2.3 二次根式 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕二次根式展开，涵盖概念、性质及乘除、加减、混合运算等核心内容。课堂导入从复习平方根、算术平方根入手，通过旧知引出新知，构建知识递进支架，如观察代数式特征形成概念，逐步深化运算学习。 其亮点在于通过观察、探究、验证培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），如概念辨析练习和乘除法则推导。典例精析分层设计，帮助学生用数学语言表达运算，提升应用意识。学生能发展核心素养，教师可获得系统教学资源，提升教学效率。

2.3 二次根式 2.3 二次根式 第1课时 二次根式的概念及乘除 1.了解二次根式的概念。（重点） 2.会进行简单的二次根式的乘法、除法计算。（重点） 学 习 目 标 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2＝a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根。 用 (a≥0)表示。 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0。 复 习 导 入 ①都含有开方运算； ②被开方数都是非负数。 问题 这些式子有什么共同特征？ 观察下列代数式：，，，，(其中b＝24，c＝25). 讲 授 新 课 一般地，把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式。 a 叫做被开方数。 两个必备特征 ①外貌特征：含有“” ②内在特征：被开方数 a≥0 注意：a 可以是数，也可以是式。 新 知 小 结 （1）；（2）；（3）；（4）； （5）(m≤0)；（6）；（7）； （8）；（9）4；（10）. 1.下列各式是二次根式吗? 是 是 是 是 是 不是 不是 不是 不是 不是 针 对 练 习 例1 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 解：由 x-2≥0，得 x≥2。 当x≥2时，在实数范围内有意义. 思考 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）。 典 例 精 析 （2）∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ x+3≥0，即x≥－3。 ∵ 分母不能等于零， ∴ x-1≠0，即 x≠1。 ∴ x≥－3且 x≠1。 求二次根式中字母的取值范围的依据： 1.根号内的式子是非负数； 2.若含有分母，则分母不为零。 解：（1）由题意得x-1＞0，所以x＞1。 典 例 精 析 （1）；（2）；（3）； （4）； （5）； （6）； （7）+(x－2)0；（8）；（9）。 x 取何值时,下列二次根式有意义? x≥1 x≤0 x为全体实数 x>0 x≥0 x≠0 x≥-1且x≠2 x>0 x为全体实数 针 对 练 习 探究（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ ＝ ，×＝ ； ＝ ， × ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ . 6 6 20 20 有何发现？ 思考 二次根式的运算有怎样的规律呢？ 讲 授 新 课 11 ×＝ ，＝ ； ＝ 。 6.480 （2）用计算器计算： 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ （3）用字母表示你发现的猜想。 二次根式的乘法法则和除法法则 ＝（a≥0，b≥0）， ＝（a≥0，b＞0）。 合 作 探 究 例2 计算：（1）×；（2）。 解：(1)＝2； (2)＝＝＝3。 注：能约分的可以先约分。 典 例 精 析 例3 计算: (1)×； (2)×－5； (3)(＋1)2； (4)(＋3)(－3)；(5)(－)×； (6)。 解：(1)原式＝3×2×＝6； (2)原式＝－5＝－5＝6－5＝1； (3)原式＝()2＋2＋12＝5＋2＋1＝6＋2。 典 例 精 析 (4)原式＝()2－32＝13－9＝4； (5)原式＝×－×＝－＝6－1＝5； (6)原式＝＋＝＋＝2＋3＝5。 例3 计算: (1)×； (2)×－5； (3)(＋1)2； (4)(＋3)(－3)；(5)(－)×； (6)。 典 例 精 析 1．下列式子一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． C 2.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。 （1）×（ ）＝4； （2）2×（ ）＝10； （3）＝。 随 堂 练 习 3.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ；（3） ；（4）. 解：(1)∵a－1≥0，∴a≥1. （2）∵2a+3≥0，∴a≥－. （3）∵－a≥0，∴a≤0. （4）∵5－a＞0，∴a＜5. 随 堂 练 习 4.计算： （1）(2－)(＋2)； （2）(－)×。 解:(1) 原式＝(2)2－()2＝8－27＝－19； （2）原式＝×－×＝×－× ＝－＝3－＝－。 随 堂 练 习 定义 二次根式的概念及乘法、除法 二次根式的乘法法则和除法法则 课 堂 总 结 2.3 二次根式 第2课时 二次根式的性质及加法、减法 1.理解最简二次根式的定义并会识别。（重点） 2.会进行二次根式的加减运算。（难点） 学 习 目 标 还记得吗? （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）。 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）。 等号左右互换 讲 授 新 课 22 例1 化简：（1）；（2）；（3） 解：(1)×＝9×8＝72； (2)＝5×＝5； (3)＝＝。 被开方数中都不含分母，也不含能开的尽方的因数。 ☀观察计算结果，发现了什么？ 典 例 精 析 最简二次根式： 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。 新 知 小 结 例2 化简：(1); (2); (3)。 解:(1)＝＝×＝5； 5是哪个数 的算术平方根？ (2)＝＝＝； (3) ＝＝ 。 典 例 精 析 ① 因为＝被开方数含有相同的因数，所以不是最简的二次根式； 探究 （1）你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？ ② ＝被开方数不含有相同的因数，所以是最简的二次根式。 讲 授 新 课 探究（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？ ① 把被开方数分解因式(或因数) ； ② 将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正平方根代替后移到根号外面； ③ 将被开方数中的分母化去； ④ 被开方数是带分数或小数时要化成假分数。 讲 授 新 课 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根式性质 分配律 整式加 减法则 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则。 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题。 讲 授 新 课 例3 计算: （1）＋；（2）－；（3）(＋)×。 (1)原式＝＋＝×＋＝4＋＝5； (2)原式＝－＝＝； (3)原式＝＋＝＋ ＝＋3＝。 ☀归纳 以前学习过的实数的运算法则、运算律仍然适用。 讲 授 新 课 思考 ＋能不能再进行计算?为什么? 不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并。 ☀归纳 1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”； 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并。 讲 授 新 课 1.下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． C 2. 与最简二次根式 能合并，则 m＝ 。 1 3.计算：（1）－； （2）2＋。 解:（1）原式 ＝4－2 ＝ 2 ； （2）原式 ＝2×2＋3× ＝4＋12 ＝16。 随 堂 练 习 最简二次根式 二次根式的性质及加法、减法 二次根式的加法、减法 课 堂 总 结 2.3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 1.掌握二次根式的混合运算的运算法则。（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。（难点） 学 习 目 标 已知：矩形的长是＋2，宽是，求它的面积。 你能求出这个矩形的面积吗？ 新 课 导 入 （1）请你计算：＋ 。 小明是这样计算的： ＋ ＝ ＋ ＝＋ ＝。 分子分母同乘的目的是什么？ 把分母中的根号去掉，使其变成最简二次根式。 讲 授 新 课 （2）计算－，你有哪些方法？ 解：（方法一） 原式＝－ ＝2－ ＝。 解：（方法二） 原式＝－ ＝2－ ＝。 讲 授 新 课 例1 计算： （1）－； （2） －＋； （3）(－； （4）＋－。 答案:（1）；（2）；（3）；（4）－＋。 对于第(3)题，你有几 种解法？试一试，看看 结果是否一致. 典 例 精 析 38 例1 解析： （1）－＝－＝－＝； （2） －＋＝－＋ ＝－ ＝； 典 例 精 析 39 (解法2)原式 ＝(－)× ＝(－)× ＝× ＝ ＝ ＝； （3）(解法1)(－ ＝÷－÷ ＝－ ＝－＝－ ＝－ ＝； 典 例 精 析 40 思考：还可以继续化简吗？为什么？ ☀注意 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式. （4）＋－ ＝＋－ ＝＋－ ＝－＋ 。 典 例 精 析 原式＝(－)· ＝－ ＝－2 探究 化简(－)· ，其中a＝3，b＝2.你是怎么做的？ 解法一： 把a＝3，b＝2代入代数式中， 解法二： 原式＝·－· ＝－ 把a＝3，b＝2代入代数式中， 原式＝－2。 先代入后化简 先化简后代入 哪种简便？ 讲 授 新 课 42 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 新 知 小 结 探究 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ 解:(1)由勾股定理，得 CD＝＝； BC＝＝=2； AB＝＝5； ∴梯形 ABCD 的周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝5＋2＋＋6＝6＋2＋6。 讲 授 新 课 探究 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ 解:(2)方法一：用整体的思想。 可用大矩形减去三个多出的三角形， 面积为 5×7－×1×1－×2×4－×5×5 ＝35－－4－＝18。 讲 授 新 课 (2)方法二：用分割法。 可以过 C 点作 AB 的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形， 面积为 6×1＋×6×4 ＝6＋12＝18。 探究 如图，小正方形的边长为 1。 （1）求梯形 ABCD 的周长。 （2）试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？ 讲 授 新 课 回忆 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a ＋ b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a ＋ b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab ＋ b2 讲 授 新 课 例2 计算： （1）(＋)(－)； （2）(＋)2。 答案：(1) 2；(2) 7＋。 分析 （1）(＋)(－) ()2－()2 （2）()2 ()2＋2××2＋22 平方差公式 (a + b)(a - b) = a2 - b2 完全平方公式 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 典 例 精 析 1.下列对于二次根式的计算正确的是（ ） A. ＋＝ B.－＝2 C. ÷＝2 D.＝ C 2. 若3＋＝5 ，则m的值为（ ） A. 56 B. 34 C. 28 D. 14 C 3. 已知 a＝＋1，b＝ －1，则 a2＋b2 的值为（ ） A. B. 6 C. 3－ D. 3＋ B 随 堂 练 习 二次根式的混合运算 二次根式混合运算 二次根式的运算的应用 课 堂 总 结 $