专题 1.1 认识三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“认识三角形”核心知识点，系统梳理三角形定义与基本元素、内角和、按角分类、三边关系及中线、角平分线、高等内容，形成从概念到性质再到应用的递进式学习支架。 资料以知识梳理+题型精析+同步检测为框架，基础题型与综合培优题型分层设计，结合各地期中期末真题实例，培养学生几何直观与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题 1.1认识三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形定义与基本元素 1 【题型 1】三角形的概念 2 【知识点二】三角形的内角和 4 【题型 2】利用三角形内角和求值 4 【知识点三】三角形的分类（按角分） 7 【题型 3】三角形的分类（按角分） 7 【知识点四】三角形三边关系 9 【题型 4】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 9 【题型 5】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 11 【知识点五】三角形中线、角平分线、高 13 【题型 6】利用三角形中线、角平分线、高求值 14 【题型 7】三角形中线、角平分线、高画法 16 二.综合培优题型精析 18 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 18 【题型 9】三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 21 【题型 10】三角形中线、角平分线、高线综合 24 三.同步检测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形定义与基本元素 1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示。 2三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的概念 【例题1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】（1）的三个内角是：，，；（2）；；（3）6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 解：（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 【答案】 2 【分析】本题考查了三角形，掌握三角形的有关概念是解题的关键． 根据三角形的有关概念即可解答． 解：①图中以为边的三角形有共个； ②在中，所对的边是； ③边所对的角是． 故答案为：①；②；③． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材习题T1变式]如图所示： （1）图中一共有______个三角形，它们分别是______； （2）和的公共角是______，公共边是______； （3）在中，的对边是______； （4）在和中，是边______和______的对角． 【答案】（1）5，，，，，；（2），；（3）；（4）， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 解：（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 【知识点二】三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°。 【题型 2】利用三角形内角和求值 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】由题意可求出，因为，所以，因为的平分线交于点D，的平分线交于点F，可求，则的度数可求． 解：∵，， ∴， ， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 解：（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 【知识点三】三角形的分类（按角分） 类型 图示 定义 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形是直角三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 【题型 3】三角形的分类（按角分） 【例题3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，比大，求各内角的度数，并判断的形状． 【答案】，，，为锐角三角形 【分析】设为，则为，由三角形内角和为构造方程，求解出，并判断三角形的形状即可． 解：设为，则为， 由三角形内角和定理可得：， 解得， ∴，， ∵，，均为锐角， ∴为锐角三角形． 【变式1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 【变式2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】锐角 【分析】先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，再根据三角形的分类求解即可． 解：∵的三个内角的比为，且三角形内角和为， ∴中最大角的度数为： ， ∵中最大角为锐角， ∴为锐角三角形． 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【答案】（1）；（2）三角形是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据三角形内角和定理，列方程求解； （2）求出最大角的度数，判断即可． 解：（1）根据题意，得． 解得． （2）因为， 所以最大角的度数为， 所以该三角形是直角三角形． 【知识点四】三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 4】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 【例题4】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【答案】（1）②；（2）构成三角形的周长为13或14 解：（1）解：∵， ∴①和③不管构不构成三角形一定成立， 只有满足②时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得，即，解得， ∴， ∵为整数， ∴或， 当时，三角形的周长为； 当时，三角形的周长为． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10 【答案】C 【分析】只需验证两条较短边的和大于最长边即可，满足条件即可围成，不满足则不能围成. 解：选项A中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项B中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形； 选项C中，较短边为，，最长边为，，满足三角形三边关系，故能围成三角形； 选项D中，较短边为，，最长边为，，不满足两边之和大于第三边，故不能围成三角形. 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）等腰三角形的两边长、满足，则这个三角形的周长为_________． 【答案】 【分析】先通过配方法将已知等式变形，利用平方的非负性求出等腰三角形的两边长、，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 解：对配方， ， ， 平方数非负，即，， ，， 解得：，， 若腰长为2，三边长为2、2、7， ，不满足三角形三边关系，舍去； 若腰长为7，三边长为7、7、2， ，满足三边关系， 周长． 【变式3】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知：a、b、c满足求： （1）a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1）；（2）能构成三角形，周长为24 【分析】本题考查平方、算术平方根及绝对值的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握基础知识点是解题关键； （1）根据平方、算术平方根及绝对值的非负性即可得到答案； （2）根据三角形三边关系可判断构成三角形，三边相加求周长． 解：（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴． （2）解：∵， ∴以a、b、c为边能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 【题型 5】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 【例题5】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题． （1）在中，，，的长为偶数，求的周长； （2）已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，结合为偶数确定的长度，再计算三角形周长； （2）先根据三角形三边关系得到的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果． 解：（1）解：∵ ，，， ∴ ，即． 又∵为偶数， ∴． ∴的周长为． （2）解：∵的三边长分别为，，， ∴，即． ∴，，． ∴原式 ． 【变式1】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由三角形三边关系得：，即， ∴衣架底部横杆的长可能为 ． 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系求解，三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的值即可得到的取值范围． 解：根据三角形三边关系可知，第三边满足， 将，代入得，即． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元复习）在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 【答案】边的最大长度应小于，最小长度应大于 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形第三边的长度一定大于已知两边的差，小于已知两边的和，利用该性质计算即可得到结果． 解：已知在中，，． 根据三角形三边关系，可得 ． ∴ ． 即边的最大长度应小于，最小长度应大于． 【知识点五】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 【题型 6】利用三角形中线、角平分线、高求值 【例题6】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． （1）若是的角平分线，，，分别求和的度数． （2）若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【答案】（1），；（2）相等，见分析 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再由三角形内角和定理求解； （2）根据三角形的中线等分面积即可求解． 解：（1）解：∵是的高 ∴ ∵ ∴, ∵，是的角平分线 ∴ ∴； （2）解：和的面积相等，理由如下： ∵是的中线， ∴ ∵是的高 ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形高、角平分线、中线的定义；根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 解：A、是的高，即,所以，故A不符合题意； B、是的角平分线，即平分,所以，故B不符合题意； C、是的中线,即是中点，所以，故C不符合题意； D、无法由的高、角平分线、中线得出，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线， （1）求的度数； （2）求的度数； （3）试探究与之间的数量关系（）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）角平分线的定义求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，角的和差关系即可得出结果； （3）同法（2）进行求解即可. 解：（1）解：在中，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，是的角平分线，是的高， ∴， ∴ ∴. 【题型 7】三角形中线、角平分线、高画法 【例题7】（23-24七年级下·上海·阶段检测）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 解：如图为中线， 为角平分线，为高 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 解：根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了三角形的三条特殊线段，理解三角形中线、高线和角平分线的定义，是解题的关键．过点C作于点D，则为的高线；作的平分线，交于点E，则为的角平分线，找出的中点F，连接，则为的中线． 解：如图，为所求作的高线，为所求作的角平分线，为所求作的中线． 二.综合培优题型精析 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 【例题8】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【答案】（1）；（2）17 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：（1）解：∵，． ∴， ∴， ∴ 即． （2）解：∵是的中线， ∴， 的周长为10， ∴， ∵， ∴ 的周长 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 解：，， ， 是边上的中线， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【答案】8 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积为． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 【题型 9】三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 【例题9】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． （1）求∠COD的度数； （2）若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）利用高的定义得到直角，根据三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义即可求解； （2）根据三角形中线的性质得到的面积是6，进而即可求解． 解：（1）解：在中，是高， ， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵是中线，的面积是3， ∴的面积是6， ∴，即， ∴． 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和，角的平分线意义求解即可； 解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 故； 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为_____； （2）若，是角平分线，求_____； （3）若，是高，求的度数． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 解：（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 【题型 10】三角形中线、角平分线、高线综合 【例题10】（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）在中，是边上的高． （1）如图1，若是边上的中线，，求的长． （2）如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理： （1）三角形的面积求出的长，中线求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，利用角的和差关系即可求出的度数． 解：（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质可得，再结合直角三角形面积公式，代入与的面积，进而求出垂线段的长度． 解：为边上的中线， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【答案】 【分析】由三角形高的定义得，即得，得到，进而根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理解答即可求解． 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、中线、高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形相关性质是解答的关键． （1）先根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 解：（1）解：∵为边上的中线，的面积为30， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连的三条线段组成的图形是解题的关键．由对角、对边的关系可求得答案． 解：∵ 在中，边连接顶点B和C， ∴ 其对角为（顶点A所对的角）， 故选：A． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选B． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用折叠的性质求出，从而可利用三角形内角和定理求出，再利用折叠的性质求得． 解：∵，将沿翻折后，点A落在边上的点F处， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理列方程求出的值，再计算最大内角的度数即可判断三角形的形状； 解：三角形内角和等于， ， 解得：， 最大内角， 这个三角形是直角三角形． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）若三角形的三边长分别是，，．则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．解题思路是利用三角形三边关系求出的取值范围，再结合选项判断符合条件的值． 解：∵ 三角形三边长为1，3，， ∴ ， 即 ， A选项中，2不满足，故A选项不符合题意； B选项中，3满足，故B选项符合题意； C选项中，4不满足，故C选项不符合题意； D选项中，5不满足，故D选项不符合题意． 6．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的角平分线和中线，根据角平分线和中线的定义，逐一进行判断即可． 解：在中，是角平分线，点E是的中点， ∴，，，是的中线， 故错误的是选项C； 故选C． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 8．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可； 解：在 中，边所对的顶点是， 交的延长线于点， 边上的高是． 9．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，即，再说明，进而完成解答． 解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 【答案】 【分析】连接，根据三角形内角和为，在和中得出，，即可求出，结合是、的角平分线，求出，在中，再根据三角形内角和定理即可求解． 解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，， ∴ ， ∵是、的角平分线， ∴， ∴， ∴在中： ， ∴． 13．（25-26七年级下·上海徐汇·期末）如图，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据解答即可 解：根据题意，得， 整理，得， 解得 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可． 解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， ， 不能组成三角形， 是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，这个三角形的周长是． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断出相关式子的正负，再利用二次根式和立方根的性质化简，去括号后合并同类项即可得到结果． 解：∵a、b、c分别为的三边长， ，， ， ． 16．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 17．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由是的高即可得出，进而可得出结论． 解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 18．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解． 解：∵，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是边上的高线， ∴． ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是___________． （2）若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查三角形三边的关系，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解即可． （1）直接根据三角形三边的关系求解即可； （2）根据的取值范围，确定奇数的值，再求三角形的周长即可． 解：（1）∵一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为， ∴， 即， 故答案为：． （2）第三边的长为奇数，且， 第三边的长为5， 三角形的周长． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的内角和是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得． ，然后利用平角等于列式计算即可得解． 解：（1）解：， ． （2）解：， ． 由题意，得， ． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，将沿射线方向平移2个单位长度到的位置，点的对应点分别为点． （1）若，求的长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由平移可得，再由线段的和差即可求解； （2）由平移可得，根据平行线的性质求出，，再根据三角形的内角和定理即可求解． 解：（1）解：由平移可得， ∵， ； （2）解：由平移可得， ∴，， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图1，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求和的长； （2）如图2，在图1的基础上连接，若三角形的面积为，求三角形的面积． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是两点间的距离和三角形的面积，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据点C为中点求出AC的长度，然后根据AB的长度求出BC的长度，最后根据点N为中点求出CN的长度； （2）根据三角形的面积公式，由三角形等高，结合底的比例求三角形的面积． 解：（1）解：点是线段的中点，， ，． ， ． 点是线段的中点， ． ． （2）解：点是线段的中点，点是线段的中点， ，． ，即． 如下图，过点作，垂足为 三角形和三角形的高同为， 三角形的面积，三角形的面积 三角形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 （1）如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 （2）如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 （3）如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）． 【分析】（）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据三角形的内角和定理得，再由，三等分，，三等分，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到的大小． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ； （3）解：如图， 由三角形的内角和定理得， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1认识三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】三角形定义与基本元素 1 【题型 1】三角形的概念 2 【知识点二】三角形的内角和 3 【题型 2】利用三角形内角和求值 3 【知识点三】三角形的分类（按角分） 4 【题型 3】三角形的分类（按角分） 4 【知识点四】三角形三边关系 5 【题型 4】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 5 【题型 5】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 6 【知识点五】三角形中线、角平分线、高 6 【题型 6】利用三角形中线、角平分线、高求值 7 【题型 7】三角形中线、角平分线、高画法 8 二.综合培优题型精析 9 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 9 【题型 9】三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 10 【题型 10】三角形中线、角平分线、高线综合 11 三.同步检测 12 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 12 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】三角形定义与基本元素 1、 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示。 2三角形的基本元素： 基本元素 三个顶点 三条边 三个内角 表示方法 点必须用大写字母表示 方法1：线段. ，，. 方法2：顶点所对的边用表示. 图示 三条边（或），三内角，，. 顶点： 3、三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作，读作“三角形” 【要点提示】符号“”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示. 【题型 1】三角形的概念 【例题1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． （1）写出的三个内角； （2）在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． （3）图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中以AE为边的三角形有_______个；在中，所对的边是_______，边OB所对的角是_______． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）[教材习题T1变式]如图所示： （1）图中一共有______个三角形，它们分别是______； （2）和的公共角是______，公共边是______； （3）在中，的对边是______； （4）在和中，是边______和______的对角． 【知识点二】三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180°。 【题型 2】利用三角形内角和求值 【例题1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点D，的平分线交于点F，过点D作 交于点E．已知，，求的度数． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数．（2）若，求的度数． 【知识点三】三角形的分类（按角分） 类型 图示 定义 锐角三角形 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形 直角三角形 有一个内角是直角的三角形是直角三角形 钝角三角形 有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 【题型 3】三角形的分类（按角分） 【例题3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）在中，，比大，求各内角的度数，并判断的形状． 【变式1】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【变式2】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【变式3】（25-26八年级上·山西朔州·期中）（1）如图，求图中的值； （2）按角分类，判断该三角形的形状． 【知识点四】三角形三边关系 三角形任意两边之和大于第三边 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【题型 4】利用三角形三边关系确定三角形构成条件 【例题4】（24-25七年级下·上海青浦·期中）三条线段的长度分别为、、，其中，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）、、只需要满足条件_________即可．（只填一个序号） ①；    ②；   ③． （2）若，，为整数，求构成的三角形的周长． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）以下几组长度（单位：米）的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（   ） A．5，7，2 B．5，9，3 C．5，7，3 D．4，5，10 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）等腰三角形的两边长、满足，则这个三角形的周长为_________． 【变式3】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）已知：a、b、c满足求： （1）a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【题型 5】利用三角形三边关系确定第三边取值范围 【例题5】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题． （1）在中，，，的长为偶数，求的周长； （2）已知的三边长分别为3，7，m，化简． 【变式1】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）一个衣架的示意图如图所示，若，则衣架底部横杆的长可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建漳州·期中）已知a，b，c是三角形的三边，其中，，则c的取值范围是______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·单元复习）在中，，那么边的最大长度应小于多少？最小长度应满足什么条件呢？ 【知识点五】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。如图，线段AD是△ABC的一条角平分线。 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线。如图，线段AE△ABCBC上的中线。 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。如图，线段AF △ABC的BC边上的高。 【题型 6】利用三角形中线、角平分线、高求值 【例题6】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． （1）若是的角平分线，，，分别求和的度数． （2）若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线， （1）求的度数； （2）求的度数； （3）试探究与之间的数量关系（）． 【题型 7】三角形中线、角平分线、高画法 【例题7】（23-24七年级下·上海·阶段检测）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【变式1】（24-25八年级上·广西南宁·阶段检测）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【变式3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 二.综合培优题型精析 【题型 8】利用三角形中线求线段与面积 【例题8】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，． （1）求周长的取值范围； （2）已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【变式1】（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为____________． 【变式3】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【题型 9】三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 【例题9】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，AD，CF相交于点O，且∠BAC＝60°，∠ABC＝74°． （1）求∠COD的度数； （2）若△ABE的面积是3，BC＝4，求高AD的长度． 【变式1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，平分，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【变式3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）若是中线，，，则与的周长差为_____； （2）若，是角平分线，求_____； （3）若，是高，求的度数． 【题型 10】三角形中线、角平分线、高线综合 【例题10】（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）在中，是边上的高． （1）如图1，若是边上的中线，，求的长． （2）如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在中，为边上的中线，．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【变式3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）在中，边的对角是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（25-26八年级上·云南曲靖·期中）如图，直线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北张家口·期中）各个内角度数如图所示，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．（25-26七年级下·重庆·期中）若三角形的三边长分别是，，．则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是角平分线，点E是的中点，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是的中线 D． 7．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 8．（25-26七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点落在的内部，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 12．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，、 的角平分线交于点，已知，则___________ 13．（25-26七年级下·上海徐汇·期末）如图，则的值为__________． 14．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是______． 15．（25-26七年级下·重庆·期中）已知、、分别为的三边长，化简：_________． 16．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 17．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 18．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知一个三角形两条边的长分别为5，2，设第三条边的长为． （1）的取值范围是___________． （2）若第三条边的长是奇数，求这个三角形的周长． 21．（本小题满分10分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上．将沿着DE所在直线折叠并压平，使点A与点N重合． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级下·陕西榆林·期中）如图，将沿射线方向平移2个单位长度到的位置，点的对应点分别为点． （1）若，求的长． （2）若，求的度数． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图1，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． （1）如果，，求和的长； （2）如图2，在图1的基础上连接，若三角形的面积为，求三角形的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 （1）如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 （2）如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 （3）如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $