精品解析：2026年辽宁盘锦市双台子区第一中学中考考前模拟数学试卷

双台子区一中2025—2026第二学期九年级第四次模拟 数学试卷 （考试时间：120分钟　　试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界在2025年12月17日开园至2026年2月21日闭园的65天运营期内，累计接待游客3060000人次，将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列事件中，发生的概率是的是（ ） A. 投掷一个点数均匀分布骰子，点数大于3 B. 掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，他掷第100次时，出现正面朝上 C. 在装有3颗大小，形状全都相同的黄色小球的袋子中，随机抽取一颗是黑球 D. 两个小朋友玩石头，剪刀，布，两人出一样手势 8. 唐代诗人李白在《早发白帝城》中写下“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”，生动描绘了长江水道的迅疾．假设从白帝城（今重庆奉节）到江陵（今湖北荆州）的水路全程约600里，船在静水中的速度为v里/时，水流速度为10里/时．若船从江陵逆水返回白帝城比从白帝城顺水到江陵多用6小时，根据题意列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 10. 如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则_________． 12. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 14. 某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 15. 如图，在正方形中，，连接，的平分线与相交于点E，以点C为圆心，长为半径作弧，与射线的另一个交点为F，再分别以点E和点F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线，与相交于点G，则的长为________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 18. 中考体育技能测试项目分为五类：A．篮球—运球绕杆；B．足球—运球绕杆；C．排球—正面双手垫球；D．乒乓球—左推右攻；E．羽毛球—击高远球．某校为了解学生对中考体育技能测试项目的选择情况，随机选取m名九年级学生开展“你选择的中考体育技能测试项目是________（每人必选且限选一项）”问卷调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据题中信息，回答下列问题： （1）______； （2）设选择“D．乒乓球一左推右攻”测试项目的人数为n，则______，并补全条形统计图； （3）在本次调查五类测试项目选择人数的数据中，即在数据：108，130，182，n，50中，众数是______，中位数是______； （4）若该校九年级学生有1000人，估计选择“C．排球一正面双手垫球”测试项目的学生人数． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面． 素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到） 问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； （2）探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 20. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 21. 已知是的内接三角形，，，点D是上一点，连接，，． （1）如图1，若为的直径，求的度数； （2）如图2，若，过点D作的切线交的延长线于点E，若，求的长． 22. （1）如图1，在与中，，，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （3）如图3，将直角绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双台子区一中2025—2026第二学期九年级第四次模拟 数学试卷 （考试时间：120分钟　　试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 第二十七届哈尔滨冰雪大世界在2025年12月17日开园至2026年2月21日闭园的65天运营期内，累计接待游客3060000人次，将3060000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：科学记数法要求，等于原数的整数位数减1，将写成科学记数法时，可得，原数共7位整数， ， ∴． 2. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数与标准值0的距离为该数的绝对值，绝对值越小，数越接近标准值，计算各数的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ 的绝对值最小，最接近标准值． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的三种视图中是轴对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 三种视图都是 【答案】B 【解析】 【分析】先确定三视图，再根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵五个大小相同的正方体搭成的几何体的三视图如图所示， ∴该几何体的左视图、主视图和俯视图中，只有左视图是轴对称图形． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据平行线的性质得，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，是直径，是上的点，于点，于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，三角形中位线定理，弧与弦之间的关系，由垂径定理得到点为的中点，则由三角形中位线定理得到，再由垂径定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴点为的中点， ∵是直径， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列事件中，发生的概率是的是（ ） A. 投掷一个点数均匀分布骰子，点数大于3 B. 掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，他掷第100次时，出现正面朝上 C. 在装有3颗大小，形状全都相同的黄色小球的袋子中，随机抽取一颗是黑球 D. 两个小朋友玩石头，剪刀，布，两人出一样手势 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单概率公式，其中为所有等可能结果总数，为所求事件包含的结果数，逐项计算概率即可得到答案． 【详解】解：对于A选项，∵投掷均匀骰子共有6种等可能结果，点数大于3的结果有3种， ∴，不符合题意； 对于B选项，∵掷均匀硬币每次试验都是独立事件，正面朝上的概率始终为， ∴，不符合题意； 对于C选项，∵袋子中没有黑球， ∴抽到黑球的概率为0，不符合题意； 对于D选项，∵两个小朋友玩石头剪刀布，共有种等可能结果，两人出相同手势的结果共3种， ∴，符合题意． 8. 唐代诗人李白在《早发白帝城》中写下“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”，生动描绘了长江水道的迅疾．假设从白帝城（今重庆奉节）到江陵（今湖北荆州）的水路全程约600里，船在静水中的速度为v里/时，水流速度为10里/时．若船从江陵逆水返回白帝城比从白帝城顺水到江陵多用6小时，根据题意列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程． 先明确顺水、逆水速度的计算公式，再根据“逆水行驶时间-顺水行驶时间小时”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，逆水速度=船在静水中的速度-水流速度， ∴顺水速度为里/时，逆水速度为里/时， ∵时间=路程÷速度， ∴顺水行驶时间为小时，逆水行驶时间为小时， 又∵逆水返回比顺水到江陵多用6小时， ∴可列方程：． 故选：B． 9. 已知在同一平面直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象所经过的象限是（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第一、二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合．根据反比例函数的函数图象在二、四象限，得到，根二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的函数图象在二、四象限， ∴， ∵二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴， ∴， ∴一次函数经过二、三、四象限， 故选：B． 10. 如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可． 【详解】在中，，， ， 四边形为平行四边形， ， ， 又沿折叠，点B落在平面内的点G处， ， 四边形为矩形， ， 又， ， ， ． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 12. 对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，连接，的平分线与相交于点E，以点C为圆心，长为半径作弧，与射线的另一个交点为F，再分别以点E和点F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线，与相交于点G，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂线的作法，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作于点，根据正方形的性质和勾股定理，得到，由作法可知，，证明，得到，再证明，得到，，则，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在正方形中，， ，， ，， 由作法可知，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 又，， ， ，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用负整数次幂、零次幂、立方根化简，然后再运用实数的混合运算法则求解即可； （2）直接利用分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 （1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ （2）该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】（1）元 （2）件 【解析】 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． 【小问2详解】 解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 18. 中考体育技能测试项目分为五类：A．篮球—运球绕杆；B．足球—运球绕杆；C．排球—正面双手垫球；D．乒乓球—左推右攻；E．羽毛球—击高远球．某校为了解学生对中考体育技能测试项目的选择情况，随机选取m名九年级学生开展“你选择的中考体育技能测试项目是________（每人必选且限选一项）”问卷调查．根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据题中信息，回答下列问题： （1）______； （2）设选择“D．乒乓球一左推右攻”测试项目的人数为n，则______，并补全条形统计图； （3）在本次调查五类测试项目选择人数的数据中，即在数据：108，130，182，n，50中，众数是______，中位数是______； （4）若该校九年级学生有1000人，估计选择“C．排球一正面双手垫球”测试项目的学生人数． 【答案】（1）520 （2）50 （3）50，108 （4）350 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量解答即可． （2）利用频数之和等于样本容量×所占百分数，计算补图即可． （3）根据中位数，众数的定义求解即可． （4）利用样本估计总体计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，正确计算样本容量是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得B项目有130人，占比为， 故， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得D项目的频数为：（人），补图如下： ． 【小问3详解】 解：108，130，182，50，50中，众数是50，中位数是108． 【小问4详解】 解：根据题意，得（人）， 答：选择“C．排球一正面双手垫球”测试项目的学生有350人． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面． 素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到） 问题解决： （1）确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； （2）探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】（1）， （2）机动车道一的限高高度为 【解析】 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【小问1详解】 解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 20. 如图1，一扇推拉式窗户，为固定的窗框底边，为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边上的点M处，另一端点N在窗框底边上滑动（窗户关闭时，，叠合在边上），支撑杆的长度固定不变．窗户打开一定角度后，即与构成一个旋转角，其侧视图如图2所示，窗户旋转角的大小控制在一定范围内（），其中． （1）如图3，窗户旋转角时，测得，求此时和的长（结果保留根号）； （2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角从继续增大，旋转到点M，N的对应点分别为点，，时旋转停止，如图4所示，求端点N在此过程中滑动的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）先证明，再利用三角函数的意义进行计算即可； （2）如图3中，作交的延长线于点，解直角三角形得出是，进一步相减可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可得：窗户旋转角时，测得， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图3中，作交的延长线于点， 在中，， ， ∴， ， 在中，， ． ∴ ∴端点N在此过程中滑动的长度为：． 21. 已知是的内接三角形，，，点D是上一点，连接，，． （1）如图1，若为的直径，求的度数； （2）如图2，若，过点D作的切线交的延长线于点E，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据半圆或直径所对圆周角为直角得到，则，由此即可求解； （2）根据同弧所对圆周角相等可得到，由平行线的性质，角的和差得到，由圆周角定理得到，根据切线的性质得到，则，根据含角的直角三角形的性质得到，再根据弧长公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 若为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵所对圆心角是，所对圆周角是， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴． 22. （1）如图1，在与中，，，，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，将图1中的绕着点B逆时针旋转得到，当点D的对应点在线段的延长线时，与相交于点E，连接，若，，求线段的长； （3）如图3，将直角绕着点A顺时针旋转得到，，点M为线段中点，连接，当点C的对应点在线段的延长线时，连接，的延长线与相交于点N，请回答下列问题： ①求证：点N为中点； ②若，，求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）直接证三角形全等，再根据全等三角形的性质证明即可； （2）过点作交于点H，得到四边形为矩形，证，最后在中，由勾股定理即可求出； （3）连接，过作交于点H，先证明，，，四边形为矩形，最后根据等腰三角形“三线合一”证得点N为中点；②由①可知，，，求得 ，根据勾股定理求出，从而求得，再证，从而求得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ， ， ， （2）解：过点作交于点H， 旋转得到， 由（1）的结论可得：，，， ， ， 四边形为矩形， ， 由（1）可知：， 又， ， ， ，， ， ， 又四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：； （3）解：①连接，过作交于点H， 直角绕着点A顺时针旋转得到， ，，，， ，， ， ， 点M为线段中点，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 又， ， 点N为中点； ②， 由勾股定理可得：， 由①可知，，， 又， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转，构造辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①存在，点坐标为或； ②当点落在内部（含边界）时，； ③ 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把点代入解答即可； （2）①先求出点，根据，可得，再求出当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式，即可求解； ②求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，再求出当点落在上时，当点落在上时，t的值，即可求解； ③求出当时，翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式，直线的解析式，然后求出当直线过点时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时，n的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①存在， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于，当时，， 解得，， 点坐标为或； 由折叠的性质得：点， ∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为， 此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为， 所以翻折后出现的函数图像部分不存在点， 综上所述，点H的坐标为或； ②设直线的解析式为，经过， 当时，，当时，， ， 设点的坐标为， ∵点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， ∴当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得． ∴当点落在内部（含边界）时，； ③当时，由折叠的性质得：点， 此时翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 由②得：直线l的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为：， 当直线过点时，， 此时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时， 联立：得：， 整理得：， 此时， 解得：， ∴当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $