第50讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题（专项训练）（黑吉辽蒙专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以放缩圆、旋转圆、平移圆及磁聚焦/发散为核心方法体系，系统整合带电粒子在磁场中运动的动态轨迹分析，通过分层演练深化科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题型|4类共20题|放缩圆（速度可变轨迹半径变化）、旋转圆（速度方向可变轨迹旋转）、平移圆（粒子源位置变化轨迹平移）、磁聚焦/发散（特定磁场中平行入射汇聚或发散）|以洛伦兹力提供向心力为原理，通过动态圆模型构建轨迹与几何边界的临界关系，推导时间、速度、位置极值| |重难·创新|6题|临界极值分析、磁发散创新应用|拓展动态圆在复合场及非规则边界中的应用，强化科学推理与质疑创新| |真题·实战|3题高考真题|平移圆/旋转圆高频考点应用|对接高考命题趋势，提升复杂情境下模型迁移与问题解决能力|

第50讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 放缩圆法 1 题型02 旋转圆法 4 题型03 平移圆法 6 题型04 磁聚焦和磁发散问题 8 重难·创新演练 11 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦、磁发散…… ⏳题型01 放缩圆法 1．（2026·全国·一模）如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间不可能小于 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若 粒子在磁场中的运动时间为 2．（多选）（2026·河北张家口·二模）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 3．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2026·河南·三模）如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 5．（多选）（2026高二下·全国）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 6．（多选）（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，矩形ABCD为某匀强磁场的边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。AB、AD边长分别为和a，D点处有一粒子源，沿DC方向发射带正电粒子。观测发现：粒子只从AB边向外射出磁场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，忽略电荷间相互作用和粒子受到的重力，则发射粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． ⏳题型02 旋转圆法 7．（多选）（2026·四川泸州·模拟预测）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（     ） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 8．（多选）（2026·安徽·二模）如图所示，有一粒子源位于棱长为L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为v0，质量为m，电荷量为+q的带电粒子。整个空间（包含正方体内、外空间）内存在竖直向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度忽略粒子重力及粒子间相互作用。则（　　） A．粒子做圆周运动半径r=2L B．粒子运动到正方体侧面的最短时间为 C．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 D．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 9．（多选）（25-26高二下·河南驻马店）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（　　） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 10．（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图为一种新型粒子装置， 粒子源放置在水平面上长为、宽为的矩形的中心， 矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为的带正电粒子，速度大小限制在到之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 B．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 C．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 D．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 11．（多选）（2026·内蒙古兴安·二模）如图所示，在矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。已知边长为，边长为。、分别为、边的中点。在点有一粒子源，可以在纸面内向磁场区域任意方向发射同种带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，初速度大小均相同。沿与方向成角的方向发射的粒子恰好从点射出磁场。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角可能大于 ⏳题型03 平移圆法 12．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·重庆·一模）地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，O为地球球心、R为地球半径，地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m。电荷量均为q。不计粒子的重力及相互作用力。则（　　） A．粒子无论速率多大均无法到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域 15．（2017·山东日照·一模）如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（　　）    A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ ⏳题型04 磁聚焦和磁发散问题 16．（多选）（2026·青海西宁·一模）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 17．（多选）（2026·湖南·模拟预测）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直平面向里。以圆形边界磁场最低点为原点建立直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿轴负方向再次通过坐标原点，不计粒子重力。则（　　） A．粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动半径为 B．粒子在匀强磁场Ⅰ中的速度偏转角为150° C．粒子从点到第二次经过点的运动时间为 D．矩形磁场区域的最小面积为 18．如图所示，一半径为R圆心为O的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B垂直于纸面向外的匀强磁场。一群单个质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从图中磁场边界O′点以初速度v从不同方向沿纸面射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．若，则所有粒子出射方向平行 B．若，则所有粒子偏转角度相同 C．若，则所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为 D．若，则粒子在磁场中运动的最长时间是 【答案】A 【详解】AB、若粒子的入射速度为： 由半径公式可以得到，粒子在磁场中做圆周运动的半径： 根据磁聚焦和发散原理，所有粒子出射方向平行，但是粒子在磁场中的轨迹不同，即圆心角不同，转过的角度不同，故A正确，B错误； C、若入射速度： 由半径公式可得到粒子在磁场中运动的轨道半径： 则入射点与最远出射点连线应是轨迹圆的直径，其长度为： 画出最长轨迹如下图所示， 由几何关系可知，图中：θ＝120° 则θ对应的弧的长度是整个圆周长的三分之一，即圆弧长度为，故C错误； D、若： 同理可知，粒子在磁场中运动的轨道半径： 则粒子沿某一方向射入磁场时，可在磁场中完成一个完整的圆周运动，最后回到出发点，可知粒子在磁场中运动的最长时间是一个周期：，故D错误。 故选：A。 19．（2024·北京昌平·二模）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为B、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为e、质量为m．电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点．下列说法错误的是（    ）． A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 20．（2022·湖南娄底·模拟预测）磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R B．粒子从P点射入磁场的速度大小为 C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为 D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为 重难·创新演练 设题创新:磁发散创新（T5）;临界极值(T1); 1．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x、y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（　　） A．粒子做圆周运动的半径为2L B．粒子做圆周运动的半径为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 2．（多选）（25-26高二下·山东菏泽）如图所示，半径为的圆形区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，点有一离子源，释放大量电荷量为、质量为的带电粒子，粒子在纸面内从点以相同的速率沿各个方向射入磁场，不计粒子重力，其中正对圆心射入磁场的粒子通过磁场区域后速度方向偏转了。下列说法正确的是（    ） A．磁场的磁感应强度大小为 B．正对圆心射入的粒子在磁场中运动的时间为 C．出磁场时离点最远的粒子在磁场中运动的时间为 D．所有粒子中出磁场时与点的最远距离为 3．（多选）（25-26高二下·浙江温州）如图所示，坐标系平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以平行y轴的虚线MN为界，左侧为无阻力区域，右侧为有阻力区域，表现为粒子在右侧区域中运动时除受到洛伦兹力外还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力作用，比例系数为。现有大量质量为、电荷量为的带正电的粒子，同时从原点向y轴右侧各个方向射入磁场，射入的速度大小相等，已知沿轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ，粒子轨迹呈螺旋状并与虚线边界相切于点（未画出），不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列有关说法正确的是（　　） A．粒子从点射入磁场时的速度大小为 B．粒子在区域Ⅰ内运动的最短时间 C．粒子从点运动到点的时间 D．粒子区域Ⅱ中运动轨迹的长度为 4．（多选）（2026·湖北襄阳·二模）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 5．（多选）（2026·广西南宁·三模）如图所示，圆形区域内有一垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，圆周上的点有一粒子源在纸面内沿各个方向发射大量带正电的同种粒子。粒子的质量为、电荷量为、速率均为，射出磁场时的速度方向相同，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．圆形磁场区域的半径为 B．若粒子速率为，则在磁场中运动的最长时间为 C．若粒子速率为，则在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速率为，则有粒子射出的磁场边界弧长为 6．（多选）（2026·四川资阳·三模）等腰梯形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AB、CD长度分别为L和2L，∠D=60°。下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（　　） A．若AB边有α粒子射出，则BC边一定有α粒子射出 B．若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出 C．若α粒子可以到达A点，则其最小速率为 D．运动轨迹与AD边相切（由CD边出磁场）的速率最小的α粒子在磁场中的运动时间为 真题·实战演练 高频考点：平移圆、旋转圆 1．（2026·陕晋青宁卷·高考真题）如图，垂直于轴的足够大绝缘薄挡板P紧贴平行金属板放置，挡板P有一小孔在原点处，点到垂直于轴的两金属板距离相等。在平面位于处的粒子源以速率向面内各方向发射质量为、电荷量为的带电粒子。两金属板（上板为正极）间距为，板间电压初始为。在平面轴右侧，圆心位于、直径在轴、半径为的半圆区域存在方向垂直于平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为。在处有一垂直于轴的固定弹性绝缘挡板Q，粒子若碰到Q将发生弹性碰撞且电荷量不变。粒子打到金属板或挡板P均会被吸收，不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。（、均为已知量） (1)可从小孔进入磁场的粒子，求其从点处射入磁场速度方向与轴正向夹角的正弦值； (2)粒子从磁场射出后与挡板Q发生碰撞，求其再次射入磁场到达挡板上位置的坐标； (3)若仅改变电压的大小，在不同电压下，粒子源发射的所有粒子均无法打到挡板P右侧面；进入磁场的所有粒子打到挡板右侧面有1个撞击点或2个撞击点，求以上三种情况分别对应的电压取值范围（用已知量表示）。 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 3．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第50讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题 模拟·基础演练 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D BC BC BC BC AB BC BCD BCD AD 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 BC A C D C AD AD A D D 重难·创新演练 题号 1 2 3 4 5 6 答案 BD BD AC BCD AD BD 真题·实战演练 1．【答案】(1)0.6或0.8 (2)或 (3)，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 当时，仅粒子能进入磁场，1个撞击点； 当时，两粒子均能进入且撞击点不同，2个撞击点； 当时，两粒子轨迹重合，1个撞击点。 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动 设粒子初速度方向与x轴夹角为，加速度 方向沿y轴正向。粒子从运动到，水平方向 竖直方向 联立解得 即 在O点，， 设射入磁场速度方向与x轴夹角为，则 即 根据， 解得或 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径 磁场区域半径也为L。由几何关系，粒子从O点射入，必从磁场边界另一点射出，且射出速度方向水平向右，如下图 射出点纵坐标 当时，， 当时，， 粒子与Q板弹性碰撞后沿x轴负方向返回，再次进入磁场。 由对称性及圆周运动几何关系，粒子再次打到挡板上的位置纵坐标 故y坐标为或。 （3）根据（1）可知 设。粒子能到达O点需满足，即， 若，则，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 当时，存在两个发射角（假设大于）。粒子在电场中不撞板条件为，如下图 上图为刚好到达上极板的临界，根据逆向看，类平抛运动速度偏转角是位移偏转角正切值的2倍，可知，此时 根据数学关系可知此时， 解得对于需，即 此时对应粒子轨迹刚好与上极板相切。 综上所述，当时，仅粒子能进入磁场，1个撞击点； 当时，两粒子均能进入且撞击点不同，2个撞击点； 当时，两粒子轨迹重合，1个撞击点； 当，则，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 2．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 3．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时， 【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 解得半径 孔C所处位置的坐标 （2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力 解得半径 若要能在C点入射，则由几何关系可得 解得 如图 由几何关系可得 （3）不管从何角度发射 由（2）可得 根据动力学公式可得 ， 联立解得 （4）孔C位置坐标x 其中 联立可得 ， 解得 在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得 解得 根据动力学公式可得， 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第50讲 动态圆、磁聚焦和磁发散问题 目 录 模拟·基础演练 1 题型01 放缩圆法 1 题型02 旋转圆法 8 题型03 平移圆法 14 题型04 磁聚焦和磁发散问题 19 重难·创新演练 25 真题·实战演练 32 模拟·基础演练 考查重点：平移圆、放缩圆、旋转圆、磁聚焦、磁发散…… ⏳题型01 放缩圆法 1．（2026·全国·一模）如图所示，直角边长度为L的等腰直角三角形AOC内部，存在垂直于纸面向里的匀强磁场.磁感应强度大小为B。在AO边上距O点 位置处有一粒子源P，能垂直AO边沿纸面向磁场内部发射质量为m、电荷量为q的负粒子，粒子射入磁场的速率v大小可调，忽略粒子所受重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间不可能小于 B．粒子在磁场中运动的时间可能为 C．粒子在磁场中运动的时间可能为 D．若 粒子在磁场中的运动时间为 【答案】D 【详解】A．若粒子的运动速度趋向于无穷大，则其运动的半径趋向于无穷大，粒子几乎不做偏转从边飞出，则其在磁场中运动的时间趋向于0，故A错误； BC．粒子在磁场中做圆周运动，周期满足 故在三角形AOC内部做部分圆周运动所用的时间与粒子转过的圆心角有关。若粒子速度较大，粒子从边飞出，其临界情况为粒子的圆周运动轨迹与边相切，粒子在磁场中运动的时间为 当粒子速度略小于该临界情况，则其从边飞出，转过的圆心角为钝角；当粒子速度逐渐减小至粒子垂直于边出射，其在磁场中运动的时间最长，对应转过的圆心角为，所用时间为 综上不存在粒子在磁场中转过出射，用时的情况，故BC错误； D．粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力充当圆周运动的向心力，满足 当粒子的速度 可知其运动半径为 运动轨迹如图所示 由图可知， 粒子轨迹圆的圆心到边的距离为 故粒子不会从AC边飞出，另外出射点到点的距离为 可知 故粒子在磁场中转过的圆心角为，粒子在磁场中的运动时间为 ，故D正确。 故选D。 2．（多选）（2026·河北张家口·二模）研究人员为模拟托卡马克装置中“偏滤器”对逃逸粒子的拦截效果，设计了如图所示装置：半径为、圆心为的圆形区域内有方向垂直于圆平面向外的匀强磁场，、为圆形区域相互垂直的两直径。外部“粒子源”沿一直线发射最小速率为，大小在一定范围内的同种带电粒子，由圆周上点射入磁场，入射速度方向平行于、与夹角为30°；所有入射粒子仅能从劣弧逃逸出磁场。已知带电粒子的比荷为（），不计粒子重力及粒子间的相互作用力，，。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电 B．粒子的最大速度为 C．磁场的磁感应强度大小为 D．粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为 【答案】BC 【详解】A．磁场垂直纸面向外，由题意可知粒子向下偏转，由左手定则可知该粒子带正电，故A项错误； C．粒子的最小速率为v0，由题意可知，该粒子将从b点离开磁场，由于粒子从P点入射时，其与OP的夹角为30°，所以由几何关系可知 设该粒子的轨迹半径为r，则由几何关系可知，粒子的轨迹圆的圆心角也是120°，即有 又因为 解得，故C项正确； B．当粒子的速度最大时，粒子将从d点离开磁场，设此时该粒子的运动轨迹圆的半径为，由几何关系有 解得 又因为 解得，故B项正确； D．由之前的分析可知，当粒子从b点离开时，此时粒子轨迹圆对应的圆心角为，当粒子从d点离开时，其轨迹圆对应圆心角为。粒子在磁场中运动，有，， 结合之前及题意，整理有 所以粒子最短运动时间为 粒子最长运动时间为 粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间差为，故D项错误。 故选BC。 3．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）物理溅射镀膜是芯片制作的关键环节之一，如图是镀膜部分平面结构简图。靶材溅射出的质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从x轴上P点以不同速率射入第一象限内磁感应强度为B的匀强磁场中，部分粒子恰好垂直打在固定基底上端附近的A点。A，O两点距离为，入射速度方向与x轴夹角为60°，不计粒子重力。能够打在基底上的粒子速度大小可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】带负电粒子斜向右上与x轴成入射，粒子垂直打在，结合几何关系可得 最大半径 当轨迹恰好与相切时，有 最小半径 所以轨迹半径满足 洛伦兹力提供向心力 解得速度范围 故选BC。 4．（多选）（2026·河南·三模）如图所示，半径为的圆形区域内有磁感应强度大小为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，和是边界圆的两条互相垂直的直径。为半径上的点，且。为磁场边界上的点，。从点沿方向射入大量电子，电子的质量为，电荷量大小为，电子的速率范围从到足够大。沿半径放置长为的挡板，挡板厚度不计，电子打到挡板上时即被挡板吸收。已知，不计电子重力，则关于从弧段离开磁场区域的电子，在磁场中运动的最短时间和最长时间，下列说法正确的是（　　） A．最短时间大于 B．最短时间小于 C．最长时间小于 D．最长时间大于 【答案】BC 【详解】由题，点坐标为，电子从水平向右射入，带负电，受洛伦兹力竖直向下，做顺时针圆周运动，圆心在正下方，即 若粒子刚好打到挡板，则 故粒子从弧段离开磁场区域，轨迹半径满足 设粒子轨迹圆心角为，当半径越小时，越大，运动时间 法一：解析解法 求轨迹圆心角： 设出射点为，两圆心连线长度 解得 在两圆中弦为公共弦，连心线垂直平分公共弦，设垂足为 ， 故 又 解得半弦长 在轨迹圆中，弦所对劣弧圆心角满足 所以 而粒子轨迹对应圆心角为 求时间：当时，， 故 所以 当时，， 故 所以 综上 故选BC。 法二：近似解法 若粒子可从打出，则圆心到的距离有 解得 由几何关系此时圆心角为，则时间 当电子速率足够小时，轨道半径足够小，轨迹圆与磁场圆公共弦可近似看作过点的磁场圆切线（见放大图），则轨迹圆最大圆心角不会超过，则时间 综上 故选BC。 5．（多选）（2026高二下·全国）如图所示，在AB＝L，∠A＝60°的直角三角形ABC区域内，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从A点沿AB有一束同种粒子以不同速率射入磁场，粒子在磁场中做圆周运动。其中某一速度的粒子的运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，总用时为。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．粒子带正电 B．运动轨迹恰好与BC边相切的粒子，它的轨道半径为L C．从BC边射出的粒子最小速度是 D．从BC边射出的粒子最小速度是 【答案】BC 【详解】A．粒子运动轨迹恰好与BC边相切，最终从AC边射出，即粒子轨迹如图所示 根据左手定则，粒子带负电，A错误； B．根据几何关系，轨迹圆半径R＝L，B正确； CD．粒子恰好不能从BC边飞出时，粒子运动轨迹与BC相切 结合几何知识可知，粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的圆心角 解得此时粒子的速度 若要粒子从BC边飞出，则速度v不小于，C正确，D错误。 故选BC。 6．（多选）（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图所示，矩形ABCD为某匀强磁场的边界，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。AB、AD边长分别为和a，D点处有一粒子源，沿DC方向发射带正电粒子。观测发现：粒子只从AB边向外射出磁场。已知粒子的质量为m、电荷量为q，忽略电荷间相互作用和粒子受到的重力，则发射粒子的速度大小可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由 得 粒子从点沿方向射入，圆心在边上。粒子只从边射出，说明粒子轨迹与边相交，且不与边相交（除点外）。当粒子轨迹刚好经过点时，半径最小，此时 即 对应最小速度 当粒子轨迹刚好经过点时，半径最大，由几何关系 解得 对应最大速度 发射粒子的速度大小 故选AB。 ⏳题型02 旋转圆法 7．（多选）（2026·四川泸州·模拟预测）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（     ） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 【答案】BC 【详解】A．如图所示 过D点作AC垂线，则有AD=BD，易知DE小于AD，根据几何关系有，故小于 根据几何关系知，粒子若能从C点飞出，则在C点时的速度方向与DC连线所成角度等于，实际从C点飞出的粒子与DC的最大夹角为，所以粒子不可能从C点射出，故A错误； BD．如图所示 所有能从A点飞出的粒子所对应的速度偏角最大值为，所以最长时间满足 由几何关系知，满足从A点飞出且时间最长的粒子轨迹半径为 结合题意分析知，所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积如图所示的弓形面积 即，故B正确，D错误； C．由粒子轨迹分析知，当粒子速度方向沿DB方向且轨迹与AC边刚好相切时，从AC边上飞出时所对应的圆心角最大，时间也最长 ，故C正确。 故选BC。 8．（多选）（2026·安徽·二模）如图所示，有一粒子源位于棱长为L的正方体空间内的几何中心O，能够向水平各个方向发射速度大小均为v0，质量为m，电荷量为+q的带电粒子。整个空间（包含正方体内、外空间）内存在竖直向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度忽略粒子重力及粒子间相互作用。则（　　） A．粒子做圆周运动半径r=2L B．粒子运动到正方体侧面的最短时间为 C．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 D．