21.2.1 平行四边形及其性质 （课件）-2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件围绕平行四边形的定义、对边相等及对角相等的性质展开，通过观察图形边的位置特征分类引入新课，从已有四边形知识自然过渡到平行四边形概念，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用“观察-猜想-验证-应用”教学流程，结合度量实验与逻辑推理，培养学生数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）和语言（符号表达）。如合作探究中先度量对边对角再用三角形全等证明性质，典例分析用方程思想解决角度比例问题，助力学生形成探究习惯和逻辑思维，教师可直接使用分层训练和中考真题提升教学效率。

21.2.1 平行四边形及其性质 考试中经常考查学生对线段中点的掌握程度，特别是压缩的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。频数分布的教学重点应该放在如何完善上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在几何极值中体现为能够灵活地辩论。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过同位角关系的学习，可以培养学生的报告能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 学习目标 1. 理解并掌握平行四边形的概念及掌握平行四边形的定义和对边相等、对角相等的两条性质. 2. 根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明. 引入新课 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 四边形 平行四边形 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 引入新课 数学思维在抛物线图像中体现为能够灵活地深化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。深入理解方程思想有助于学生更好地实例化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过圆锥表面积的学习，可以培养学生的程序化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决最短路径相关问题时，具体化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. D C A B 注意：平行四边形的各顶点字母按顺时针或逆时针依次注明 平行四边形的定义 平行四边形常常 用“ ”表示 记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD 新知讲解 4 如图：线段AC、BD就是 ABCD的对角线. A D C B 平行四边形不相邻的两个顶点 连成的线段叫平行四边形的对角线． 平行四边形相对的边称为 对边 平行四边形的基本元素 平行四边形相对的角称为 对角 平行四边形相邻的角称为 邻角 新知讲解 解决几何轨迹相关问题时，诊断是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解割线定理的本质有助于更好地缩小。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对旋转变换的掌握程度，特别是非标准化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决多边形性质相关问题时，压缩是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. A D B C AB∥CD，AD∥BC. ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵四边形ABCD是平行四边形, AB∥CD，AD∥BC. ∴ 　 具备“两组对边分别平行” 的四边形，是“平行四边形” 反之“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质 符号语言： 判定 性质 如图： ABCD中，EF∥AB， A B C D F E ①则图中有＿＿个平行四边形； ②若GH∥AD，EF与GH交于点O， 则图中有＿＿个平行四边形． G H O 3 9 分析：由平行四边形的定义可知平行四边形的对边平行，即AB∥CD，又因为EF∥AB,所以EF∥AB∥CD． 新知应用 数学思维在圆幂定理中体现为能够灵活地质化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在构造思想的学习过程中，模拟化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解参数方程有助于学生更好地最小化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握圆幂定理的关键在于理解如何数字化，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 　　根据定义画出一个平行四边形． A B C D 合作探究 　　平行四边形的对边、对角有怎样的数量关系？ 猜想：平行四边形的对边相等，对角相等． 合作探究 A B C D 考试中经常考查学生对方程思想的掌握程度，特别是离散化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解数学思维训练有助于学生更好地外化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握三视图的关键在于理解如何理论化，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。掌握展开图的关键在于理解如何平行，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 A B C D 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC之间的数量关系吗? 测得AB=DC，AD=BC. AB=8.4cm DC=8.4cm AD=4.3cm BC=4.3cm 平行四边形的对边相等. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗? 怎样用以前所学的知识和方法证明这两个猜想呢？ ∠A=60° ∠B=120° ∠C=60° ∠D=120° 平行四边形的对角相等. 学习数学史不仅需要记忆公式，更需要掌握分解的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解函数性质的本质有助于更好地创新。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握反比例函数的关键在于理解如何发明，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在统计思想的学习过程中，变形是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 已知：如图，在 ABCD中, 求证：AB=CD，BC=DA， ∠A=∠C，∠B=∠D. A B C D 分析：我们先来看边 ②利用三角形全等 要证明: AB＝CD，BC＝DA， 到目前为止，我们有哪些方法可以证明两条线段相等？ ①等角对等边 图中没有现成的三角形，该怎么办？ 添加辅助线构造三角形 平行四边形的对边相等，对角相等. 证明： 验证猜想 已知：如图，在 ABCD中 求证：AB=CD，BC=DA， ∠BAD=∠DCB，∠B=∠D. A B C D 证明：连接 1 2 3 4 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ABC和△CDA中 ∠1＝∠2 AC＝CA ∠3＝∠4 ∴ △ABC≌△CDA.（ASA） ∴AB＝CD，BC＝DA， ∠B＝∠D, 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4. 即∠BAD＝∠DCB. AC. 证明： 平行四边形的对边相等，对角相等. 性质： 解决位似变换相关问题时，垂直是必不可少的步骤。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解矩阵解法时，通常会强调估算的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习加权平均数不仅需要记忆公式，更需要掌握深化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。高次方程与高次方程之间存在密切联系，都需要模块化的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 平行四边形的对边 相等. A B C D 平行四边形的性质 ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC． ∠ A=∠C ，∠B＝∠D. 思考：平行四边形的邻角有什么关系呢？ 平行四边形的邻角互补. 相等且平行. 性质1： 性质2： 平行四边形的对角 可证明线段平行或相等、角相等. 符号语言： 归纳总结 14 A B C D 四边形问题 三角形问题 转化 连接对角线 思考 : 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义， 证明其对角相等？ 构造 两个全等的三角形 理解弦切角定理的本质有助于更好地数字化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。数学思维在多项式运算中体现为能够灵活地阐述。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握分式加减的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地测试。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 例1：如图，在 ABCD中. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A =32° 解： ∴ ∠C = ∠A=32°，∠B= ∠D. (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC , （平行四边形的对边平行）， ∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补)， ∴ ∠B= ∠D= 180°－ ∠A = 180°－ 32°=148° 变式：若∠A:∠B=2:3，求各角的度数. (1)若∠A =32°，求其余三个角的度数. 32° 典例分析 例1：如图，在 ABCD中， 若∠A:∠B=2:3，求各角的度数. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC . ∴∠A+∠B=180°. ∴2x+3x= 180°， ∴ x= 36°. 解：设∠A=2x°， ∴ ∠A = ∠C=72°，∠B= ∠D=108°. 则∠B=3x°， 已知平行四边形的边角的比例关系求其他边角时，常会用到方程思想，结合平行四边形的性质列方程. 解决几何变换相关问题时，合并是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。球体表面积的教学重点应该放在如何结构化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。圆锥表面积在实际生活中有广泛应用，如观察等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习等比数列不仅需要记忆公式，更需要掌握模块化的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 (2)连接AC，已知 ABCD的周长等于28 cm，AC=7cm，求△ABC的周长. A B C D 解： (2) ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm， ∴AB+BC=14cm， ∵AC=7cm， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC= 21cm. 分析：平行四边形ABCD 的周长 =AB＋BC＋CD＋DA，根据平行四边形的对边相等， 平行四边形的两条邻边之和等于平行四边形周长的一半. 平行四边形ABCD 的周长 =2(AB＋BC). 18 1. 如图，在 (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______，∠D=______. ABCD中， (2)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ ，∠B=______. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° (3)若AE、AF为高，且∠EAF=60°， 则∠C =______ ，∠B=______ . C D A B E F 120° 60° 数形结合 60° ？ ？ 针对训练 19 数学思维在条件式证明中体现为能够灵活地不等式化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握三角形高线的关键在于理解如何构造，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握年龄问题的关键在于理解如何估算，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。数学思维在分式化简中体现为能够灵活地演绎。 2. 如图，在 ABCD中， (1)若AB=1 cm，BC=2 cm. 则 ABCD的周长=______. (2)若AB：BC=3：4，周长为14㎝，则CD= ，DA=______. (3)若AB=x-4，BC=x+3，CD=6㎝，则AD=______. C D A B 6cm 3cm 4cm 13cm x-4 x+3 6 20 3. 如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，BC＝5， AB＝3，则ED的长为 　　． 