第六章《立体几何初步》基础检测提升卷2025-2026学年北师大版高一数学必修二

**基本信息** 《立体几何初步》单元复习卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖空间几何体、点线面位置关系等，以折叠问题、线面垂直证明等考查空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直观图中线长、充要条件判断、异面直线所成角|基础巩固，注重空间几何基本概念| |多选|3/18|线面平行判定、面面垂直性质|多角度辨析，培养推理意识| |填空|3/15|正方体点线面关系、鳖臑面积、正四棱台体积|结合文化传承（鳖臑），考查空间计算| |解答|5/77|四棱锥线面垂直证明、存在性探究、体积计算|分层设计，从证明到探究，发展创新意识|

《立体几何初步》基础检测提升卷 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.水平放置的的直观图△A'B'C'如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 2.已知直线，分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线和直线相交”是“平面 和平面 相交”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.在正三棱柱中,若,则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 4.如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在线段上，且平面平面，则（ ） A. B. C. D. 5.在正方体中，直线与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 7.如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 8.如图，已知梯形中，，，为的中点，将沿折起，使点移至点，若平面 平面，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 如图，下列正三棱柱中，若，，分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 11.已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥的侧面积是 C. 圆锥的内切球体积是 D. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.如图，在正方体中，，点为的中点，点在上.若平面，则线段的长度等于________________. 13. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中， 平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，当的面积最大时，_____ 14 .若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为____. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，在四棱锥中， 平面,,. （1） 求证： 平面; （2） 设为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由. 16.如图，在直三棱柱中， ，. （1） 求证： 平面； （2） 若为的中点，求与平面夹角的正弦值. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，是的中点. （1） 求证：平面； （2） 已知 ，求三棱锥的表面积. 18.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点为棱的中点，点在棱上. （1） 试在棱上找一点，使得平面，并加以证明； （2） 求四棱锥的体积. 19.平行四边形满足 ，，是线段的中点，沿将折起至，使得所在平面与平面互相垂直，连接，，如图所示，为线段的中点. （1） 求证：平面； （2） 求与平面夹角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《立体几何初步》基础检测提升卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.水平放置的的直观图△A'B'C'如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 答案：A 解析：由斜二测画法知， 即为直角三角形，其中，，所以， 所以边上的中线的长度为. 2.已知直线，分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线和直线相交”是“平面 和平面 相交”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当直线和直线相交时，平面 和平面 必有公共点，即平面 和平面 相交，充分性成立；当平面 和平面 相交时，直线和直线可能有公共点，也可能没有公共点，必要性不成立.故选A. 3.在正三棱柱中,若,则与所成的角的大小是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：设，延长至，使，连接，则，所以（或其补角）为与的夹角.连接，因为，所以，，，所以，则 ，即与的夹角的大小为 .故选C. 4.如图，在四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在线段上，且平面平面，则（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：在上取点，使得，连接，（图略），易知在平面上， 平面平面， 平面 平面， 平面 平面， . 平面平面，平面 平面，平面 平面， ，， . 5.在正方体中，直线与平面的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：因为，所以直线与平面的夹角等价于直线与平面的夹角.设正方体棱长为，易知 平面，设垂足为，所以即为所求角.由已知可得， 从而，所以. 6.如图，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，平行六面体的各棱长均相等，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 答案：B 解析：连接，因为，分别为，的中点，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，故A正确. 因为 平面， 平面， 平面， 平面， 所以平面，平面，故C，D正确. 连接，在中，，分别为，的中点， 所以，且， 又，所以，且，所以四边形为梯形， 所以与不平行，因为，所以与不平行，故B错误. 7.如图是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：平面， 平面， . 易得，又， 平面，又 平面，， 为二面角的平面角. 在中，， .故选C. 8.如图，已知梯形中，，，为的中点，将沿折起，使点移至点，若平面 平面，则（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析：由，， 可知，，均是边长为1的正三角形，如图所示，取的中点，连接，， 易知，， 平面 平面，平面 平面， 平面， 平面， 又 平面， ，即为等腰直角三角形， .故选D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 如图，下列正三棱柱中，若，，分别为其所在棱的中点，则能得出平面的是（ ） A. B. C. D. 答案：ABD 10. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆上异于，的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 答案：AD 解析：对于A，由题意可知，， 平面， 平面，， ，， 平面， 平面， 又 平面，，A中结论正确； 对于B，若 平面，则，而 平面，则，，重合，与题设矛盾，B中结论错误； 对于C，若平面 平面，如图，作于点D， 平面 平面， 平面， 平面，而 平面，，又，， 平面， 平面，于是平面与平面重合，与题设矛盾，C中结论错误； 对于D， 平面， 平面， 平面 平面，D中结论正确. 故选. 11.已知圆锥底面半径为3，高为4，则（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥的侧面积是 C. 圆锥的内切球体积是 D. 圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 答案：BD 解析：由题意得圆锥体积 ，故A选项错误； 圆锥母线长， 侧面积 ，故B选项正确； 设圆锥内切球半径为，圆锥轴截面如图所示， 则其内切圆为球的大圆， 则， 解得， 故圆锥的内切球体积，C选项错误； 圆锥侧面展开图扇形的圆心角，D选项正确.故选. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.如图，在正方体中，，点为的中点，点在上.若平面，则线段的长度等于________________. 答案： 解析：因为在正方体中，，所以.因为平面， 平面，平面 平面，所以， 又为的中点，所以为的中点， 所以. 13. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中， 平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，当的面积最大时，_____ 答案： 解析:因为 平面， 平面，所以，又，，所以 平面，又 平面，所以， 又，，所以 平面，又， 平面， 所以，，结合条件，，得 平面，因为 平面，所以，所以、均为直角三角形，由已知得， 而，当且仅当时，取“”，此时的面积最大，. 14 .若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为____. 答案: 解析:由题意得，正四棱台上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，又侧棱长为3， 所以正四棱台的高为， 故正四棱台的体积为. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图，在四棱锥中， 平面,,. （1） 求证： 平面; （2） 设为的中点，在棱上是否存在点，使得平面?说明理由. 解析: （1） 证明： 平面， 平面，.又，， 平面. （2） 存在.理由如下：如图，取的中点，连接，，，，分别为，的中点，. 平面， 平面，平面. 16.如图，在直三棱柱中， ，. （1） 求证： 平面； （2） 若为的中点，求与平面夹角的正弦值. 解析: （1） 证明：由题意知四边形是正方形，所以.由 平面得.因为，，所以 平面.因为 平面，所以.又因为，所以 平面. （2） 连接.设，因为 平面，所以是与平面的夹角.在等腰直角三角形中，为斜边的中点，所以.在中，.所以，即与平面夹角的正弦值为. 17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，是的中点. （1） 求证：平面； （2） 已知 ，求三棱锥的表面积. 解析: （1） 证明：如图，连接交于点，连接，则是的中点，因为是的中点，所以，又 平面， 平面，所以平面. （2）因为 ，所以，，又，所以 平面，因为 平面，故，又，，所以 平面，因为 平面.所以， 所以三棱锥的表面积. 18.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于且点为棱的中点，点在棱上. （1） 试在棱上找一点，使得平面，并加以证明； （2） 求四棱锥的体积. 解析: （1）为的中点时，平面.证明如下：如图，连接，平面， 平面，平面 平面，，又 平面， 平面，平面，又为的中点，为的中点，，又 平面， 平面，平面，又，、 平面， 平面平面，又 平面，平面. （2）如图，连接，四棱锥可视为由三棱锥和三棱锥组合而成，易知，，三棱锥的高为，设，则.由三棱锥与三棱锥等高，知体积比为底面积之比，设，则，故，. 19.平行四边形满足 ，，是线段的中点，沿将折起至，使得所在平面与平面互相垂直，连接，，如图所示，为线段的中点. （1） 求证：平面； （2） 求与平面夹角的正切值. 解析: (1)证明：如图，取线段的中点，连接，，是线段的中点，，且.在平行四边形中，为线段的中点，，，则，且，则且，故四边形为平行四边形，.又 平面， 平面，平面. (2)解：取的中点，连接，，如图，则， 平面 平面，且平面 平面， 平面， 平面，则为与平面的夹角，在平行四边形中， ，是线段的中点，设，则有，， ，在中，由余弦定理可得，易知，，即与平面夹角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $