第05讲 平方根与立方根（暑假预习举一反三讲义）新八年级数学上册新教材北师大版

第05讲 平方根与立方根（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+16个题型+课后作业】 模块二 平方根与立方根 根据下图填空：= ，= ，= ，= ．中哪些是有理数，哪些是无理数，你能表示它们吗？ 【知识点1 算术平方根】 1．定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根，记作，读作“根号”． 2．性质：正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 【知识点2 平方根】 1．定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根，也叫做二次方根． 2．表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中 叫做被开方数． 3．性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【知识点3 立方根】 1．定义：如果一个数的立方等于a，即，那么这个数就叫作a的立方根或三次方根．记作，即． 2．性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 【题型1 勾股定理与算术平方根】 【例1】如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 【答案】/ 【分析】根据已知条件求出和，再利用勾股定理求出，从而求出，然后设点表示的数为，根据两点间的距离求出即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 点，点分别表示和0， ， 由勾股定理得：， ， 设点表示的数为， ， 点表示的数为， 故答案为：． 【变式1-1】如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出点到数表示的点的距离，进而求出点所表示的数即可. 【详解】解：由图可知：点到数表示的点的距离为， ∴点所表示的数为. 故选：B． 【变式1-2】如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：B． 【变式1-3】在数轴上画出表示的点，记作点．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】构造直角边为1和3的直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，， ∴， ∵点A在原点左侧， ∴点A表示的数是， ∴点即为所求． 【题型2 求一个数的算术平方根】 【例2】的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 故选：D． 【变式2-1】9的算术平方根是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的非负性和定义直接计算即可． 【详解】∵，且算术平方根为非负数， ∴9的算术平方根是3． 故选：D． 【变式2-2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化为假分数，再算即可． 【详解】解：∵， 又∵算术平方根的结果为非负数， ∴． 故选：D． 【变式2-3】的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据算术平方根的定义化简，再表示成负整数幂的形式即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【题型3 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【答案】D 【分析】几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，先求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵算术平方根和平方数都是非负数，且， ∴， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得． 故选：D． 【变式3-1】若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到等式，再利用非负数的性质求出和的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ∵， ，， 解得，， 将，代入得． 故答案为：25． 【变式3-2】若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义分类讨论，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可计算得到周长． 【详解】解：，且，， ，， 解得：，， 当等腰三角形的腰长为，底边长为时，三边长为，，， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形的腰长为，底边长为时，三边长为，，， 满足三角形三边关系， 此时三角形的周长为． 故答案为：22． 【变式3-3】若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 【答案】D 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出，的值，再结合直角三角形边长的不同情况分类讨论，利用勾股定理计算第三条边长即可． 【详解】∵ ，，且 ∴ ，，解得， 分两种情况讨论： 当为的斜边时，第三条边长为， 当，为的两条直角边时，第三条边长为， 综上，第三条边长为或． 故选：D． 【题型4 估计算术平方根的取值范围】 【例4】估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题使用夹逼法估算无理数的范围，先找出与19相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导出的范围即可； 【详解】解： ，即 不等式各项同时减得 即 因此的值在和之间； 故选：B． 【变式4-1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】D 【分析】利用夹逼法估算 的取值范围，确定其位于整数 和 之间，再结合数轴上各点的位置进行判断． 【详解】解：∵ ， ∴即， 观察数轴可知，点在与之间，点、在与之间，点在与之间， ∴表示实数的点可能是点． 故选：D． 【变式4-2】已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 即 ， 又∵ ，且为整数， ∴ ． 故选：A． 【变式4-3】已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是： 表示与的差的绝对值，该值最小等价于正整数最接近，只需估算的大小范围，找到最接近它的正整数即可． 【详解】解：，，且， ， ，，可知更接近，因此更接近， 时，取最小值． 故选：B． 【题型5 无理数整数部分的有关计算】 【例5】阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 【变式5-1】a为的整数部分，则__________． 【答案】2 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分，即的值． 【详解】解：，，且， ，即， 的整数部分为，即． 故答案为：2． 【变式5-2】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 故选：A． 【变式5-3】阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据文中的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵，即； ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵，即； ∴ 故的整数部分是15，小数部分是； 故； 故． 【题型6 与算术平方根有关的规律问题】 【例6】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： （1）按照此规律，计算： ； ； （2）计算：； 迁移应用： （3）若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式6-1】利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【答案】A 【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果. 【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位， ∵的小数点向右移动2位得到，且， ∴的结果是将的小数点向右移动1位，即. 故选：A． 【变式6-2】按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 【答案】 【分析】分别观察单项式的符号根号内的数分母以及y的指数的变化规律，推导出第个单项式为 ，再代入即可得到结果． 【详解】解：观察已知单项式可得规律： ①符号规律：第奇数个单项式的符号为正，第偶数个单项式的符号为负，即； ②根号内的数的规律：第个单项式根号内的数为； ③分母规律：所有单项式的分母均为； ④的指数规律：第个单项式的指数为． 第个单项式为 ∴第7个单项式为． 故答案为：． 【变式6-3】对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； （2）当时，__________；当时，__________； （3）计算：． 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 【题型7 算术平方根的实际应用】 【例7】如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【答案】3 【分析】再结合整数条件求解．先根据正方形面积公式得到边长的范围，再利用“由内到外的嵌套关系”得到边长的大小关系，结合无理数的估算在范围内找出整数边长． 【详解】解：设正方形、、的边长分别为、、， 由题意，，， ，． 正方形由内到外依次嵌套， ，即． ，，且为整数， ． 故答案为：3． 【变式7-1】在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国古代数学对无理数的最早记载．下列四个正方形的边长中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解各正方形的边长，再判断即可． 【详解】解：A、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； B、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； C、正方形的边长为，是有理数，该选项不符合题意； D、正方形的边长为，是无理数，该选项符合题意． 故选：D． 【变式7-2】若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， ∵面积扩大为原来的倍， ∴扩大后的面积为， 设扩大后边长为，则， ∵边长为正数， ∴， ∴， 即边长扩大为原来的倍． 故选：B． 【变式7-3】为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可． 【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为， 设长方形封皮的宽为，则长为， 根据题意可列方程，即，，， ， ，，， 正方形卡片的面积为， 正方形卡片的边长为， ， 正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【题型8 求一个数的平方根】 【例8】的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：将带分数化为假分数 ∵， ∴的平方根是． 故答案为：． 【变式8-1】16的平方根是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 【变式8-2】的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题需要先求出的结果，再对所得结果求平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念，避免直接对16求平方根导致错误． 【详解】解：，的平方根是 ∴的平方根是． 故选：B． 【变式8-3】下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【答案】D 【详解】解：对应选项A：∵， ∴的平方根是，故A错误； 对于选项B：∵，的平方根是， ∴的平方根是，故B错误； 对于选项C：，正数有平方根，故C错误； 对于选项D：∵ ， ∴的平方根是和，故D正确． 故选：D． 【题型9 求代数式的平方根】 【例9】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 【变式9-1】若，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，先求出的值，再计算，最后求的平方根即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且 ∴ ， 解得， 的平方根为． 的平方根是． 故答案为：． 【变式9-2】已知与 互为相反数，求的平方根． 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【变式9-3】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 【题型10 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ， 解得， 将代入得，该正数的一个平方根为， 这个正数为． 故答案为：64． 【变式10-1】已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，利用“正数的两个不同平方根互为相反数”求出的值，再计算原数即可． 【详解】解：∵ 正数的两个不同平方根互为相反数， ∴ ， 整理得 ， 解得 ， 把代入得 ， ∴ ． 故选：C． 【变式10-2】已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【分析】由平方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的算术平方根是6， ∴，即， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【变式10-3】已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 【题型11 求一个数的立方根】 【例11】下列说法中不正确的是（   ） A．27的立方根是3 B．的立方根是 C．的立方根为2 D．125的立方根为 【答案】D 【详解】解：∵，∴27的立方根是3，A选项说法正确； ∵，∴的立方根是，B选项说法正确； ∵，，∴的立方根是2，C选项说法正确； ∵，∴125的立方根是，不是，D选项说法错误． 故选：D． 【变式11-1】计算：（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据立方根的定义计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据立方根的定义可得． 故选：B． 【变式11-2】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再计算的立方根得到结果． 【详解】解：∵，，又， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴的立方根为，即的立方根为. 故选：A． 【变式11-3】已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，分别求得的值，进而求得的值，再求立方根，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ， 的立方根为4． 【题型12 与立方根有关的规律问题】 【例12】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 故选：D． 【变式12-1】已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解： ， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 故答案为：． 【变式12-2】有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 【答案】6 【分析】由再结合其他数可以得到规律：是一组数的立方根，被开方数是从2开始的偶数，据此可完成第一空；根据，，可确定前1000项中的有理数． 【详解】解：∵， ∴， ∴第n个数是； ∵且为正整数，，， ∴前1000个数中是有理数的有，，，，，共6个，其余的数都是无理数． 故答案为：． 【变式12-3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ （2）已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【分析】先根据和的大小确定立方根的位数，再根据原数个位数字的立方的个位特征确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，比较剩余数与相邻整数的立方，确定立方根的十位数字，即可得到结果． 【详解】（1） ， ， 是两位数； 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是； ， 的十位数字是， ； （2）， ， 是两位数， 的个位数字是，中只有数字的立方的个位数字是， 的个位数字是，划去后三位，得到数， ， 十位数的数是， ． 【题型13 立方根的实际应用】 【例13】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【变式13-1】有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 【变式13-2】已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长___________． 【答案】2 【分析】根据正方体体积公式求出两个正方体的棱长，再计算棱长的差值即可. 【详解】解：设大正方体棱长为，小正方体棱长为， 根据正方体体积公式可得， ，， 因此 ，， 棱长的差为 . 故答案为：． 【变式13-3】小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 故答案为：． 【题型14 平方根与立方根的综合】 【例14】已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）先根据已知条件和平方根与立方根的定义，列出关于和关于的方程，解方程求出，，再估算的大小，从而求出其整数部分c即可； （2）把（1）中所求，，的值代入进行计算，从而求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴，解得． ∵的立方根为， ∴，解得． ∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∵2的平方根为， ∴的平方根为． 【变式14-1】已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【分析】根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，求出，的值，即可得出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的立方根是， ∴，即，解得． ∴． ∵25的算术平方根为5， ∴的算术平方根为5． 【变式14-2】已知的立方根是2，的平方根是． （1）求、的值； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【分析】（1）根据立方根和平方根的定义求解； （2）首先利用无理数的估算求出，然后根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的平方根是， ∴，， ∴，； （2）解：∵ ∴ ∵是的整数部分 ∴ ∴，25的平方根为 ∴的平方根为． 【变式14-3】若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的平方根． 【分析】（1）根据平方根的定义，立方根的定义求出a，b的值，再估计的大小即可求出c的值即可． （2）把，，，代入计算得出结果，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴的平方根是． 【题型15 程序框图问题】 【例15】如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：当时，是有理数， 当时，是无理数， 故输出的y值为，选项C符合题意． 故选：C． 【变式15-1】在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 故选：B． 【变式15-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【答案】 【分析】根据题中所给的运算程序，依次计算立方根和算术平方根，并判断结果是否为无理数，直到满足输出条件为止． 【详解】解：由题可得：的立方根为，是有理数，继续运算； 的算术平方根为，是有理数，返回取立方根； 的立方根为，是无理数，输出； 则输出的的值为． 故答案为：． 【变式15-3】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：C． 【题型16 利用平方根与立方根解方程】 【例16】求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． 【变式16-1】求x： （1） （2） 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式16-2】求的值： （1）； （1） 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 【变式16-3】解下列方程 （1）； （2）． 【分析】（1）方程两边同时除以9，再开平方，即可作答； （2）方程两边同时除以8，再开立方，即可作答； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 模块三 课后作业 1．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 【答案】C 【详解】解：根据平方根定义，负数没有平方根，∵是负数，∴没有平方根，故A错误； ∵0的平方根是0，∴0有平方根，故B错误； 的算术平方根是，符合算术平方根的定义，故C正确； ，的平方根是，不是，故D错误． 故选：C． 2．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方体体积公式计算原体积，再求出体积增大后的新体积，最后根据正方体体积与棱长的关系计算新棱长即可． 【详解】解：∵原正方体的棱长为3， ∴原正方体的体积为， ∵新体积增大为原来的2倍， ∴新正方体的体积为， 设新正方体的棱长为，由正方体体积公式得， ∴． 故选：D． 3．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题用夹逼法估算无理数的范围，先找出与61相邻的两个完全平方数，确定的范围，再推导的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即， 不等式两边同时减3，得， 即， ∴的值在4到5之间． 故选：C． 4．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解． 【详解】解：①∵输出值为时， ∴输入值为或或等，故①错误； ②当时，∵是有理数， ∴重新输入， ∵是有理数， ∴重新输入， ∵是无理数， ∴输出值为，故②正确； ③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确； ④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误； 综上，说法正确的是②③． 故选：B． 5．若实数，同时满足，，则________． 【答案】 【分析】先根据平方的性质求出的所有可能值，再结合算术平方根的非负性舍去不符合题意的值，最后代入原方程求出，计算即可． 【详解】解：， 是算术平方根， ，即， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，代入 得 ， 两边平方得， 解得， ． 故答案为：． 6．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 【答案】 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】 解：在中，， ， 点所表示的数是， 点所表示的数是． 故答案为：． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 故答案为：． 8．求下列各式中的值： （1）； （2）． 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 9．长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 【分析】根据长方形长与宽的比例设未知数，利用长方形面积公式求出长方形的宽，再比较长方形宽与待裁圆形的直径大小，即可判断想法是否可行． 【详解】解：小明的想法不可行． 设长方形的长为，则宽为， 由题意得，， 则， ， ， 长方形的宽为， ，即， ， 想从中裁出半径为的圆形画纸，则圆形画纸的直径为，， ∴， 不能裁出． 答：小明的想法不可行，他不能从这张长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸． 10．已知一个正数p的两个平方根分别是和． （1）求p和a的值； （2）若，求的算术平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可； （2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可． 【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和， 所以，解得． 将代入，得． 所以； （2）因为，且， 所以． 因为，，，且它们的和为0， 所以，，， 解得，，． 所以， 因此的算术平方根为． 11．已知的平方根为，的立方根为． （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的立方根． 【分析】（1）根据题意计算得，，则，计算的算术平方根即可； （2）根据题意计算得，则，计算的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得， ∵的立方根为， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为． 12．已知的整数部分为，小数部分为．求： （1）分别介于哪两个相邻的整数之间，说明理由． （2）求的值． （3）直接比较与的大小：______． 【分析】（）利用无理数的估算方法解答即可求解； （）根据（）的结果求出的值，进而代入代数式计算即可求解； （）利用无理数的估算方法求出的范围，进而即可判断求解； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：介于与之间，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即， ∴介于与之间； （2）解：∵介于与之间， ∴， ， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平方根与立方根（暑假预习讲义） 【新教材北师大版】 【知识框架+3个知识归纳+16个题型+课后作业】 模块二 平方根与立方根 根据下图填空：= ，= ，= ，= ．中哪些是有理数，哪些是无理数，你能表示它们吗？ 【知识点1 算术平方根】 1．定义：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根，记作，读作“根号”． 2．性质：正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 【知识点2 平方根】 1．定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫作的平方根，也叫做二次方根． 2．表示方法：正数的正的平方根记作，负的平方根记作，正数的两个平方根记作，读作正、 负根号，其中 叫做被开方数． 3．性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【知识点3 立方根】 1．定义：如果一个数的立方等于a，即，那么这个数就叫作a的立方根或三次方根．记作，即． 2．性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 【题型1 勾股定理与算术平方根】 【例1】如图，数轴上点A，点O分别表示和0，，且，以点A为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴相交于点C，则点C表示的数为______________． 【变式1-1】如图，根据作图痕迹，图中标注的点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）． A． B． C． D． 【变式1-3】在数轴上画出表示的点，记作点．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型2 求一个数的算术平方根】 【例2】的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【变式2-1】9的算术平方根是（   ） A． B． C． D．3 【变式2-2】的值等于（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】的值为（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用算术平方根的非负性解题】 【例3】若，则的值为（    ） A． B．3 C．1 D．5 【变式3-1】若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【变式3-2】若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是________． 【变式3-3】若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 【题型4 估计算术平方根的取值范围】 【例4】估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式4-1】如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式4-2】已知，则整数的值（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5 无理数整数部分的有关计算】 【例5】阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． （1）的整数部分是________，小数部分是________； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【变式5-1】a为的整数部分，则__________． 【变式5-2】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式5-3】阅读下列材料： ∵ ，即：； ∴ 的整数部分为1，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： （1）的整数部分是________，小数部分是_________； （2）若，其中：a是整数，．求的值． 【题型6 与算术平方根有关的规律问题】 【例6】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： （1）按照此规律，计算： ； ； （2）计算：； 迁移应用： （3）若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【变式6-1】利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.15 0.4743 1.5 4.743 … 根据以上规律，（     ） A．47.43 B．15 C．474.3 D．150 【变式6-2】按一定规律排列的一列单项式：，，，，…，则第7个单项式是______． 【变式6-3】对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： （1）把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； （2）当时，__________；当时，__________； （3）计算：． 【题型7 算术平方根的实际应用】 【例7】如图，由内到外依次为正方形，，．若的面积为，的面积为15，且的边长是整数，则的边长为______． 【变式7-1】在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国古代数学对无理数的最早记载．下列四个正方形的边长中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（     ）倍 A． B． C． D． 【变式7-3】为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中． 【题型8 求一个数的平方根】 【例8】的平方根是_________． 【变式8-1】16的平方根是_____． 【变式8-2】的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 【变式8-3】下列说法中，正确的是（     ） A．的平方根是 B．的平方根是和 C．没有平方根 D．的平方根是和 【题型9 求代数式的平方根】 【例9】若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【变式9-1】若，则的平方根是__________． 【变式9-2】已知与 互为相反数，求的平方根． 【变式9-3】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【题型10 已知一个数的平方根，求这个数】 【例10】一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【变式10-1】已知数A的两个不同的平方根是和，则数A是（     ） A．2 B．3 C．9 D． 【变式10-2】已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根． 【变式10-3】已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【题型11 求一个数的立方根】 【例11】下列说法中不正确的是（   ） A．27的立方根是3 B．的立方根是 C．的立方根为2 D．125的立方根为 【变式11-1】计算：（     ） A． B．2 C． D．4 【变式11-2】已知，那么的立方根为（     ） A． B．1 C． D． 【变式11-3】已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【题型12 与立方根有关的规律问题】 【例12】小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【变式12-1】已知，，则______． 【变式12-2】有一组按规律排列的数：，这组数的前1000个数中，有理数有_____个． 【变式12-3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： （1）已知是一个整数的立方，求； ①由，，可以确定是________位数； ②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是________； ③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是________；由此求得________ （2）已知592704也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【题型13 立方根的实际应用】 【例13】将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【变式13-1】有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 【变式13-2】已知两个正方体水槽的体积分别为和，则大的正方体水槽的棱长比小的正方体水槽的棱长长___________． 【变式13-3】小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【题型14 平方根与立方根的综合】 【例14】已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【变式14-1】已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【变式14-2】已知的立方根是2，的平方根是． （1）求、的值； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【变式14-3】若正数的两个平方根是和，的立方根是，是的整数部分． （1）求、、的值； （2）求的平方根． 【题型15 程序框图问题】 【例15】如图是一个数值转换器，当输入的为64时，输出的是（     ） 　 A． B．4 C． D．8 【变式15-1】在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【变式15-2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是______． 【变式15-3】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【题型16 利用平方根与立方根解方程】 【例16】求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【变式16-1】求x： （1） （2） 【变式16-2】求的值： （1）； （1） 【变式16-3】解下列方程 （1）； （2）． 模块三 课后作业 1．下列结论中，正确的是（  ） A．的平方根是 B．0没有平方根 C．1的算术平方根是1 D．的平方根是 2．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 3．估计的值应在（） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（    ） ①当输出值为时，输入值为3或9； ②当输入值为16时，输出值为； ③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值； ④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出． A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 5．若实数，同时满足，，则________． 6．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 8．求下列各式中的值： （1）； （2）． 9．长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小明同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明． 10．已知一个正数p的两个平方根分别是和． （1）求p和a的值； （2）若，求的算术平方根． 11．已知的平方根为，的立方根为． （1）求的算术平方根； （2）若是的整数部分，求的立方根． 12．已知的整数部分为，小数部分为．求： （1）分别介于哪两个相邻的整数之间，说明理由． （2）求的值． （3）直接比较与的大小：______． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $