精品解析：山东省青岛中学（五四制）2022-2023学年下学期八年级开学数学试卷

保密★启用前 青岛中学2022—2023学年度第二学期开学摸底考试 八年级数学试题 本试题卷共3页，共24题，考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名填写在试题卷和答题卡上． 2．作答要求：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效． ★★★★★★开始尽情地享受数学之美吧！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图中表示一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）图象的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ） A. ①与② B. ①与③ C. ③与④ D. ②与③ 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 8. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一次函数的图象过点，则和的大小关系是_________． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 13. 如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______． 14. 已知，则________． 15. 已知一段公路在斜坡上，坡度，若汽车在斜坡上行驶米，则汽车升高______米． 16. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 17. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 18. 如图，数轴上放置的正方形的周长为8个单位，它的两个顶点A，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为7．如此继续下去，翻滚n周后（n表示正整数），用含n的式子表示点A落在数轴上所对应的数为__________． 三、解答题（6小题，共66分） 19. 解方程和计算： （1）解方程： （2）解方程： （3）解方程： （4）计算： （5）计算： 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出沿x轴方向，向左平移7个单位长度后得到的． （2）以原点O为位似中心，在y轴另一侧画出，使缩小为的． （3）写出和的坐标（______）（______）． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 22. 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据． （1）若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米； （2）小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？ 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 24. 观察图形，解决问题： （1）如图①，已知正方形，E，F，G，H分别是，，，边上的点，线段、交于点O，，求证：； （2）如图②，若将（1）中“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段与线段的关系，并加以说明； （3）如图③，若将（1）中“正方形”改为“矩形”，且，其他条件不变，探索线段与线段的关系，并加以说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 青岛中学2022—2023学年度第二学期开学摸底考试 八年级数学试题 本试题卷共3页，共24题，考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名填写在试题卷和答题卡上． 2．作答要求：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效． ★★★★★★开始尽情地享受数学之美吧！ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 2. 如图中表示一次函数与正比例函数（a，b是常数，且）图象的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与正比例函数图象综合判断，分当，当，两种情况分别确定一次函数和正比例函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限， 当， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限， 故选：A． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，进行判断即可得． 【详解】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法错误，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直平分，选项说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等，选项说法正确，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解题的关键是掌握这些性质． 4. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形利用正切函数求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键． 5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ） A. ①与② B. ①与③ C. ③与④ D. ②与③ 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可． 【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，， ②号三角形的三边长分别为：，，3， ③号三角形的三边长分别为：2，，， ④号三角形的三边长分别为：，3，， ， ①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确 故选：B． 【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件分别求出a，b，c，d，再根据一次函数的图像性质判断即可． 【详解】∵， ∴关于原点对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为， ∴，，，， ∴，， ∴一次函数为， ∴一次函数图像经过一、三、四象限， ∴不经过第二象限； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中，对称点的坐标特征和一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，四边形是平行四边形，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点F；分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；连结并延长，交于点E．连结，若，则的长为（　　） A. 5 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O． 由作图可知：平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴ ∴ 在中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质及菱形的判定是解题的关键． 8. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本210件，若全组有名同学，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，即可列出方程． 【详解】解：设全组有名同学，每位同学将送出件， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点纵坐标分别为1、3， ∴， ∴， 解得：， ∴点的纵坐标为6，故C正确． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键． 10. 如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决． 【详解】解：作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形，，，， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴点到的距离等于． 故选：D． 【点睛】本题考查解矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数等知识点．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一次函数的图象过点，则和的大小关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵一次函数的图象过点，且， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 12. 