暑假收心卷02（暑假测试）新七年级数学新教材北师大版

**基本信息** 暑假收心卷聚焦北师大版七年级上册1-6章，通过“洛书”幻方、配套问题等文化与生活情境，融合规律探究与实际应用，培养抽象能力、推理意识及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、代数式运算、统计概念等|第3题辨析总体与个体，强化数据意识| |填空题|6/18|图形旋转、数轴表示、规律探究等|第16题通过图案变化培养归纳推理能力| |解答题|8/72|方程应用、统计图表、几何综合等|23题结合“洛书”幻方渗透文化传承，21题购买方案问题发展模型意识|

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 暑假收心卷 02 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 训练范围：新教材，北师大版七年级上册第一~六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.2026的倒数是() 1 1 A.2026 B.-2026 C.2026 D.-2026 2.下列计算正确的是() A.x'y+2xy2=3xy2 B.3a+b=3ab C.a2+a3=a3 D.-3ab+3ab=0 3.某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列 说法正确的是() A.720名学生是总体 B.720是样本容量 C.16个班级是抽取的一个样本 D.每名八年级学生的睡眠时间是个体 4.若x=2是方程mx+3x-10=0的解，则m+3n的值等于() A.-5 B.5 C.-1 D.1 5.如图，点C,D在线段AB上，AB=16cm,AD=BC=10cm,则线段CD的长等于() A B A.10cm B.6cm C.4cm D.3cm 6.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进.如果每人按一定的速度前进，4小时相 遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇.那么A、B两地的距离是() A.40千米 B.30千米 C.20千米 D.10千米 7.“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当.将这六 个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对 的面上的汉字是() 强 国复兴有 我 A.复 B.兴 C.有 D.我 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.当x=1时，代数式mx+x+3的值为2026，当x=-1时，这个代数式的值为() A.-2019 B.-2020 C.-2021 D.2019 9.将一副含30°和45°的直角三角尺按如图所示的方式放置，若AM平分∠BAD,AN平分∠CAD,则 ∠MAN的度数是() ENM A.5° B.15° C.22.5° D.30 10.按一定规律排列的代数式：2a-b,4a2+b,6a3-b,8a4+b,10a3-b,…,则第n个代数式是 () A.2na”±bB.2na”+(-1}"bC.2a+(-1PbD.2na+(-1n+1b 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_（填写图形序号）， ① ② ③ ④ 12.直线上点A表示的数是 点B表示的数写成分数是一，点C表示的数写成小数是 B C 0 1 2 13.如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为一 x为非负整数 →+(-10) 输入x x为负整数 →输出 →-(-12) 14.把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE、AD,且AD的延长线交BE于点 F.若BD=3,AE=13,AC的长为 216 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 15.在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴.某车间共有14名工人，每名工人每天可以加 工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶.（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 16.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有 4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第 2026个图案中有个等边三角形 第1个图案 第2个图案 第3个图案 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分；共8小题，共72分） 17.计算： 03（+(04: (2)-52×2-16÷(-8)+1-3 18.如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点. A D C E B (1)若AE:BE=5:2,且AB=14,求CD的长： (2)若线段AB=16,CE=4,求AD的长， 19.先化简，再求值：(x-2y)小-(3x+4)+2(+5y),其中x=-1,y=2. 20.我校“五育并举”课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在需了解学生最喜欢 的“五育并举”课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结 果绘制成如下统计图（不完整）·根据统计图提供的信息，解答下列问题： 316 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽取的学生最喜欢课程内容 抽取的学生最喜欢课程内容 的扇形统计图 的条形统计图 人数（人） 21 18 E A 15 15 20% D A:德育践行 12 12 30% B:智育拓展 9 9 名 C:体育锻炼 6 D:美育熏陶 6 E:劳育实践 3 D 类别 (1)m= 2 n= (2)在扇形统计图中，“E.劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数是」 度： (3)请根据以上信息补全条形统计图： (4)我校共有3000名学生，试估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数. 21.A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备.市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品 牌的篮球队服和篮球，己知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等.经洽谈，甲商 场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球 打八折. (1)每套队服的价格为 元和每个篮球的价格为—元。 (2)若联合购买120套队服和a(a>12)个篮球，请用含a的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的 费用： (3)在(2)的条件下，若a=45,假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合 算？ 22.某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的路上连续接送5批客人，行驶路程记录分别为： +1,+2,-4,-3,+12(规定向东为正，向西为负，单位：千米)· (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？ (2)出租车在行驶的过程中，离公司最远的距离是多少？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2元收费.在 这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 23.【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传 4/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 说.图1即洛书，数出图1中各处的圆圈和圆点个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得 到一个“三阶”幻方（图2）· 000 8 a A ● 9 d B 0 6 2 g C 0000000 图1 图2 图3 图4 【观察发现】图2“三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于15，中间的数为5，若将 “三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发 现“幻方和”是“中心数”的3倍 【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的3倍. 说明理由：如图3，将“三阶”幻方中的9个数字分别用字母a、b、c、d、e、f、g、m、n表示，其中 “中心数”为e,将“幻方和”用字母s表示。 由题意可知：(a+b+c)+(d+e+f)+(g+m+n)=3s: 又因为(a+e+m)+(d+e+f)+(g+e+c)+(b+e+m)=4s: a+b+c+d+e+f+g+m+n+3e=4s. 所以3s+3=4s,所以3=S,即“幻方和”是“中心数”的3倍. 【解决问题】利用上述结论解决问题： ()如图3，己知b=3,8=4,幻方的“中心数”e=-1,则n的值为 (2)如图4，A、B、C、D、E、F是含有字母t的整式，E=t,C=3t+2, ①若幻方的“中心数”D=2+2,求整式F(用含t的式子表示)： ②若幻方的“中心数”D=m,B=at+m,且a、m均为常数，求a、m的值. 24.特例感知： (1)如图1，已知线段AB=14,点C为线段AB上的一个动点，点D,E分别是AC和BC的中点. ①若AC=4,则线段DE= ②若AC=a(a<l4),则线段DE= 516 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ B A D C A 0 图1 图2 D 图3 图4 知识迁移： (2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠A0B=130°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线 OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC,∠MON= 拓展探究： (3)如图3，己知∠C0D在∠AOB内部，∠A0B=a(a<180),∠C0D=28°，且∠DOM=3∠A0M, ∠CON=3∠BON,求∠MON(用含a的式子表示). 综合提升： (4)如图4，若∠AOB=126°，∠COD=60°，射线OE、OF分别在∠AOC和∠BOD内部，且 OC=AOC ZDOF-ZB0DFOR 3 ·(直接写出答案) 616 暑假收心卷 02 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 训练范围：新教材，北师大版七年级上册第一~六章。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2026的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 3．某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（     ） A．720名学生是总体 B．720是样本容量 C．16个班级是抽取的一个样本 D．每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】D 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A．总体是720名八年级学生的睡眠时间，不是720名学生，故A选项错误； B．样本容量是样本中包含的个体数目，为100，不是720，故B选项错误； C．样本是抽取的100名学生的睡眠时间，不是16个班级，故C选项错误； D．每名八年级学生的睡眠时间是个体，符合定义，故D选项正确． 4．若是方程的解，则的值等于（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴； 故选B． 5．如图，点C，D在线段上，，，则线段的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形，可以求得线段的长，再根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进．如果每人按一定的速度前进，4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，5小时相遇．那么A、B两地的距离是（     ） A．40千米 B．30千米 C．20千米 D．10千米 【答案】A 【分析】A、B两地总路程不变，根据两种情况的速度和关系列方程求解即可． 【详解】解：设、两地的距离是千米， ∵ 原来两人小时相遇， ∴ 原来两人的速度和为千米/小时， ∵ 每人各自都比原计划每小时少走千米， ∴ 减速后两人的速度和比原来少千米/小时，即减速后速度和为 千米/小时， 又∵ 减速后两人小时相遇，减速后速度和也可表示为千米/小时， ∴ 列方程得 ， 解得 ， 即、两地距离为千米． 7．“强国复兴有我”是近年来广泛传播的响亮口号，充分展现了新时代中华儿女的责任与担当．将这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“强”字所在面相对的面上的汉字是（     ） A．复 B．兴 C．有 D．我 【答案】D 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，异行字形，进行判断即可． 【详解】解：由展开图可得，“国”字所在面相对的面上的汉字是“兴”； “复”字所在面相对的面上的汉字是“有”； “强”字所在面相对的面上的汉字是“我”． 8．当时，代数式的值为2026，当时，这个代数式的值为（     ） A． B． C． D．2019 【答案】B 【分析】先将代入代数式求出的值，再将代入代数式，利用整体代入法计算求值． 【详解】解：当时，代数式的值为， ， 当时，， 把代入，则， ∴当时，这个代数式的值为． 9．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 10．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第n个代数式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析第n个代数式的系数，a的次数，b的符号三部分的规律，再对应选项得到答案。 【详解】解：按顺序拆分观察规律： ∵第1个代数式： 第2个代数式： 第3个代数式： 第4个代数式： …… ∴归纳可得，第个代数式中，系数为，的次数为，的系数为，整理得第个代数式是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图所示的四个图形，分别绕直线旋转一周后，能得到空心圆柱的是_____(填写图形序号)． 【答案】④ 【分析】当长方形绕其自身的一条边旋转一周时，会形成实心圆柱，而当矩形绕一条与自身边平行且保持一定距离的直线旋转时，因内外侧旋转半径不同，会形成空心圆柱，二者均具备两个平行且全等的圆形底面和曲面侧面． 【详解】解：图形①是直角三角形，绕直线旋转一周后得到圆锥； 图形②是半圆，绕直线旋转一周后得到球； 图形③是一边与直线重合的长方形，绕直线旋转一周后得到实心圆柱； 图形④是与直线平行且有一定距离的长方形，绕直线旋转一周后，形成两个同轴的圆柱面，中间为空心，即空心圆柱； 综上，能得到空心圆柱的是图形④． 12．直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点表示的数，即可作答． 【详解】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 13．如图是一个运算程序示意图，如果第1次输入的x的值是4，则第2次输出的y的值为______． 【答案】 【详解】解：第1次输出结果为：； 第2次输出结果为：． 14．把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答． 【详解】解：， ，即， ， ． ，， ，即， ∴， ∴． 15．在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【答案】 【分析】设安排名工人加工茶壶，根据总工人数量表示出加工茶杯的工人数，根据配套要求得到茶杯总数量与茶壶总数量的等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该车间应安排名工人加工茶壶，则安排名工人加工茶杯， 根据题意列方程得：， 解得， ∴应安排名工人加工茶壶． 16．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和等边三角形镶嵌而成，其中第1个图案中有4个等边三角形，第2个图案中有6个等边三角形，第3个图案中有8个等边三角形，…依此规律，第2026个图案中有____个等边三角形． 【答案】 【分析】根据题目中的图形可以发现三角形个数的变化规律，可以求得第2026个图案中三角形的个数． 【详解】解：第①个图案有4个三角形，即 第②个图案有6个三角形，即 第③个图案有8个三角形，即 第个图案三角形个数为， 所以第2026个图案有三角形的个数为． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)（或或） (2) 【详解】（1）解： ， （2）解：． 18．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 19．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20．我校“五育并举”课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在需了解学生最喜欢的“五育并举”课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)____________，____________； (2)在扇形统计图中，“E．劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数是____________度； (3)请根据以上信息补全条形统计图； (4)我校共有3000名学生，试估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)人． 【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比其所对应的人数总人数分别求出、的值； （2）用乘以E所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，进而补全条形统计图； （4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数． 【详解】（1）解：观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有人，占， 故总人数有（人）， ， ； （2）解：； （3）解：D类别人数为（人）， 条形统计图略； （4）解：（人）， 答：估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数有人． 21．A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． (1)每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． (2)若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)180，120 (2)甲商场费用为元，乙商场费用为元 (3)到甲商场购买比较合算 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； （2）解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为： 元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为： 元； （3）解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)， ， 到甲商场购买比较合算． 22．某出租车驾驶员从公司出发，在东西向的路上连续接送5批客人，行驶路程记录分别为：（规定向东为正，向西为负，单位：千米）． (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的什么方向？距离公司多少千米？ (2)出租车在行驶的过程中，离公司最远的距离是多少？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费10元，超过3千米的部分按每千米2元收费．在这个过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1) 在公司的东方，距离公司8千米 (2) 最远的距离是8千米 (3) 车费70元 【分析】（1）将5次行驶路程相加，根据结果的正负判断方向，结果的绝对值就是距离公司的距离； （2）依次计算每次接送完客人后驾驶员离公司的距离，比较大小即可得到最远的距离； （3）先得到每批客人的行驶路程，根据计价标准分别计算每批的车费，求和得到总车费即可． 【详解】（1）解：5次行驶路程相加得千米， ∵规定向东为正，向西为负，且， ∴接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8千米； 答： 接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的东方，距离公司8千米； （2）解：接送完第1批客人后，离公司距离为千米， 接送完第2批客人后，离公司距离为千米， 接送完第3批客人后，离公司距离为千米， 接送完第4批客人后，离公司距离为千米， 接送完第5批客人后，离公司距离为千米， 比较大小得 ， ∴离公司最远的距离是8千米； 答： 出租车离公司最远的距离是8千米； （3）解：由题意，5批客人行驶路程的绝对值分别为1千米，2千米，4千米，3千米，12千米， 路程不超过3千米的共3批，每批收费10元，共元， 第三批路程4千米，超过3千米千米，收费元， 第五批路程12千米，超过3千米千米，收费元， 总车费为元． 答： 在这个过程中该驾驶员共收到车费70元． 23．【规律探究】“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一，对于其来源于何处，如今有各种传说．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个“三阶”幻方（图）． 【观察发现】图 “三阶”幻方的每行，每列，每条对角线上数字之和都等于，中间的数为，若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，发现“幻方和”是“中心数”的倍． 【猜想验证】猜想：“三阶”幻方的“幻方和”是“中心数”的倍． 说明理由：如图，将“三阶”幻方中的个数字分别用字母、、、、、、、、表示，其中“中心数”为，将“幻方和”用字母表示． 由题意可知：： 又因为； 即； 所以，所以，即“幻方和”是“中心数”的倍． 【解决问题】利用上述结论解决问题： (1)如图，已知，，幻方的“中心数”，则的值为________； (2)如图，、、、、、是含有字母的整式，，． ①若幻方的“中心数”，求整式（用含的式子表示）： ②若幻方的“中心数”，，且、均为常数，求、的值． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】（1）根据题意可得方程，据此可求出，进而建立方程求出，最后建立方程求出即可； （2）①根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可；②根据题意得出，，再根据，得到，化简得，即可求解． 【详解】（1）解：， “幻方和”为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①由题意得：， ； ②由题意得：， ， ， ， 即， 化简得， ，且， 解得，． 24．特例感知： （1）如图1，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段_________； ②若，则线段_________； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，_________； 拓展探究： （3）如图3，已知在内部，，，且，，求（用含的式子表示）． 综合提升： （4）如图4，若，，射线、分别在和内部，且，，_________．（直接写出答案） 【答案】（1）①7；②7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）①已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； ②同①法求解即可； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； ②，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $