平面截球法求解三棱锥的外接球 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三棱锥外接球”核心考点，依据高考评价体系明确空间几何中球的表面积计算考查要求，梳理平面截球法的适用范围与“找外心、作垂线、构直角三角形”解题步骤，分析该考点在立体几何解答题中的高频考查权重，归纳棱长已知型等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“方法解析+例题实战”的备考设计，如通过三棱锥棱长求外接球表面积例题，详解平面截球法的应用过程，培养学生的空间观念和推理能力。设“躬行实践”环节强化模型观念，帮助学生掌握构造直角三角形求半径的得分技巧，教师可据此系统指导学生突破立体几何难点，提升高考冲刺效率。

三棱锥的外接球之平面截球法 1、 平面截球法介绍 用一个平面去截球，截面是圆面，其中大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心。 当截面为小圆时，设球心到小截面的距离为 ， 球的半径为 ，截面圆的半径为 ，则有 . 2、 例题分析 例1. 已知在三棱锥中， ，求该三棱锥外接球的表面积。A C B P 解：解：如图所示 A C B P Q O O D D P 基本步骤： 1、寻找底面三角形 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上，利用轴截面计算出球心的位置。 三、躬行实践 D O P A B C 教学目的：加深学生对平面截球法的理解，提高平面截球法的应用能力，也是对平面截球法解决三棱锥的外接球问题的一个补充。 四、抽象概括 1、适用范围： 适合所有的三棱锥外接球问题 2、解题思路： 第一步：找到所求三棱锥底面三角形的外心 第二步：过底面三角形外心作垂直于底面的垂线，球心在垂线上，定球心 第三步：连接球心和三棱锥的顶点，构造直角三角形，求解外接球半径 3、优缺点： 优点：适用范围广 缺点：作图复杂，对空间构图能力要求比较高 学科网（北京）股份有限公司 $三棱锥外接球之平面截球法 授课老师：樊亚凤 01 新知探究 02 躬行实践 目录 03 抽象概括 01 新知探究 目录 什么是平面截球法？ 用一个平面去截球，截面是圆面 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心 新知探究 A 截面圆与球心所在平面圆之间有什么关系？ 设球心到小截面的距离为 ， 球的半径为 ， 截面圆的半径为 ，则有 . 球心和截面圆心的连线垂直于截面 新知探究 例:已知在三棱锥P-ABC中， 求该三棱锥外接球的表面积。 A C B P 新知探究 A C B P D Q 1、寻找底面 PBC的外心； 2、过底面的外心作底面的垂线； 3、外接球的球心必在该垂线上， 利用轴截面计算出球心的位置。 基本步骤： A D P Q 2 R R 1 1 2 O O 新知探究 01 新知探究 目录 01 新知探究 02 躬行实践 目录 P A B C O D 躬行实践 P A B C O D 躬行实践 01 新知探究 02 躬行实践 目录 01 新知探究 02 躬行实践 目录 03 抽象概括 抽象概括 适用范围 解题步骤 优缺点 抽象概括 适用范围： 适合所有的三棱锥外接球问题 抽象概括 第一步：找到所求三棱锥底面三角形的外心 解题步骤： 抽象概括 第一步：找到所求三棱锥底面三角形的外心 第二步：过底面三角形外心作垂直于底面的垂线，球心在垂线上，定球心 解题步骤： 抽象概括 第一步：给所求三棱锥建立合适的空间直角坐标系 第二步：过底面三角形外心作垂直于底面的垂线，球心在垂线上，定球心 第三步：连接球心和三棱锥的顶点，构造直角三角形，求解外接球半径 解题步骤： 抽象概括 优缺点： 优点：适用范围广 缺点：作图复杂，对空间构图能力要求比较高 你学会了吗 反思总结 反思总结 知识层面 反思总结 适用范围 解题思路 优缺点 补形法 正四面体、有两对以上的垂直关系 1：按照补形法要求放置在长方体或正方体中 2：求解长、正方体体对角线即三棱锥外接球直径 优：直观明确 缺：可适用范围小 建系法 所有求解外接球的三棱锥 1：建立空间直角坐标系，求坐标，列方程组 2：解方程组，求解球心和半径 优：逻辑思维简单 缺：建系，求坐标困难 平面截球法 所有求解外接球的三棱锥 1：作底面三角形外心，过外心作垂直于底面的垂线，定球心 2:连接球心，截面圆圆心和三棱锥顶点，构造直角三角形解半径 优：适用后范围广 缺：空间构图能力要求较高 知识层面 数学思想 等价转化 数形结合 反思总结 知识层面 数学思想 核心素养 直观想象 逻辑推理 反思总结 智从疑得，乐自苦生 授课老师：樊亚凤 $同学们，大家好，欢迎来到三棱锥外接球之平面截球法。学习平面截球法我们将从新知探究、弓形实践、抽象概括三个环节来展开。首先我们来看薪资探究。一什么是平面截球？法平面截球法是用三棱锥底面三角形所在平面去截球，截面为圆面，分为大圆和小圆，如图所示，此种解法为大圆。第二种图示为小圆，大圆截面过球心半径等于球半径，小圆截面不过球心2、若截面为小截面时，小截面圆与球心所在平面圆之间有什么关系？如图所示，我们可以设球心到小截面距离为D球的半径为大R截面圆的半径为小R则有大R平方等于D方加小R方。再观察图形球心和截面圆心的连线垂直于截面。现在让我们带着平面节选法的内容来进行例题的尝试。已知在三棱锥PABC中，PA垂直PB，PB垂直PC，PC垂直PA且PA等于二倍，PB等于二倍，PC等于2，求该三棱锥外接球的表面积。第一步，我们寻找底面三角形PBC的外心。根据豫B篇的学习，我们知道当三角形为直角三角形时，底面三角形外心为斜边的中点，如图所示为D第二步，过底面的外心做底面的垂线。根据刚才的分析，我们知道球心在该垂线上，我们记其为O。第三步，利用轴截面计算出球心的位置。我们将截面APD截面从空间中摘取出来。如图所示，我们可以发现OP长为球的半径，OD长为AP长的一半为一，PD长为底面三角形的截面圆半径为二分之根号2。因此利用勾股定理，我们可以迅速求出三棱锥外接球的半径R等于二分之根号6，再利用公式计算。回答例题所求问题就可以。这就是我们讲的平面截球法。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。现在让我们带着平面截球法的内容进入躬行实践。三棱锥PABC中PD垂直平面ABCAB垂直于BCPD等于根号三倍的DA等于DB等于DC等于1，求三棱锥PABC的外接球体积。同理我们可以先做三角形abc的外接圆圆心。因为三角形ABC为直角三角形，D为其AC的中点。所以根据预备篇的学习，我们知道D为三角形ABC的外接圆圆心。再根据题目分析，我们可以发现DD长不等于DA长，因此D不是外接球的球心，如图所示。我们可以找到PD是过D点垂直于底面的垂线，因此球心就在PD上或PD的延长线上。我们设其为O连接OB在三角形OBD中，利用勾股定理，我们就可以求出外接球的体积了。现在让我们来看具体的解题过程。因为三棱锥PABC中DP等于根号3，DP大于DA所以三角形ABC面不是球心所在平面，并且O点在PD上，在线段PD上取点O为外接球球心，R为外接球半径连接OB设PO等于OB等于大R在直角三角形ODB中有OB的平方等于OD的平方加DB的平方，即R平方等于根号3减R的完全平方。再加一迅速求解，我们可以得到R等于3分之2倍根号3，所以该三棱锥外接球表面积S等于3分之16派。这就是我们平面截球法的所有内容，现在让我们将其进行抽象概括。我们从适用范围、解题步骤和优缺点三个维度进行抽象概括。一适用范围平面截球法适合所有的三棱锥外接球问题，实际操作时会存在作图困难的问题。2、解题步骤，第一步，找到所求三棱锥底面三角形的外心。第二步，过底面三角形外心作垂直于底面的垂线球心，在垂线上定球心。第三步，连接球芯和3棱锥的顶点，构造直角三角形，求解外接球半径。3、优缺点优点，适用范围广。缺点，作图复杂，对空间构图能力要求比较高。以上就是我们平面截球法的所有内容，你学会了吗？同学们，至此为止，我们本次系列微课的学习已进入了尾声。反思使人进步，总结才能成长。现在让我们一起对本次系列微课的学习进行反思总结。首先我们来看知识层面。我们学习了三种三棱锥外接球的常用解法，补形法、间隙法和平面截球法，并对每一种方法从适用范围、解题思路、优缺点三个维度进行了简单的抽象概括。大家在以后的学习过程当中，可以根据题型选择合适的方法高效解题。2、数学思想，本次学习主要体现了数形结合和等价转换的数学思想。三核心素养，本次系列微课的学习主要培养大家直观想象和逻辑推理的核心素养。以上就是我们本次系列微课的所有内容，同学们志从怡得，乐自浦深。让我们在以后的学习和生活当中，不仅有对新鲜事物的好奇心，更有勇于探索的积极性，让我们一起享受学习过后豁然开朗的快乐吧，再见。