23.2 一次函数的图象和性质（第3课时）教案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

23.2　一次函数的图象和性质（第3课时） 教学目标 　　1．会运用待定系数法确定一次函数的解析式． 　　2．利用一次函数的解析式、图象和性质综合解决实际问题，发展模型观念和应用意识． 教学重点 　　运用待定系数法求一次函数的解析式． 教学难点 灵活运用一次函数的知识解决实际问题． 教学过程 新课导入 【知识回顾】1．一次函数的一般形式：y＝kx＋b（k≠0），它的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b． 2．一次函数图象的画法：（1）两点法．两点确定一条直线． （2）平移法．一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可以由正比例函数y＝kx平移｜b｜个单位长度得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）． 3．一次函数的性质：一次函数y＝kx＋b（k≠0）具有如下性质，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 【问题】我们知道，已知一次函数的解析式，可以选取满足解析式的两个点，从而确定函数图象．那么反过来，给出一次函数图象上的两个点，它的解析式是否就确定了呢？ 【师生活动】教师组织学生讨论，师生共同明确：因为一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以已知一次函数图象上的两个点，对应的直线就确定了，函数的解析式也就确定了． 【设计意图】通过复习旧知，建立新旧知识的联系．以启发性问题引导学生思考，为后续学习待定系数法求函数解析式作铺垫． 新知探究 【问题1】已知一次函数的图象过点(2，－4)与(－3，11)，求这个一次函数的解析式． 【师生活动】教师引导学生明确一次函数的一般形式是y＝kx＋b（k≠0），求解析式的关键是求出k和b的值．学生组内讨论如何求k和b，小组代表发言，教师总结完善：因为图象过(2，－4)与(－3，11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式，可以列出关于k和b的二元一次方程组，进而求出k和b．学生在学习任务单上进行解答，教师板书示范． 【答案】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）． 因为y＝kx＋b的图象过点(2，－4)与(－3，11)， 所以 解方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为y＝－3x＋2． 【新知】像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法． 由于一次函数y＝kx＋b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）．解方程组后就能具体写出一次函数的解析式． 师生共同总结已知一次函数图象上两个点的坐标，求函数解析式的四个步骤． ①设：设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）； ②列：根据点的坐标列出关于k和b的二元一次方程组； ③解：解方程组，求出k和b的值； ④代：将k和b的值代入y＝kx＋b中，写出函数解析式． 【设计意图】通过具体问题，引导学生经历用待定系数法求一次函数解析式的完整过程，提炼通用步骤，体会方程思想． 【追问1】已知一次函数图象上的一个点，能否确定函数的解析式？ 【师生活动】教师组织学生交流，师生共同明确：经过一个点可以画出无数条直线，如点（1，3）既在直线y＝2x＋1上，又在直线y＝3x上，已知一次函数图象上的一个点，无法确定函数的解析式．教师强调：确定一次函数的解析式需要两个独立条件． 【追问2】经过学习，我们知道：给出一次函数的解析式，可以选取两个点，画出对应的图象；反过来，给出一次函数图象上的两个点，也能求出k和b，写出解析式．你能总结一次函数的解析式与图象之间的关系吗？ 【师生活动】教师先引导学生回顾“由解析式画图象”的过程：给定一次函数y＝kx＋b，选取两个点，描点画出直线；再回顾“由图象上的点求解析式”的过程：已知直线上的两个点，通过待定系数法列方程组，解出k和b，得到解析式．教师顺势点明：这两种过程恰好互逆，而实现转化的关键工具就是点的坐标．可以用框图直观呈现解析式与图象的这种关系． 【设计意图】通过追问与对比，让学生明确确定一次函数解析式所需条件，感悟解析式与图象相互转化的关系，渗透数形结合思想，培养学生从多个角度思考问题的能力． 例题精讲 【例】一位记者乘坐汽车赴360 km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路．汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y （单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示． （1）求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式； （2）记者出发后多长时间到达采访地？ 【师生活动】对于第（1）题，教师首先引导学生观察图象，发现速度不是固定不变的，前2小时图象较陡，说明汽车行驶速度较快；2小时后图象变缓，说明汽车行驶速度较慢．因此，求函数解析式时，应对这两个时段分别讨论．接着师生共同明确各段图象经过的点：第一段过原点与点A（2，180）；第二段过点A（2，180）和点B（3.5，270）．学生在学习任务单上尝试解答，教师巡视指导，并板书示范完整的解题过程，强调自变量的取值范围． 对于第（2）题，学生根据y＝360判断出x＞2，代入第二段解析式求解． 解：（1）当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y＝k1x．因为它的图象过点A（2，180），所以180＝2k1，解得k1＝90． 因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y＝90x． 当x＞2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分，可以求出直线AB所对应的一次函数的解析式． 设这个一次函数的解析式为y＝k2x＋b2，把点A，B的坐标分别代入y＝k2x＋b2，得 解这个方程组，得 因此，当x＞2时，函数的解析式为y＝60x＋60． 综上，当0≤x≤2时，y＝90x；当x＞2时，y＝60x＋60． （2）由图象可知，当y＝360时，x＞2． 由360＝60x＋60，解得x＝5． 因此，记者在出发5 h后到达采访地． 【追问】由（2）的解答，你能进一步确定（1）中函数的自变量的取值范围吗？ 【师生活动】教师引导学生结合第（2）题的结果，确定自变量的取值范围为0≤x≤5．即当0≤x≤2时，y＝90x；当2＜x≤5时，y＝60x＋60． 【设计意图】结合实际问题情境，引导学生学会分段分析一次函数的图象、用待定系数法求函数解析式并确定自变量的取值范围，提升学生运用一次函数知识解决实际问题的能力，渗透模型观念和应用意识． 课堂练习 1．一个一次函数，当自变量x＝1时，函数值y＝5；当x＝－1时，函数值y＝1．求这个一次函数的解析式． 【师生活动】学生在学习任务单上完成练习，教师讲评． 【答案】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b． 由题意，得 解这个方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为y＝2x＋3． 2．一个一次函数的图象经过点（9，0）和（24，20），求这个一次函数的解析式． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师讲评． 【答案】解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b． 因为y＝kx＋b的图象过点（9，0）和（24，20），所以 解这个方程组，得 因此，这个一次函数的解析式为． 3．一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票．他所托运的行李的费用y（单位：元）与行李的质量x（单位：kg）的关系如图所示．这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？ 【师生活动】学生在学习任务单上完成解答，教师讲评． 【答案】解：设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b． 由图知，函数图象过点（25，90），（30，180），代入得 解这个方程组，得 所以y＝18x－360． 当y＝0时，18x－360＝0，解得x＝20． 所以这位旅客可免费托运的行李的最大质量为20 kg． 【设计意图】通过课堂练习，帮助学生巩固用待定系数法求一次函数解析式的基本步骤，培养学生从图象中获取信息、建立函数模型并解决问题的能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．如何用待定系数法求一次函数的解析式？ 2．一次函数的解析式和图象通过什么进行转化？ 【思维导图】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第124页习题23.2第4，5，9题． 学科网（北京）股份有限公司 $