若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程需要满足两个条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出条件即可求解出的值． 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 13. 如图，l1l2l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=5，DE=2，AC=15，则EF=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， 又∵AB=5，DE=2，AC=15， ∴BC=10， ∴ ∴EF=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容，找准对应关系是解题的关键． 14. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比的性质解决问题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例线段，合比的性质等知识，解题的关键是掌握合比的性质，属于中考常考题型． 15. 已知一段公路在斜坡上，坡度，若汽车在斜坡上行驶米，则汽车升高______米． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出图形，由，，解直角三角形即可求出升高的高度． 【详解】解：如图，在中，，设， ∴， ∵公路坡度为，汽车在斜坡上行驶米， ∴，， ∴， 在，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴汽车升高米， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用及坡角的知识，考查了三角函数，勾股定理和一元二次方程，解题的关键理解和掌握坡角的意义． 16. 若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据根的定义得到关于的关系式，再将所求代数式变形后整体代入计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得， 又， ∴将代入得：原式． 17. 如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，则等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式可知，直接利用菱形的性质得出，，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如下图所示，连接 菱形的周长为， ， 菱形的面积为， ， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 18. 如图，数轴上放置的正方形的周长为8个单位，它的两个顶点A，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为7．如此继续下去，翻滚n周后（n表示正整数），用含n的式子表示点A落在数轴上所对应的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】用加上正方形的周长的n倍即可． 【详解】解：∵正方形的周长为8个单位， ∴当正方形翻滚n周后，点A落在数轴上所对应的数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上的数字规律，找到循环规律，是解题的关键． 三、解答题（6小题，共66分） 19. 解方程和计算： （1）解方程： （2）解方程： （3）解方程： （4）计算： （5）计算： 【答案】（1）， （2）， （3）， （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 解：， 开方得， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得：，； 【小问3详解】 解：， 展开整理得， 因式分解得， 则或， 解得：，； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出沿x轴方向，向左平移7个单位长度后得到的． （2）以原点O为位似中心，在y轴另一侧画出，使缩小为的． （3）写出和的坐标（______）（______）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）将、、三点分别向左平移7个单位即可得到； （2）连接、，分别取、、的中点即可画出； （3）根据图中点的坐标即可得出答案． 【小问1详解】 如图所示，即为所求， 【小问2详解】 以原点O为位似中心，连接、，分别取、、的中点即可在y轴另一侧画出，如图， 【小问3详解】 由图可知：，． 【点睛】本题考查了平移变换以及位似变换等知识，正确得出对应点位置是解题的关键． 21. 关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果，是方程的两个解，令，求的最大值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出x1＋x2＝4，x1•x2＝k＋2，结合w＝x1x22＋x12x2＋k，由增减性可求w的最大值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 的取值范围为． 【小问2详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个解， ，， ， 时，的最大值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w＝x1x22＋x12x2＋k，根据增减性可求w的最大值． 22. 某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据． （1）若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米； （2）小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？ 【答案】（1）3，2 （2）离B地（或离D地），理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，，再根据相似三角形的性质进行求解即可； （2）由（1）得，，，设，可求出，求出x的值，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ，点F是BD的中点， ， ， 解得； ， ， ，点F是BD的中点， ， ， 解得； 故答案为：3；2； 【小问2详解】 小明站在离B点米处的位置，理由如下： 由（1）得，，， ，设， ， ， ， ， 解得， ， 所以，小明站在离B点米处的位置． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式． （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式； （2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案． 【小问1详解】 依题意得： ∴y与x的函数关系式为：； 【小问2详解】 设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元 依题意得： 整理得： 即 解得， ∵每件盈利不少于25元 ∴ 解得： ∴ 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程． 24. 观察图形，解决问题： （1）如图①，已知正方形，E，F，G，H分别是，，，边上的点，线段、交于点O，，求证：； （2）如图②，若将（1）中“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段与线段的关系，并加以说明； （3）如图③，若将（1）中“正方形”改为“矩形”，且，其他条件不变，探索线段与线段的关系，并加以说明． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）可通过构建全等三角形来求解．过点F作于M，过点G作于N，那么，，而和都是等角的余角，证明，可得出． （2）如图2，过点F作于M，过点G作于N，设、交于R、、交于Q， 同理证明即可； （3）如图3，过点F作于M，过点G作于N，设、交于R、、交于Q，同理可得：，，证明，从而可得结论． ． 【小问1详解】 证明：如图1，过点F作于M，过点G作于N， 则，且，设它们的垂足为Q，设、交于R ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【小问2详解】 如图2，过点F作于M，过点G作于N，设、交于R、、交于Q， 在四边形中，， ∴． ∵菱形，则，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴由菱形的面积公式可得：． ∴， ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 如图3，过点F作于M，过点G作于N，设、交于R、、交于Q， 同理可得：，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，矩形，正方形，菱形的性质，作出合适的辅助线构建出全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $