第18讲 正多边形与圆（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第18讲 正多边形与圆（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 正多边形与圆 同学们，数学往往以极致的对称与和谐之美，存在于我们周围的世界中。请大家观察这样几幅画面：晶莹剔透的雪花，往往呈现出完美的正六边形结构；蜂巢内部紧密排列的巢室，也是由一个个正六边形无缝拼接而成；而当我们仰望古代宫殿华丽的藻井，或是观察现代工业中标准的螺母横截面时，同样能发现正多边形的身影。 大家有没有发现，这些极致对称的正多边形，仿佛天生就与“圆”有着某种内在的、精确的“契约”？它们看起来就像是完美地“镶嵌”在一个无形的圆框里。 在数学中，我们把所有顶点都在同一个圆上的正多边形，称为“圆的内接正多边形”。其实，早在魏晋时期，我国伟大的数学家刘徽就深刻洞察到了正多边形与圆的这种紧密联系，并首创了著名的“割圆术”。他提出“割之弥细，所失弥少”，通过不断增加圆内接正多边形的边数，让多边形的周长无限逼近圆的周长，从而巧妙地计算出了圆周率。这不仅展现了古人的大智慧，更蕴含着深刻的“极限思想”。 那么，给定一个圆，我们如何能像最伟大的建筑师和工程师那样，精准地在圆内“雕刻”出这些正多边形？正多边形的边长、中心角与圆的半径之间，又隐藏着怎样奇妙的定量关系？今天，就让我们化身几何探秘者，一起揭开“正多边形与圆”的神秘面纱！ 【知识点1 正多边形及有关概念】 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 【知识点2 正多边形的有关计算】 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 【知识点3 正多边形的画法】 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 求正多边形中心角】 【例1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的中心角，掌握知识点是解题的关键． 根据多边形的中心角的定义求解即可． 【详解】解：该正十二边形的中心角为． 故选A． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西新余·期末）太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了正多边形中心角的计算，熟练掌握正多边形中心角的计算公式（其中为正多边形的边数）是解题的关键．正多边形的中心角是指以正多边形的中心为顶点，将周角平均分成与边数相同份数的角．因此，求正八边形的中心角度数，只需用周角除以边数8即可． 【详解】解：中心角度数， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形与圆的关系，圆心角的计算，掌握圆心角的计算公式是解题关键． 利用正多边形内接于圆时顶点等分圆周的性质，用除以边数，即可求得圆心角 的度数． 【详解】解：正八边形内接于， 其个顶点将圆等分， 整个圆周角为， 每条边所对的圆心角为． 故答案为：． 【题型2 由中心角求边数】 【例2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【答案】 【分析】本题考查圆内接正多边形的中心角性质，掌握“正多边形的边数=单个中心角的度数”是解题关键． 圆内接正多边形的每个中心角相等，且所有中心角之和为，据此进行计算． 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为，且每个中心角相等． 已知该正多边形的一个中心角，设正多边形的边数为，则： ． 故答案为：． 【变式2-2】（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， ∴， ∴该正多边形的边数为10， 故选：C． 【变式2-3】如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】连接OB，OC，OA，根据圆内接正三角形，正方形可求出，的度数，进而可求的度数，利用，即可求得答案． 【详解】如图：连接OB，OC，OA， 为圆内接正三角形 四边形ACDF为圆内接正方形 若以BC为边的圆内接正边形，则有 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接正多边形中心角的求法，熟练掌握圆内接正多边形的中心角等于（为正多边形的边数）是解题关键． 【题型3 正多边形内角计算】 【例3】（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正五边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，正六边形内接于，连接、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边对等角，先根据正六边形的性质得到，，即可得到答案． 【详解】解：正六边形， ， 正六边形内接于， ， ． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，根据圆内接正多边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：连接OA、OB，如图： ∵是正八边形的外接圆， ∴， 由圆周角定理得：． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，正五边形内接于，点是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算、圆周角定理，关键是圆周角定理的应用；求出的度数，则可求． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B ． 【题型4 求正多边形边心距】 【例4】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出度数，得到为的等边三角形，三线合一求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， 由题意，得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴； 故选B． 【变式4-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若正方形的外接圆半径是，则其边心距为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形的基本概念，正方形的性质与特殊直角三角形，理解正方形的半径是解题关键． 明确正方形的半径为外接圆半径，然后利用它与边心距、半边长构成的等腰直角三角形，通过勾股定理即可算出边心距． 【详解】解：已知正方形的外接圆半径是，则其外接圆半径为，记为， 边心距为中心到边的距离，记为， 在正方形中，其外接圆半径和边心距、半边长构成等腰直角三角形，斜边为， 两直角边均为， ，即， 解得，即边心距为1． 故选：． 【变式4-2】如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】正△ABC的边长为，边心距为1，周长为，面积为 【分析】如图：连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距, 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是；的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 【变式4-3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 【答案】（1）见解析；（2）等边△ABC的边心距1． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，结合∠APC＝∠CPB＝60°可得∠BAC＝∠ABC＝60°，即可判断△ABC的形状； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，然后根据直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：在⊙O中， ∵∠BAC与∠CPB是 对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）过O作OD⊥BC于D，连接OB， 则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°， ∵OB＝2， ∴OD＝1， ∴等边△ABC的边心距为1． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，作出辅助线、构造直角三角形以及证明△ABC是等边三角形是解答本题的关键． 【题型5 正多边形边长与半径】 【例5】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为_________． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形的中心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正多边形的中心角的定义是解题关键．连接，则，再求出正六边形的中心角，然后根据等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 连接， ∵的半径为6， ∴， ∵正六边形内接于， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为6， 故答案为：6． 【变式5-1】如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是______． 【答案】 【分析】连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，证明△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质，得出，根据勾股定理得出即可． 【详解】解：连接OB、OC，过点O作OM⊥BC，交BC于点M，如图所示： ∵六边形ABCDEF为圆内接正六边形， ∴， ∵OB=OC， 为等边三角形， ∴， ， ∴， ， 即弦心距是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式5-2】如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【分析】连接OF，根据中心角的定义求出∠AOE=120°，△AOF是等边三角形，设该正六边形的边长为r，根据弧长公式得到关于r的方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接OF，则∠AOF=∠EOF==60°，AF=OA=OF， ∴∠AOE=2∠AOF=120°， 设该正六边形的边长为r， 则 ， ∴r=12． ∴AF=12， 故选：D 【点睛】本题考查正多边形中心角、弧长公式等知识，添加辅助线，求出∠AOE是解题关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，正六边形的内切圆半径为3，则它的外接圆半径为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外接圆与内切圆，勾股定理，含角的直角三角形的性质． 连接，，过点O作于点M，则正六边形的内切圆与边相切于点M，从而得到，，进而有，在中，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，，过点O作于点M， ∴正六边形的内切圆与边相切于点M， ∵正六边形的内切圆半径为3， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴正六边形的外接圆半径为． 故选：C 【题型6 正多边形周长与面积】 【例6】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，设圆的半径为，分别求出正三角形，正方形的边长，进而求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设等圆和的半径为，如图，作于点C，连接，连接， ∵正三角形和正方形分别内接于等圆和， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【变式6-1】如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为________． 【答案】 【分析】本题考查多边形的周长，解题的关键是根据作图可得多边形的边长等于圆的半径．据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴ 根据作图过程可得：， ∴这个多边形的周长为：， 即这个多边形的周长为． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，矩形的判定与性质等知识，连接、、、、，先判断六边形是的内接正六边形，则，根据中心角定义求出，则可求出，故A、O、E三点共线，即是的直径，同理可得是的直径，根据直径所对的圆周角是直角以及矩形的判定可得出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：连接、、、、，如图所示： 由题意知：A、B、C、E、F、G把分成六等分， ∴六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∴A、O、E三点共线，即是的直径， ∴， 同理是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为， 故答案为：． 【变式6-3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为_______．（结果保留和根号） 【答案】 【分析】根据中心角公式得到，过作于，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， 过作于，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型7 正多边形与圆综合求角度】 【例7】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，由正多边形的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接, ∵是的内接正五边形， ∴，， ∴， 故选：． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 【答案】75 【分析】本题考查圆周角定理、三角形外角性质，解题思路是利用圆周角定理求出相关角的度数，再结合三角形外角性质计算；考查的知识点是圆周角定理、三角形外角性质，用到的思想是转化思想，方法是角度转化法，技巧是将所求角转化为已知图形的角的和，解题关键是利用圆周角定理求出相关角的度数，易错点是对圆周角与圆心角的关系理解不清导致角度计算错误． 【详解】解：∵正方形内接于， ∴正方形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为， ∵正三角形内接于， ∴正三角形的每条边对应的圆心角为，对应的圆周角为 连接， ∵是的外角， ∴， ∵是边对的圆周角， ∴, ∵是边对的圆周角， ∴ ∴ 故答案为． 【变式7-3】如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． (1)求图1中∠APN的度数； (2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________． (3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 【答案】（1）60°；（2）90°，108°；（3）. 【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可． 【详解】解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动， ∴∠BAM＝∠CBN， 又∵∠APN＝∠BPM， ∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°； （2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°． （2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，． 【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数． 【题型8 作正多边形】 【例8】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】答案见解析． 【详解】试题分析：画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD． 试题解析：如图所示，四边形ABCD即为所求： 考点：正多边形和圆；作图—复杂作图． 【变式8-1】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【答案】(1)见解析 (2)平方米． 【分析】本题考查的是尺规作图，正六边形及等边三角形的性质、勾股定理，作出辅助线构造出等边三角形以及直角三角形是解答此题的关键． （1）作出的直径，分别以和为圆心，长为半径画弧，分别交于点和，和，再顺次连接即可； （2）连接、，过作于，证明是等边三角形，得出，求出，，再求出，据此计算即可求出结论． 【详解】（1）解：正六边形如图所示， （2）解：连接、，过作于， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， 平方米． 【变式8-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 【变式8-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 【答案】如图所示，七边形即为所求． 模块三 课后作业 1．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出，，再证明为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， ∵正六边形内接于，周长为， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即的半径为． 2．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 3．（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴这个正边形的内角和是． 4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 5．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 6．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角公式求出，根据三角形内角和及等边对等角得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴． 7．一个圆的内接正方形和外切正方形面积的比为______． 【答案】 【分析】设出圆的半径，根据圆与内接正方形、外切正方形的位置关系，得到两个正方形边长与圆半径的关系，计算两个正方形的面积后求出面积比. 【详解】设该圆的半径为， 对于圆的外切正方形，其边长等于圆的直径，因此边长为， 可得外切正方形面积. 对于圆的内接正方形，其对角线长等于圆的直径，因此对角线长为， 设内接正方形的边长为，根据勾股定理可得， 整理得，即，因此内接正方形面积. 因此内接正方形与外切正方形的面积比为. 8．如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 【答案】 【分析】根据中心角定义求出和的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵是正五边形的外接圆， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 【答案】 120° 12 【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得． 【详解】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键． 10．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 11．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【分析】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 12．如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    【答案】，，，，， 【分析】根据正六边形的性质得到，连接，过作于，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于，    ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 13．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了圆的性质，正方形和正八边形的性质及网格的应用． （1）连接并延长，与相交于点C，此时为的一条直径，利用网格的特点，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为B，D，依次连接A、B、C、D，四边形即为的内接正方形； （2）圆的内接正八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，连接正方形的对角线交点O，两条对角线与有四个交点，分别为B，D，H，F，连接并延长至交点E，找到的垂直平分线，该垂直平分线与有两个交点，设为C，G，依次连接A、B、C、D、E、F、G、H，八边形即为的内接正八边形． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 14．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得，再根据圆内接正三角形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据角的和差、等量代换即可得； （2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得，再根据（1）同样的方法可得；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角，再根据（1）同样的方法可得； （3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得． 【详解】（1）如图，连接OB、OC，则， 是内接正三角形， 中心角， ∵点O是内接正三角形ABC的内心， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接OB、OC， 四边形ABCD是内接正方形， 中心角， 同（1）的方法可证：； 如图2，连接OB、OC， 五边形ABCDE是内接正五边形， 中心角， 同（1）的方法可证：， 故答案为：，； （3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是， 的度数与正方形边数的关系是， 的度数与正五边形边数的关系是， 归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法是解题关键． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 16．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先由正六边形的性质、等腰三角形的性质得到相关角度，再由两个三角形全等的判定定理得到，则，进而由等边三角形的判定定理得到是等边三角形，由全等三角形性质及等边三角形性质即可得到，从而得证； （2）由尺规作图，过点作线段的垂直平分线即可得到答案； （3）过点作，垂足为，连接，如图所示，由切线的判定方法求证即可得到答案． 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∴点三等分； （2）解：如图所示： 、即为所求； （3）证明：过点作，垂足为，连接，如图所示： 则， 由（1）知， ， ， ， 为所作圆的半径， 是所作圆的切线． 【点睛】本题考查圆与多边形综合，涉及圆的基本性质、圆内接正六边形性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、尺规作图-作垂直平分线、圆的切线的判定等知识，熟记圆与多边形相关性质是解决问题的关键． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 正多边形与圆（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+3个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 正多边形与圆 同学们，数学往往以极致的对称与和谐之美，存在于我们周围的世界中。请大家观察这样几幅画面：晶莹剔透的雪花，往往呈现出完美的正六边形结构；蜂巢内部紧密排列的巢室，也是由一个个正六边形无缝拼接而成；而当我们仰望古代宫殿华丽的藻井，或是观察现代工业中标准的螺母横截面时，同样能发现正多边形的身影。 大家有没有发现，这些极致对称的正多边形，仿佛天生就与“圆”有着某种内在的、精确的“契约”？它们看起来就像是完美地“镶嵌”在一个无形的圆框里。 在数学中，我们把所有顶点都在同一个圆上的正多边形，称为“圆的内接正多边形”。其实，早在魏晋时期，我国伟大的数学家刘徽就深刻洞察到了正多边形与圆的这种紧密联系，并首创了著名的“割圆术”。他提出“割之弥细，所失弥少”，通过不断增加圆内接正多边形的边数，让多边形的周长无限逼近圆的周长，从而巧妙地计算出了圆周率。这不仅展现了古人的大智慧，更蕴含着深刻的“极限思想”。 那么，给定一个圆，我们如何能像最伟大的建筑师和工程师那样，精准地在圆内“雕刻”出这些正多边形？正多边形的边长、中心角与圆的半径之间，又隐藏着怎样奇妙的定量关系？今天，就让我们化身几何探秘者，一起揭开“正多边形与圆”的神秘面纱！ 【知识点1 正多边形及有关概念】 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 【知识点2 正多边形的有关计算】 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 【知识点3 正多边形的画法】 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 求正多边形中心角】 【例1】如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·江西新余·期末）太极八卦图蕴含着丰富的传统文化与数学奥秘，其外围的卦象排布可近似看作一个正八边形（如图）．则这个正八边形的中心角度数为________． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【题型2 由中心角求边数】 【例2】（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，是的内接正多边形的一条边，连接、，，则这个正多边形的边数为___________． 【变式2-2】（2025·山东聊城·三模）如图，点是以点为中心的正多边形的顶点，若，则该正多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．10 D．11 【变式2-3】如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【题型3 正多边形内角计算】 【例3】（2026·四川成都·二模）如图，正五边形内接于，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级下·安徽滁州·阶段检测）如图，正六边形内接于，连接、，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，是正八边形的外接圆，连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，正五边形内接于，点是上一点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求正多边形边心距】 【例4】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，正六边形内接于的半径为4，则这个正六边形的边心距为（   ） A．3 B． C． D．2 【变式4-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）若正方形的外接圆半径是，则其边心距为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，正外接圆的半径为2，求正的边长，边心距，周长和面积． 【变式4-3】如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距． 【题型5 正多边形边长与半径】 【例5】（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正六边形内接于，若的半径为6，则正六边形的边长为_________． 【变式5-1】如图，⊙O的内接正六边形的边长是6，则弦心距是______． 【变式5-2】如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，弧AE的长是8π，则该正六边形的边长是（    ） A．6 B． C． D．12 【变式5-3】（24-25九年级上·河南安阳·阶段检测）如图，正六边形的内切圆半径为3，则它的外接圆半径为（   ） A． B．3 C． D． 【题型6 正多边形周长与面积】 【例6】如图，正三角形和正方形分别内接于等圆和，若正三角形的周长为m，正方形的周长为n，则m与n的关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式6-1】如图，已知点是半径为的上任意一点，以点为圆心，为半径做弧，交于点，以点为圆心，为半径做弧交于点，同上述作图方法逆时针做出点，，，依次连接，则这个多边形的周长为________． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图将的圆周6等分，则圆内接六边形的面积与内接四边形的面积比值为______． 【变式6-3】我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正八边形的面积来近似估计的面积，设的半径为2，则的值为_______．（结果保留和根号） 【题型7 正多边形与圆综合求角度】 【例7】（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，正方形与等边内接于，，则的度数为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，正方形和正三角形内接于，和相交于点，则的度数为________°． 【变式7-3】如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动． (1)求图1中∠APN的度数； (2)图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________． (3)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） 【题型8 作正多边形】 【例8】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【变式8-1】（25-26九年级上·广东潮州·期末）如图1，有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形． (1)请在图2中利用尺规作出正六边形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求地基的面积（答案保留根号）． 【变式8-2】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 【变式8-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三、正四、正五、正六和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下列方法近似地作出一个正七边形：如图，已知为的直径． 步骤一：作出半径的垂直平分线，与分别交于E，F两点，垂足为D． 步骤二：以为半径，在上依次截取． 步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形． 动手操作：请用上面方法，用直尺（没有刻度）和圆规在已知中作出正七边形．要求：不写作法，但保留作图痕迹． 模块三 课后作业 1．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好的祝愿．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长为，则的半径为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南濮阳·一模）如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 5．（2026·山东济宁·二模）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·山东德州·开学考试）如图，正五边形内接于，则的度数为________． 7．一个圆的内接正方形和外切正方形面积的比为______． 8．如图，是正五边形的外接圆，点F是弧上一点，连接，，则的度数是_______． 9．如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为______． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为_________． 10．如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 11．（24-25九年级上·福建福州·阶段检测）如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 12．如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    13．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，在网格纸中，点O，A都是格点，以点O为圆心，为半径作圆．请仅用无刻度的直尺完成以下画图，保留画图痕迹，不写画法．       (1)在图1中画一个的内接正方形； (2)在图2中画一个的内接正八边形． 14．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON （1）求图1中∠MON的度数 （2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　 （3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____ 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 16．（25-26九年级下·全国·期末）在圆内接正六边形中，分别交于点． (1)如图①，求证：点三等分； (2)如图②，过点作的垂线，垂足为，以点为圆心，的长为半径作圆；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（2）所作图形中，求证：是所作圆的切线． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $