析】 ∵a，b，c是三角形的三边长， ∴a＋c＞b，c－a＜b，a＋b＞0， ∴a－b＋c＞0，c－a－b＜0， ∴原式=a－b＋c＋a＋b－c－a－b =a－b。 16.(8分)小王准备用一段长为30 m的篱笆围成一个三角形的场地，用于饲养家兔。已知第一条边的长为a(m)，由于受地势限制，第二条边的长只能是第一条边长的2倍多2 m。 (1)(4分)请用含a的式子表示第三条边的长。 (2)(4分)第一条边的长可以为7 m吗？请说明理由。 解：(1)第三条边的长为30－a－(2a＋2)=(28－3a)m。 (2)第一条边的长不可以为7 m。 理由如下：当a=7时，三边长分别为7 m，16 m，7 m。 ∵7＋7＜16， ∴该三边长不能构成三角形， ∴第一条边的长不可以为7 m。 17.(8分)如图，在△ABC中，点D在AC上，点P在BD上，求证：AB＋AC＞BP＋CP。 证明：在△ABD中，AB＋AD＞BD， 在△PDC中，CD＋PD＞PC， ∴AB＋AD＋CD＋PD＞BD＋PC， ∴AB＋AC＞BP＋CP。 18.(8分)[推理能力]如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC，求证：(AB＋AC＋BC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC。 第18题图 第18题答图 证明：如答图，延长AP交BC于点D。 由三角形三边关系可得，AP＋PD＜AC＋CD，PB＜PD＋BD， ∴AP＋PD＋PB＜AC＋CD＋PD＋BD， ∴AP＋PB＜AC＋BC， 同理，PB＋PC＜AB＋AC，PC＋PA＜AB＋BC， ∴2(PA＋PB＋PC)＜2(AB＋BC＋AC)， ∴PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC； 由三角形三边关系可得，PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PA＋PC＞AC， ∴2(PA＋PB＋PC)＞AB＋BC＋AC， ∴PA＋PB＋PC＞(AB＋BC＋AC)， ∴(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC。 第2课时　三角形的角平分线、中线与高线 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在下面四个图形中，线段BE能表示△ABC的高线的是(　B　) A.　　 　B. C.　　 　D. 2.若AG，AM，AN分别是△ABC的角平分线、中线和高线，则(　C　) A.AM＜AG B.AG＜AN C.AN≤AG D.AM≤AN 3.下列说法错误的是(　C　) A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别相交于一点 B.钝角三角形有两条高线在三角形外部 C.直角三角形只有一条高线 D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 4.如图，在锐角三角形ABC中，AD为边BC上的中线，则(　B　) A.BD=AD B.BD=CD C.AD=AC D.AB=BC 第4题图　　 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是边AC上两点，AE=DE，BD平分∠EBC，下列说法中错误的是(　C　) A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=∠3 D.BC是△ABE的高 6.(3分)如图，在△ABC中，角平分线BE，CD相交于点F。若∠ABC=42°，∠ACB=78°，则∠BFC的度数为　120　°。  7.(3分)如图，已知AE为△ABC的中线，AB=8 cm，AC=6 cm，△ACE的周长为20 cm，则△ABE的周长为　22　cm。  【解析】 ∵AE为△ABC的中线， ∴BE=EC。 ∵△ACE的周长为20 cm， ∴AC＋CE＋AE=20 cm。 又∵AC=6 cm， ∴CE＋AE=14 cm， ∴BE＋AE=14 cm， ∴△ABE的周长=AB＋BE＋AE=8＋14=22(cm)。 8.(3分)如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F。若S△ABC=24，BD=4，则EF的长为　3　。  【解析】 ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD，△ACD等底同高，即S△ABD=S△ACD。 同理，S△BAE=S△BDE。 ∵S△ABC=24， ∴S△BDE=S△ABC=6=·BD·EF。 ∵BD=4， ∴EF=3。 9.(8分)如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=30°，∠ADC=70°，求∠C的度数。 解：∵∠ADC=70°， ∴∠ADB=180°－∠ADC=110°。 又∵∠B=30°， ∴∠BAD=180°－∠ADB－∠B=40°。 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠BAD=80°， ∴∠C=180°－∠B－∠BAC=70°。 10.下列三角形中的线段，能将三角形的面积分成相等的两部分的是(　A　) A.中线 B.角平分线 C.高线 D.任意两边中点的连线 11.在△ABC中，AB=BC，中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分，则AC的长为(　C　) A.7 B.11 C.7或11 D.8或10 【解析】 ∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD。 设BD=CD=x，则AB=BC=2x。 ∵中线AD将这个三角形的周长分成15和12两部分， ∴当AB＋BD=15，即2x＋x=15时，解得x=5， ∴BD=CD=5，AB=BC=10，∴AC=12－5=7， 此时三边长分别为10，10，7，能构成三角形； 当AB＋BD=12，即2x＋x=12时，解得x=4， ∴BD=CD=4，AB=BC=8， ∴AC=15－4=11， 此时三边长分别为8，8，11，能构成三角形。 综上所述，AC的长为7或11。 12.(3分)在△ABC中，AD为BC边上的高线，∠ABC=30°，∠CAD=20°，则∠BAC=　40°或80°　。  【解析】 分三种情况讨论：①如答图1，高线在三角形内部。 第12题答图1 ∵在△ABD中，AD⊥BD，∠ABC=30°， ∴∠BAD=180°－90°－∠ABC=60°。 又∵∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD＋∠CAD=80°； ②如答图2，高线在三角形边上。 第12题答图2 可知∠CAD=0°。 又∵∠CAD=20°，∴此种情况不合题意； ③如答图3，高线在三角形外部。 第12题答图3 ∵在△ABD中，AD⊥BD，∠ABC=30°， ∴∠BAD=180°－90°－∠ABC=60°。 又∵∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD－∠CAD=40°。 综上所述，∠BAC的度数为80°或40°。 13.(8分)如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上(不与点A，B重合)，CD与BE相交于点O。 (1)(2分)若CD是中线，BC=4，AC=3，则△BCD与△ACD的周长差为　1　。  (2)(3分)若∠ABC=64°，CD是高线，求∠BOC的度数。 (3)(3分)若∠A=80°，CD是角平分线，求∠BOD的度数。 解：(1)∵CD是中线， ∴BD=AD。 ∵BC=4，AC=3， ∴C△BCD=BC＋BD＋CD=4＋BD＋CD，C△ACD=AD＋CD＋AC=3＋AD＋CD， ∴C△BCD－C△ACD=1。 (2)∵CD是△ABC的高线， ∴∠CDB=90°。 ∵∠ABC=64°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE=∠ABC=×64°=32°， ∴∠BOD=180°－∠BDO－∠ABE=58°， ∴∠BOC=180°－∠BOD=122°。 (3)∵∠A=80°， ∴∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=180°－80°=100°。 ∵BE，CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB=(∠ABC＋∠ACB)=×100°=50°， ∴∠BOD=180°－∠BOC=∠OBC＋∠OCB=50°。 14.(10分)[推理能力]如图，AD平分∠BAC，F是射线DA上一点，过点F作FE⊥BC于点E。 (1)(3分)如图1，若点F与点A重合，∠B=40°，∠C=60°。求∠DFE的度数。 (2)(3分)如图2，若点F在DA的延长线上，∠B=α，∠BCA=β(∠B＜∠BCA＜∠BAC)，求∠DFE的度数(用含α，β的代数式表示)。 (3)(4分)如图3，在(2)的基础上，作CG平分∠ACB，分别交DF，AB于点P，G，过点P作PH⊥AB于点H。请直接写出∠HPG的度数(用含α，β的代数式表示)。 解：(1)∵∠BAC=180°－∠B－∠C=80°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=40°， ∴∠ADB=180°－∠B－∠BAD=100°， ∴∠ADE=180°－∠ADB=80°。 又∵AE⊥BC， ∴∠DFE=∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=10°。 (2)∵∠BAC=180°－∠B－∠C，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=90°－∠B－∠C， ∴∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－∠B－90°＋∠B＋∠C=90°＋(∠C－∠B)。 ∵∠FDE=180°－∠ADB，EF⊥BC， ∴∠DFE=180°－∠FED－∠FDE=90°－(180°－∠ADB)=(∠C－∠B)=(β－α)。 (3)方法一：∵∠BCG=∠ACG=∠BCA=β，∠B=α， ∴∠BGC=180°－∠B－∠BCG=180°－α－β， ∴∠PGH=180°－∠BGC=α＋β。 ∵PH⊥AB，∴∠GHP=90°， ∴∠HPG=180°－∠GHP－∠PGH=90°－ =90°－α－β。 方法二：同(2)易得∠HPG=(∠BAC－∠B)=(180°－α－β－α)=90°－α－β。 学科网（北京）股份有限公司 $