若整个空间内还存在竖直向下的匀强电场所有粒子都会打到正方体底面中心O1 【答案】BCD 【详解】A．粒子在水平面内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得，故A错误； B．周期 粒子从O点运动到侧面的最短时间，对应圆周运动中从O点到侧面垂足P的最短弦长，由几何关系可知，弦长 圆心角 最短时间，故B正确； CD．要使所有粒子都打到正方体底面中心O1，需要满足 根据牛顿第二定律，有 运动时间满足 联立可得 当N=1时， 当N=2时，，故CD正确。 故选BCD。 9．（多选）（25-26高二下·河南驻马店）如图所示，在三角形ABC内有一垂直纸面向里的匀强磁场，已知AB边长L=4 cm，磁场磁感应强度B=1 T，角C的大小为30°，在AB边的中点有一粒子源D，向磁场内各个方向发射带正电和带负电的粒子，粒子速度大小不确定，粒子间无相互作用，电量，粒子质量m=1×10-5 kg，下列说法正确的是（　　） A．垂直AB射入的粒子可能从C点飞出 B．能从A点飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 C．能从AC边界飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为 D．所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积为 【答案】BCD 【详解】A．如图所示 过D点作AC垂线，则有AD=BD，易知DE小于AD，根据几何关系有， 故小于，根据几何关系知，粒子若能从C点飞出，则在C点时的速度方向与DC连线所成角度等于，实际从C点飞出的粒子与DC的最大夹角为，所以粒子不可能从C点射出，故A错误； BD．如图所示 所有能从A点飞出的粒子所对应的速度偏角最大值为，所以最长时间满足 由几何关系知，满足从A点飞出且时间最长的粒子轨迹半径为 结合题意分析知，所有能从A点飞出的粒子在磁场内运动轨迹的面积如图所示的弓形面积，即，故BD正确； C．由粒子轨迹分析知，当粒子速度方向沿DB方向且轨迹与AC边刚好相切时，从AC边上飞出时所对应的圆心角最大，时间也最长，最长时间为，故C正确。 故选BCD。 10．（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图为一种新型粒子装置， 粒子源放置在水平面上长为、宽为的矩形的中心， 矩形内有方向垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为，粒子源向水平面各个方向持续均匀发射比荷为的带正电粒子，速度大小限制在到之间，不计粒子源的尺寸、粒子间相互作用和粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 B．若所有粒子均不射出磁场，则的最小值为 C．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 D．若所有粒子均射出磁场，则的最大值为 【答案】AD 【详解】AB．所有粒子不射出，要求速度最大的粒子（，对应最大半径）也不射出。 粒子从出发，在轨迹圆上，圆上离最远点为直径端点，边界上离最近点为ab边中点，到上下边界距离为，临界情况刚好不射出 由洛伦兹力提供向心力 得半径公式 此时临界情况有 解得 即的最小值为，故A正确，B错误； CD．所有粒子都射出，要求速度最小的粒子（，对应最小半径）也能射出。最难射出的临界情况：轨迹圆过，同时与右边界、上边界相切，轨迹如图所示 圆心到的距离等于半径，因此 展开整理 解得最小临界半径 代入半径公式 整理得 即的最大值为，故C错误，D正确。 故选AD。 11．（多选）（2026·内蒙古兴安·二模）如图所示，在矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。已知边长为，边长为。、分别为、边的中点。在点有一粒子源，可以在纸面内向磁场区域任意方向发射同种带电粒子，粒子质量均为，电荷量均为，初速度大小均相同。沿与方向成角的方向发射的粒子恰好从点射出磁场。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，下列说法正确的有（　　） A．粒子带正电 B．粒子运动的速度大小为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角可能大于 【答案】BC 【详解】A．速度与OB的夹角为的粒子恰好从E点射出磁场，由粒子运动的轨迹根据左手定则可判断，粒子带负电，故A错误； B．如下图所示，根据粒子的运动轨迹，结合几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 由牛顿第二定律 联立解得粒子运动的速度大小为，故B正确； C．由于粒子做圆周运动的速度大小相同，因此在磁场中运动的轨迹越长，时间越长，分析可知，粒子在磁场中运动的最长弧长为四分之一圆周，因此最长时间为四分之一周期，即最长时间为，而最长时间对应圆心角为，故C正确； D．初速度水平向左时恰好过A点，竖直向上射入的带电粒子恰好过D点，则从边射出的粒子，其初速度方向与方向的夹角最大等于，不可能大于，故D错误。 故选BC。 ⏳题型03 平移圆法 12．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面内y轴右侧有以O点为圆心、半径为R的半圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于平面向里。大量质量为m、带电荷量为q（）的粒子以速度从y轴上间各点平行于x轴射入磁场。不计粒子间相互作用及粒子受到的重力，则粒子在磁场中运动的最长时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得粒子运动的半径为 运动的周期为 粒子进入磁场如图 粒子从A射出磁场对应的圆心为C，此时有 时间最长对应圆心角最大，对应AB最大，由几何知识得，当粒子从c点射出时轨迹圆的圆心角最大，如图所示， 此时，即，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故选A。 13．如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为，方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为，则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】带电粒子在磁场中运动过程中洛伦兹力提供向心力有 将磁感应强度代入解得 OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为一平移圆，如图（a）所示 根据几何关系可得当粒子半径与OA垂直时，打到x轴上的P点距坐标原点最远，根据几何关系得 另外要注意本题中带电粒子打的最远的距离不是轨迹与x轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图（b）所示 根据几何关系有 所以Q点不是距离坐标原点最远的点。 故选C。 14．（2024·重庆·一模）地磁场对宇宙高能粒子有偏转的作用，从而保护了地球的生态环境。赤道平面的地磁场简化为如图，O为地球球心、R为地球半径，地磁场只分布在半径为R和2R的两边界之间的圆环区域内，磁感应强度大小均为B，方向垂直纸面向里。假设均匀分布的带正电高能粒子以相同速度垂直MN沿赤道平面射向地球。已知粒子质量均为m。电荷量均为q。不计粒子的重力及相互作用力。则（　　） A．粒子无论速率多大均无法到达MN右侧地面 B．若粒子速率为，正对着O处入射的粒子恰好可以到达地面 C．若粒子速率小于，入射到磁场的粒子可到达地面 D．若粒子速率为，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域 【答案】D 【详解】A．射入方向在地球下表面以下的粒子，只要速率合适，粒子可到达MN右侧地面，故A错误； B．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 若粒子正对着O处入射，且恰好可以到达地面，其轨迹如图所示 设该轨迹半径为，由几何关系可得 解得 故B错误； C．若粒子的速率为，则粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有 解得 由B选项分析可知，若粒子速率等于时，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，所以若粒子速率小于，入射到磁场的粒子均不可以到达地面，故C错误； D．若粒子速率为，由洛伦兹力提供向心力得 解得 此时最下端的粒子正入射恰好可以到达最右侧地面；而在最下端的以上入射的粒子，因为向上偏转，能到达MN右侧地面最右端以下；综上所述，入射到磁场的粒子恰能覆盖MN右侧地面一半的区域，故D正确。 故选D。 15．（2017·山东日照·一模）如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场（M点未画出）。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2（带电粒子重力不计），则t1∶t2为（　　）    A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．∶ 【答案】C 【详解】如下图所示，画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹，并将该轨迹向下平移    则粒子做圆周运动的半径 从C点射出的粒子运动时间为 那么，从P点入射的粒子圆心在AD延长线上距D点处，那么粒子转过的圆心角为 解得 运动时间 所以 故选C。 ⏳题型04 磁聚焦和磁发散问题 16．（多选）（2026·青海西宁·一模）如图所示，平面内有一个半径为的圆形区域，右侧存在一个截面为矩形的区域，两个区域的切点为边的中点，，，和边上分别有两个接收屏（接收屏的长度等于矩形区域的边长）。两个区域内存在垂直纸面向外且相同的匀强磁场（两区域磁场方向平行），磁感应强度，现有一簇粒子（质量为，电荷量为）以速度，方向竖直向上垂直磁场进入圆形区域（粒子的射入范围等于圆形区域的直径且分布均匀），不考虑粒子的重力，射出矩形边界后的粒子不再考虑。下列说法正确的是（　　） A．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动时间为 B．沿着半径射入的粒子在圆形区域内的运动半径为 C．矩形区域内粒子所经过的面积为 D．打到屏上的粒子数占进入矩形区域粒子数的比例为 【答案】AD 【详解】A．首先根据洛伦兹力提供向心力 代入题目数据得，所有粒子轨迹半径均为。沿着半径射入的粒子在圆形区域内轨迹圆心角​，运动时间 ，故A正确； B．由之前分析，沿着半径射入的粒子运动半径为，故B错误； C．从右边缘进入的粒子其轨迹为粒子能够到达的上边界 则有粒子到达的面积为，故C错误； D．沿着半径射入的粒子之后轨迹刚好与bc相切在c点，则从最低点左侧进入磁场的粒子之后会打在cd屏上或者ad屏上，刚好打在d点的轨迹如图所示 由几何关系可得A点到ad的距离为 则可以打在cd屏上的粒子进入磁场的点在圆形磁场最低点和A点之间，则比例为,故D正确。 故选AD。 17．（多选）（2026·湖南·模拟预测）竖直平面内有半径为的圆形边界匀强磁场Ⅰ，磁场感应强度大小为，磁场方向垂直平面向里。以圆形边界磁场最低点为原点建立直角坐标系。一质量、电荷量的正粒子，由沿与轴负方向进入圆形磁场区域，速度大小，在的某区域存在一个矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，粒子经过该矩形磁场区域后恰能沿轴负方向再次通过坐标原点，不计粒子重力。则（　　） A．粒子在匀强磁场Ⅰ中的运动半径为 B．粒子在匀强磁场Ⅰ中的速度偏转角为150° C．粒子从点到第二次经过点的运动时间为 D．矩形磁场区域的最小面积为 【答案】AD 【详解】A．粒子在圆形磁场区域，由洛伦兹力提供向心力得 解得运动半径为，故A正确； B．圆形磁场中，连接入射点、磁场圆心、轨迹圆心及出射点构成菱形，转过圆心角为，故B错误； C．周期 粒子从O点进入第四象限，速度与轴正向夹角为，在矩形磁场中转，矩形匀强磁场Ⅱ（图中未画出），磁场感应强度与磁场Ⅰ相同，根据 可知粒子周期不变，可知粒子在两磁场中运动时间为 设粒子从P点进入方形磁场，从Q点离开方形磁场，由几何关系可知 粒子做匀速直线运动时间 全程时间，故C错误； D．由几何关系得，矩形磁场区域的最小面积 解得，故D正确。 故选AD。 18．如图所示，一半径为R圆心为O的圆形区域内部存在磁感应强度大小为B垂直于纸面向外的匀强磁场。一群单个质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子从图中磁场边界O′点以初速度v从不同方向沿纸面射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．若，则所有粒子出射方向平行 B．若，则所有粒子偏转角度相同 C．若，则所有粒子均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为 D．若，则粒子在磁场中运动的最长时间是 【答案】A 【详解】AB、若粒子的入射速度为： 由半径公式可以得到，粒子在磁场中做圆周运动的半径： 根据磁聚焦和发散原理，所有粒子出射方向平行，但是粒子在磁场中的轨迹不同，即圆心角不同，转过的角度不同，故A正确，B错误； C、若入射速度： 由半径公式可得到粒子在磁场中运动的轨道半径： 则入射点与最远出射点连线应是轨迹圆的直径，其长度为： 画出最长轨迹如下图所示， 由几何关系可知，图中：θ＝120° 则θ对应的弧的长度是整个圆周长的三分之一，即圆弧长度为，故C错误； D、若： 同理可知，粒子在磁场中运动的轨道半径： 则粒子沿某一方向射入磁场时，可在磁场中完成一个完整的圆周运动，最后回到出发点，可知粒子在磁场中运动的最长时间是一个周期：，故D错误。 故选：A。 19．（2024·北京昌平·二模）如图为用于电真空器件的一种磁聚焦装置示意图．螺线管内存在磁感应强度为B、方向平行于管轴的匀强磁场．电子枪可以射出速度大小均为v，方向不同的电子，且电子速度v与磁场方向的夹角非常小．电子电荷量为e、质量为m．电子间的相互作用和电子的重力不计．这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点．下列说法错误的是（    ）． A．电子在磁场中运动的时间可能为 B．荧光屏到电子入射点的距离可能为 C．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 D．若将电子入射速度变为，这些电子一定能汇聚在P点 【答案】D 【详解】由题图可知，螺线管内磁场方向水平向右，将粒子速度沿水平方向、竖直方向正交分解，则粒子水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀速圆周运动，粒子螺旋式前进，设螺线管长为L，若这些电子通过磁场汇聚在荧光屏上P点，则需满足 （n=1，2，3…）T为粒子竖直方向做圆周运动的周期，又因为 解得周期为 联立可得 （n=1，2，3…） 因为电子速度v与磁场方向的夹角非常小，所以 可见，粒子的速度只要满足 （n=1，2，3…） 即粒子的运动时间为粒子做圆周运动周期的整数倍，粒子就可以汇聚到P点。 A．由上述分析可知，若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则运动的时间可能为，A正确，不符合题意； B．若电子在磁场中竖直方向只转动一周就到达P点，则 B正确，不符合题意； C．由上述分析可知当粒子速度为v时 （n=1，2，3…） 故当粒子速度为时 （=2，4，6…） 即粒子的运动时间仍然为粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子一定能汇聚在P点，C正确，不符合题意； D．当粒子速度为时 （=，1，…） 即粒子的运动时间不是总等于粒子做圆周运动周期的整数倍，故这些电子不一定能汇聚在P点，D错误，符合题意。 故选D。 20．（2022·湖南娄底·模拟预测）磁场可以对带电粒子的运动施加影响，只要设计适当的磁场，就可以控制带电粒子进行诸如磁聚焦、磁扩散、磁偏转、磁约束与磁滞留等运动。利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应用，如图所示，以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域外有垂直纸面向里的匀强磁场，两个磁场的磁感应强度大小都是B。有一质量为m、所带正电荷为q的带电粒子从P点沿半径垂直磁场射入圆形区域，粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，不计粒子重力，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为R B．粒子从P点射入磁场的速度大小为 C．粒子从P点射出到第一次回到P点所需的时间为 D．如果圆形区域外的磁场在一个以O为圆心的圆环内，则该圆环的面积至少为 【答案】D 【详解】A．因为粒子两次穿越磁场边界后又回到P点，画出粒子轨迹示意图如图所示： 设粒子做圆周运动的轨迹半径为r，则有 可得 选项A错误； B．由 可得 选项B错误； C．粒子在磁场中匀速圆周运动的周期为 粒子从P点射出到第一次回到P点所需要的时间为 选项C错误； D．由几何关系可知，圆环的大圆半径为，小圆半径为R，所以其面积为 选项D正确。 故选D。 重难·创新演练 设题创新:磁发散创新（T5）;临界极值(T1); 1．（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内（包含x、y坐标轴）存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内均匀射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。当时，粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子间相互作用及粒子的重力。则（　　） A．粒子做圆周运动的半径为2L B．粒子做圆周运动的半径为 C．粒子在磁场中运动的最长时间为 D．粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BD 【详解】AB．当时，粒子垂直x轴离开磁场，则有 解得，故A错误，B正确； CD．当粒子初速度方向沿y轴正方向时，在磁场中运动时间最长，由几何关系可得轨迹圆心角为 则最长时间 粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力 得 解得最长时间,故C错误，D正确。 故选BD。 2．（多选）（25-26高二下·山东菏泽）如图所示，半径为的圆形区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，点有一离子源，释放大量电荷量为、质量为的带电粒子，粒子在纸面内从点以相同的速率沿各个方向射入磁场，不计粒子重力，其中正对圆心射入磁场的粒子通过磁场区域后速度方向偏转了。下列说法正确的是（    ） A．磁场的磁感应强度大小为 B．正对圆心射入的粒子在磁场中运动的时间为 C．出磁场时离点最远的粒子在磁场中运动的时间为 D．所有粒子中出磁场时与点的最远距离为 【答案】BD 【详解】A．由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨道半径为 根据 可得磁场的磁感应强度大小为，A错误； B．正对圆心射入的粒子在磁场中转过的圆心角为120°，则运动的时间为，B正确； CD．出磁场时离点最远的粒子距离P点的距离为 在磁场中运动半周，用时间为，C错误，D正确。 故选BD。 3．（多选）（25-26高二下·浙江温州）如图所示，坐标系平面在纸面内，在的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，以平行y轴的虚线MN为界，左侧为无阻力区域，右侧为有阻力区域，表现为粒子在右侧区域中运动时除受到洛伦兹力外还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力作用，比例系数为。现有大量质量为、电荷量为的带正电的粒子，同时从原点向y轴右侧各个方向射入磁场，射入的速度大小相等，已知沿轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ，粒子轨迹呈螺旋状并与虚线边界相切于点（未画出），不计粒子重力与粒子间的相互作用，下列有关说法正确的是（　　） A．粒子从点射入磁场时的速度大小为 B．粒子在区域Ⅰ内运动的最短时间 C．粒子从点运动到点的时间 D．粒子区域Ⅱ中运动轨迹的长度为 【答案】AC 【详解】A．沿轴正方向射入的粒子在点垂直两磁场的边界射入区域Ⅱ,说明其在区域Ⅰ轨迹为四分之一圆弧，由几何关系可得圆周运动半径 由洛伦兹力提供向心力可得 解得，故A正确； B． 所有粒子速度大小相等，圆周运动半径均为，周期 运动时间 圆心角越小，运动时间越短，对应的最小弦长为原点O到边界MN的最短距离，即由弦长公式​ 代入最小弦长解得最小圆心角 对应最短时间，故B错误； C．该粒子在区域Ⅱ中的运动轨迹如图所示 阻力始终沿切线方向，洛伦兹力提供向心力 解得 由题意可知粒子与边界相切时转过的角度为 粒子从点运动到点的时间为，故C正确； D．洛伦兹力始终与速度方向垂直，切向只有阻力 在切向上由牛顿第二定律可得 则 有 解得，故D错误。 故选AC。 4．（多选）（2026·湖北襄阳·二模）如图，边长为L的正三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，大量比荷为的带负电粒子以相同速度垂直AC边射入磁场，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，粒子在磁场中运动的最长时间为，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．粒子运动的轨迹半径为 C．粒子射入磁场的速度大小为 D．粒子在磁场中扫过的面积为 【答案】BCD 【详解】A．粒子刚好从BC边垂直打出，设该过程扫过的圆心角为，由 几何关系可知，解得，故A错误； B．粒子在磁场中运动的最长时间轨迹所对的圆心角为，则有 解得 画出该粒子的运动轨迹，如下图 由几何知识得 解得，故B正确； C．由 联立解得，故C正确； D．由几何知识得扫过的面积为，故D正确。 故选BCD。 5．（多选）（2026·广西南宁·三模）如图所示，圆形区域内有一垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，圆周上的点有一粒子源在纸面内沿各个方向发射大量带正电的同种粒子。粒子的质量为、电荷量为、速率均为，射出磁场时的速度方向相同，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．圆形磁场区域的半径为 B．若粒子速率为，则在磁场中运动的最长时间为 C．若粒子速率为，则在磁场中运动的最长时间为 D．若粒子速率为，则有粒子射出的磁场边界弧长为 【答案】AD 【详解】A．粒子从点沿各个方向射入磁场，射出磁场时的速度方向相同，这是磁发散模型的特征，此时粒子在磁场中的运动半径等于磁场区域半径。由洛伦兹力提供向心力 得 所以圆形磁场区域的半径，故A正确； B．若粒子速率为，则运动半径 粒子在磁场中运动的弦长最长为磁场直径，设对应的圆心角为，则 解得 最长时间，故B错误； C．若粒子速率为，则运动半径。粒子轨迹圆在磁场圆内部，粒子运动一周回到点，时间为，故C错误； D．若粒子速率为，则运动半径。所有轨迹圆的大小一样，则打到圆弧上最远点对应轨迹圆的直径 根据几何关系可知，图中三角形为正三角形，所以对应的磁场边界弧长，故D正确。 故选AD。 6．（多选）（2026·四川资阳·三模）等腰梯形ABCD区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，梯形上、下底AB、CD长度分别为L和2L，∠D=60°。下底CD的中点E处有一个α粒子放射源，可以向CD上方射出速率不等的α粒子，α粒子的速度方向与磁场方向垂直，不计粒子间的相互作用力，已知质子的电荷量为e，质量为m，下列说法正确的是（　　） A．若AB边有α粒子射出，则BC边一定有α粒子射出 B．若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出 C．若α粒子可以到达A点，则其最小速率为 D．运动轨迹与AD边相切（由CD边出磁场）的速率最小的α粒子在磁场中的运动时间为 【答案】BD 【详解】A．如下图所示 当AB边恰有α粒子射出时，由几何关系可知，粒子运动轨迹没有到达BC边，故A错误； B．由几何关系可知，当AB边恰有α粒子射出时，轨迹圆与AB相切，此时与该圆半径相等的圆也一定与AD相切，即若AB边有α粒子射出，则AD边一定有α粒子射出，B正确； C．如下图所示 由几何关系可知，当时，速度最小，其半径为，由 可得，C错误； D．如下图所示 当时，速度最小，由 得，故D正确。 故选BD。 真题·实战演练 高频考点：平移圆、旋转圆 1．（2026·陕晋青宁卷·高考真题）如图，垂直于轴的足够大绝缘薄挡板P紧贴平行金属板放置，挡板P有一小孔在原点处，点到垂直于轴的两金属板距离相等。在平面位于处的粒子源以速率向面内各方向发射质量为、电荷量为的带电粒子。两金属板（上板为正极）间距为，板间电压初始为。在平面轴右侧，圆心位于、直径在轴、半径为的半圆区域存在方向垂直于平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为。在处有一垂直于轴的固定弹性绝缘挡板Q，粒子若碰到Q将发生弹性碰撞且电荷量不变。粒子打到金属板或挡板P均会被吸收，不计粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。（、均为已知量） (1)可从小孔进入磁场的粒子，求其从点处射入磁场速度方向与轴正向夹角的正弦值； (2)粒子从磁场射出后与挡板Q发生碰撞，求其再次射入磁场到达挡板上位置的坐标； (3)若仅改变电压的大小，在不同电压下，粒子源发射的所有粒子均无法打到挡板P右侧面；进入磁场的所有粒子打到挡板右侧面有1个撞击点或2个撞击点，求以上三种情况分别对应的电压取值范围（用已知量表示）。 【答案】(1)0.6或0.8 (2)或 (3)，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 当时，仅粒子能进入磁场，1个撞击点； 当时，两粒子均能进入且撞击点不同，2个撞击点； 当时，两粒子轨迹重合，1个撞击点。 【详解】（1）粒子在电场中做类斜抛运动 设粒子初速度方向与x轴夹角为，加速度 方向沿y轴正向。粒子从运动到，水平方向 竖直方向 联立解得 即 在O点，， 设射入磁场速度方向与x轴夹角为，则 即 根据， 解得或 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径 磁场区域半径也为L。由几何关系，粒子从O点射入，必从磁场边界另一点射出，且射出速度方向水平向右，如下图 射出点纵坐标 当时，， 当时，， 粒子与Q板弹性碰撞后沿x轴负方向返回，再次进入磁场。 由对称性及圆周运动几何关系，粒子再次打到挡板上的位置纵坐标 故y坐标为或。 （3）根据（1）可知 设。粒子能到达O点需满足，即， 若，则，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 当时，存在两个发射角（假设大于）。粒子在电场中不撞板条件为，如下图 上图为刚好到达上极板的临界，根据逆向看，类平抛运动速度偏转角是位移偏转角正切值的2倍，可知，此时 根据数学关系可知此时， 解得对于需，即 此时对应粒子轨迹刚好与上极板相切。 综上所述，当时，仅粒子能进入磁场，1个撞击点； 当时，两粒子均能进入且撞击点不同，2个撞击点； 当时，两粒子轨迹重合，1个撞击点； 当，则，无粒子能到达O点，均无法打到P右侧面。 2．（2025·重庆·高考真题）研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据几何关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 3．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时， 【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 解得半径 孔C所处位置的坐标 （2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力 解得半径 若要能在C点入射，则由几何关系可得 解得 如图 由几何关系可得 （3）不管从何角度发射 由（2）可得 根据动力学公式可得 ， 联立解得 （4）孔C位置坐标x 其中 联立可得 ， 解得 在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得 解得 根据动力学公式可得 ， 解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $