2026年内蒙古中考数学最后一卷
2026-06-24
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3份
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摘要：
**基本信息**
以中考命题趋势为导向，整合代数、几何、统计与概率核心知识，通过典型题型考查数学抽象、逻辑推理及模型应用能力。
**综合设计**
|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|代数与函数|5题|实数比较、反比例函数、不等式组、二次函数应用|从基础运算到实际问题，构建“概念-性质-应用”逻辑链|
|几何与图形|8题|三视图、三角形、圆、矩形、平行四边形证明|以空间观念为起点，通过图形性质推理深化逻辑思维|
|统计与概率|3题|概率计算、数据统计分析|从数据收集到决策，体现数据意识与应用能力|
内容正文：
2026年内蒙古中考数学最后一卷
（考试时间：90分钟 分值：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列比小的数是( )
A. B. C. D.
2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是( )
A. B. C. D.
3.两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，矩形中，六个小正方形的边长均为，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，．，所在圆的圆心分别是，则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
5.如图，点，，在上若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列事件中，一定会发生的是( )
A. 从只有白球的袋中摸出白球
B. 明天一定会下雨
C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是
7.为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图表示质量，表示密度，表示体积，下列说法正确的是( )
A. 当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的倍
B. 当乙的质量为时，体积为
C. 甲物质的密度小于乙物质的密度
D. 甲物质的密度等于乙物质的密度
8.在反比例函数中，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，共12分。
9.中国古代数学著作九章算术中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载数学兴趣小组从九章算术中挑选出个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各个在某次活动中，从这个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为 ．
10.如图，直线，被直线所截若，，则的度数是 ．
11.人的视觉机能受运动速度的影响很大在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野单位：与车速单位：之间的关系式是当车速为时，他的视野为
12.如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为 ．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.
计算：； 解不等式组：．
14.本小题7分
早在年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动现从该学校七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩满分为分，成绩均不低于分，对七年级抽取名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图：
七年级抽取名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．
八年级抽取名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为．
根据以上信息，解答下列问题：
请你直接写出条形统计图中的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数；
该学校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？
根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可．
15. 本小题分
卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？
16.本小题分
如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取点，使，连接，．
求证：；
若，，求的半径和的长．
17.本小题分
“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景如图甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分以下“花枪”均指花枪的中点．
如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点求丙的平均速度．
18.本小题分
如图，在▱中，，边的中点为，连接．
求证：；
如图，，垂足为点在线段上，，，垂足分别为、．
求证：；
若，求的值．
第1页，共1页
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2026年内蒙古中考数学最后一卷
数 学 学 科 评 分 标 准
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
A
D
A
A
B
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9. 10. 11. 12.
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题10分
解：原式 .................................3分
； .................................5分
解：解不等式得：.....................2分
解不等式得： .....................4分
∴此不等式组的解集是 .....................5分
14.本小题分
（1）；； .....................3分
，....................4分
估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是人；....................5分
【答案一】八年级此次竞赛成绩较好，....................6分
理由如下：
八年级的众数大于七年级的众数，
八年级此次竞赛成绩较好；....................7分
【答案二】七年级此次竞赛成绩较好，...................6分
理由如下：
七年级的中位数大于八年级的中位数，
七年级此次竞赛成绩较好．...................7分
15.本小题分
解：设一件种器材的价格为元，则一件种器材的价格为元，
元，
，...................2分
解得，...................3分
经检验：是方程的解，
，...................4分
则购买一件种器材需元、一件种器材需元；...................5分
设购买器材件，总费用元，
根据题意得，，...................6分
解得，...................7分
，...................8分
，
随的增大而减小，
，...................9分
当时，取得最小值，为元，
则至少要花元．...............................10分
16.本小题分
证明：，
，
，
， ..............................2分
，
，
； .............................4分
解：过点作于点，..............................5分
如图，
，
，
垂直平分， ..............................6分
过圆心，，
在中，，
设，，
，
，
在中，，..............................8分
解得舍去，，
，，
为直径，
，
， ..............................10分
，
在中，，
，
，
，
，
即的半径为，．.................................12分
17.本小题分
解：以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的坐标系，如图，.................2分
则，，
点为最高点，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，................................3分
，
，
，
关于的函数表达式为； ................................5分
花枪下落过程中，
，
当时，， ................................6分
或不合题意，舍去，
当时，， ................................7分
或不合题意，舍去，
花枪下落过程中，能接到的高度最大为，最小为，
的取值范围为 ................................8分
花枪飞行高度与时间之间的关系式是，
花枪落地时，
， ................................9分
或不合题意，舍去， ................................10分
乙从开始抛出花枪，到花枪落地需要秒，
设丙的平均速度为 ，
乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪，
， ................................11分
，
丙的平均速度至少为 ．................................13分
第1页，共1页
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（考试时间：90分钟 分值：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列比小的数是( )
A. B. C. D.
2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是( )
A. B. C. D.
3.两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，矩形中，六个小正方形的边长均为，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，．，所在圆的圆心分别是，则图中阴影部分的面积为( )
A. B.
C. D.
5.如图，点，，在上若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列事件中，一定会发生的是( )
A. 从只有白球的袋中摸出白球
B. 明天一定会下雨
C. 随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
D. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是
7.为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图表示质量，表示密度，表示体积，下列说法正确的是( )
A. 当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的倍
B. 当乙的质量为时，体积为
C. 甲物质的密度小于乙物质的密度
D. 甲物质的密度等于乙物质的密度
8.在反比例函数中，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，共12分。
9.中国古代数学著作九章算术中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载数学兴趣小组从九章算术中挑选出个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各个在某次活动中，从这个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为 ．
10.如图，直线，被直线所截若，，则的度数是 ．
11.人的视觉机能受运动速度的影响很大在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野单位：与车速单位：之间的关系式是当车速为时，他的视野为
12.如图，在矩形中，，，分别以，两点为圆心，以的长为半径作弧，两弧在矩形内部交于点，则点到所在直线的距离为 ．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.
计算：； 解不等式组：．
14.本小题7分
早在年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动现从该学校七、八年级各随机抽取名学生的竞赛成绩满分为分，成绩均不低于分，对七年级抽取名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图：
七年级抽取名学生的竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，．
八年级抽取名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为．
根据以上信息，解答下列问题：
请你直接写出条形统计图中的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数；
该学校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于分的学生人数共是多少？
根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可．
15. 本小题分
卓越中学每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
若学校需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，至少要花多少钱？
16.本小题分
如图，点在以为直径的上，连接，，过点作，垂足为，在圆上取点，使，连接，．
求证：；
若，，求的半径和的长．
17.本小题分
“踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景如图甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分以下“花枪”均指花枪的中点．
如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为．
设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为请建立平面直角坐标系，并求关于的函数表达式；
花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围．
乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点求丙的平均速度．
18.本小题分
如图，在▱中，，边的中点为，连接．
求证：；
如图，，垂足为点在线段上，，，垂足分别为、．
求证：；
若，求的值．
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