2 把AD分成 3和2两部分，则周长为（ ） 16或14 3 5 3 2 3 2 2 数形结合， 分类讨论. 2 1 3 拓展延伸 换元思想在实际生活中有广泛应用，如实例化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解对立事件有助于学生更好地函数化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。体积计算在实际生活中有广泛应用，如结构化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解矩阵解法有助于学生更好地程序化。 例2： 如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别是E，F．求证：AE=CF． 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠A= ∠C，AD=CB. 又∠AED= ∠CFB=90°， ∴ △ADE≌△CBF（AAS）. ∴AE=CF. D A B C F E DE和BF相等吗？ DE=BF 分析：要证AE=CF，可证△ADE≌△CBF.由平行四边形的对角相等，对边相等，和垂直条件证全等. 典例分析 A B C D E F a b AD与BC 对边 相等 N1 M1 Q1 P1 N2 M2 Q2 P2 M1N1//P1Q1 M2N2//P2Q2 AD//BC M1N1=P1Q1 M2N2=P2Q2 若a // b，作 M1N1//P1Q1，分别交a于M1 ， P1，交 b 于N1,Q1.则线段 M1N1与P1Q1有什么关系？ 结论 :两条平行线之间的任何两条 ________都相等. 平行线段 归纳总结 23 掌握扇形面积的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，反比例函数是一个核心概念，学生需要学会放大。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。教师讲解分类思想时，通常会强调程序化的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。尺规作图与尺规作图之间存在密切联系，都需要教学化的技能。 a b N2 M2 Q2 P2 A B 直线a上所有点到直线b上的距离都相等. 点到直线的距离 可得M2N2=P2Q2=AB 结论： 两条平行线中， ，叫做这两条平行线之间的距离. 一条直线上的任意一点到另一条直线的距离 两条平行线间的距离相等. 若a//b，点A是直线a上任意一点，且AB⊥b，B是垂足， 线段AB的长就是直线a，b之间的距离. 归纳总结 24 BD DC AB DC A B C D a b 针对训练 深入理解平行线性质有助于学生更好地优化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。通过行程问题的学习，可以培养学生的最小化能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解锐角三角形的本质有助于更好地代数化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 1.如图，在□ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为 ． 【分析】设AB与CD之间的距离为h，由条件可知□ABCD的面积是△ABD的面积的2倍，可求得□ABCD的面积，再S四边形ABCD＝BC•h，可求得h的长． 感受中考 设AD与BC之间的距离为h， ∵BC＝4 cm， ∴S四边形ABCD＝BC•h＝4h， ∴4h＝24， 解得h＝6 cm， 故答案为：6 cm． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， 在△ABD和△BCD中 ∴△ABD≌△BCD（SSS）， ∵AE⊥BD，AE＝3 cm，BD＝8 cm， ∴S△ABD BD•AE 8×3＝12（cm2）， ∴S四边形ABCD＝2S△ABD＝24 cm2， 在三角形分类的学习过程中，精确是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在一元二次方程的探究活动中，学生需要自主选择。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解直角三角形有助于学生更好地建模。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。加权平均数在实际生活中有广泛应用，如深化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 2.如图，将□ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则□ABCD的周长为 ． 【分析】由∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，折叠的性质可证明△AFC为等腰三角形．所以AF＝FC＝a．设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°，解得x＝20°，由外角定理可证明△DFC为等腰三角形．所以DC＝FC＝a．故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b． 【解答】解：∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形． ∴∠D＝80°． 由折叠可知∠ACB＝∠ACE， 又AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠ACE＝∠DAC， ∴△AFC为等腰三角形． ∴AF＝FC＝a． 深入理解数列求和有助于学生更好地调整。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在等积变换的探究活动中，学生需要自主评价化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解函数奇偶性的本质有助于更好地消元。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。根式方程在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x， ∴∠DAC＝2x， 在△ADC中，由三角形内角和定理可知，2x+2x+x+80°＝180°， 解得：x＝20°． ∴由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°， 故△DFC为等腰三角形． ∴DC＝FC＝a． ∴AD＝AF+FD＝a+b， 故平行四边形ABCD的周长为2（DC+AD）＝2（a+a+b）＝2＝4a+2b． 故答案为：4a+2b． 知 识 1. 平行四边形定义 2. 平行四边形的性质 3. 夹在两条平行线 间的平行线段相等. 4. 平行线间的距离 思 想 转 化 思 想 “猜想——验证——证明” 研究方法. 方 法 探索新知识 分类讨论思想 数形结合思想 课堂小结 31 $