板浦高中高二下学期市联考模拟数学试卷及解析

**基本信息** 高二下学期市联考模拟数学卷，覆盖集合、立体几何、概率等模块，通过抽球游戏情境与菱形折叠探究，考查数学眼光观察与逻辑思维能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、二项式定理|第3题结合正方形顶点作向量，考查几何直观| |多选|3/18|线面关系、排列组合|第9题线面平行垂直判断，培养推理意识| |填空|3/15|列联表、函数求值、外接球|第14题四棱锥外接球，提升空间观念| |解答|5/77|概率分布、数列证明、导数应用、椭圆综合、立体几何探究|第15题抽球游戏求概率分布，体现数学建模；第19题菱形折叠动点探究，发展创新意识|

高二下学期市联考模拟数学试卷 命题人：刘珍珍 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={xlx-2<2,x∈Z),B={xENI3x≥x2},则AUB=(（) A.[0,4) B.(0,3) C.{0,1,2,3} D.{1,2,3 【答案】C 2.复数的共轭复数是（) A方 B.+ c.-- D.-+ 【答案】A 3.以正方形的4个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出不相等 的向量个数为() A.8 B.12 C.10 D.6 【答案】A 4二项式（后- 3x)的展开式中的常数项为() A.-540 B.135 C.270 D.540 【答案】B 5.已知XN(1,32),则P(4<X≤7)=()附：若X~N(4,o2),则P(u-0<X≤μ+σ)= 0.6827,P(u-2o<X≤μ+2σ)=0.9545. A.0.4077 B.0.2718 C.0.1359 D.0.0453 【答案】C 6.一个直角梯形的上底边长为3，下底边长为7，高为3，以它的下底边为轴旋转一周， 则所得几何体的全面积为() A.20π B.40π C.34π D.42π 【答案】D 7.一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到 个黑球得3分，设得分为随机变量X,则PX≥6)为() A主 B号 C D.3 【答案】B 8.将直角△ABC沿斜边上的高AD折成120°的二面角，已知AB=4W3,AC=4V6,那么 下列说法不正确的是() A.异面直线AD,BC所成角为90° B.直线AB与平面BCD所成角的正切值V2 C.二面角A-BC-D的正切值为要 D.点C到平面ABD的距离是8 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知a,b表示两条不同的直线，，B表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（) A.若a⊥a,a⊥B,则al川B B.若a⊥B,a⊥a,a/lb,b￠B,则b/lB C.若a//b,b⊥a,则a⊥a D.若al∥a,bca,则a/1b 【答案】ABC 10.现用0,1,2,3,4共5个数字组成四位数，则() A.可以组成84个无重复数字的四位数 B.可以组成404个有重复数字的四位数 C.可以组成54个无重复数字的四位偶数D.可以组成120个百位为奇数的四位偶数 【答案】BD 11.若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则() D D- A. 直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 0.平面AEF截正方体所得的截面面积为号 D.点A1和点D到平面AEF的距离相等 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列 联表，则x2的值为 (精确到0.001) 不及格（人）及格（人）合计（人） 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 合计 21 69 90 【答案】0.559 13.若(a-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,若a2=80,则a+a1+a2+ a3+a4=- 【答案】2 14.已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PBC⊥平面ABCD,PE垂直线段BC于点E, EC=2,AB=6,BC=8,PE=4,则四棱推P-ABCD外接球的表面积是 【答案】101π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 高二(3)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个盒中装有2个红球和3个黑球，随机地从 中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上1个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随 机地取出一个球，若第二次取出的是黑球就获一等奖 (1)求获一等奖的概率； (②)若有5个同学参加游戏，每个同学参加完游戏后盒子中的球都归回到原来状态且互不 影响，用随机变量X表示获奖人数，写出X的分布列和E(X) 16.(本小题15分) 已知数列an满足：an+1=2an+2+1(n∈N),且a1=2. (1)bn=会，求证：数列bn}是等差数列； (2)试求数列an的通项公式和前n项和Sm 5.)）记A=第次玉出6本兰红坊” A二年归职岛的本黑病 B第次秀私味黑城 pe)=pA.))+PA)prez) 二子x子+x名月 2 X心B(5) 0 27 3 4 5 48 246 /623 EK)=5x33 16.1) 2, 三∽十 中」 n0 hre-bn 61ǒ首项.烧第3列 .m2n. z)由线0m=n-2” 由相时湾特了：()x2+2 17.(本小题15分) 已知函数f(x)=ax+2lnx. (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=2处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)设函数g(x)=-x+2,若任意x∈[1，e3],使得f(x)≤g(x),求a的取值范围 【答案】 (1)2x-y-2-2ln2=0 (2)当a≥0时，函数f(x)在(0，+)上单调递增：当a<0时，函数f(x)的增区间为(0，-)， 减区间为(-品，+9： 函数f)的定义域为(0，+四，求导得f四=Q+号 若a≥0，f'x)>0,函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 若a<0,当xe(0,-)时，f()>0,当xe(-忌+∞)时，f)<0, 因此，函数f()在0，-)上单调递增，在(-忌，+∞)上单调递减， 综上：当a≥0时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，函数fx)的增区间为0，-爱)，减区间为(-名+∞). e2+2」 (3)(-∞，- e2] 令i(x)=f(x)-g(x)=(a+1)x+2mx-2, 于是vxe[1,e],乃()≤0恒成立，即a≤2-x-2恒成立， 令F(=2-x-2,求导得F()）=2-2, x2 当x∈[1，e2)时，F'(x)<0, 当x∈(e2,e3]时，F'(x)>0,F(x)在[1，e2)上单调递减，在(e2,e3]上单调递增， 因此，F)m=Fe=-,则有a≤-生， 所以a的取值范围是(-∞-1 18.(本小题17分) 设椭圆c:号+片-1a>b>0)的-个顶点与抛物线2-43y的焦点重合，F1,5分别 是椭圆的左、右焦点，且离心率e=,过椭圆右焦点F2的直线与椭圆C交于N,M俩点. (1)求椭圆C的方程； (I)若0M.0N=-2,求直线的方程； ()若AB是椭圆C经过原点0的弦，MN/AB,求证：为定值。 【答案】(1)解：抛物线x2=4v3y的焦点为(0，√3)， 椭园C:兰+片=1a>b>0)的-个顶点与抛物线r2=4√3y的焦点重合， 椭圆的一个顶点为(0，V3),即b=√3， e=号克c2-a2-b2,a=2, 椭圆的标准方程为+号-1： ()解：由题可知，椭圆的右焦点为(1,0)，直线与椭圆必相交. ①当直线斜率不存在时，M(1,),N(1,-), 0M.0N=1-?=-≠-2，不合题意. ②设存在直线l为y=k(x-1)(k≠0)，且M(x1,y1),N(x2,y2): 由y=k(x-1)代入椭圆方程3x2+4y2=12,得(3+42)x2-8k2x+4k2-12=0, +-限x为-品 8k2 0M.0N=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x12-(x1+x2)+1] -+(尝提照+)=-2 3+4k2 所以k=士V2, 故直线的方程为y=V2(x-1)或y=-V2(x-1); (II)证明：设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4) 由(2)可得：IMW=V1+k21x1-x2l=V(1+k2)[x1+x2)2-4x1x2] a+k32g1=g2 3+4k2 由y=kx与椭圆3x2+4y2=12消去y,并整理得：2=3+ 12 |AB=V1+k21x3-x4=4 3(1+k2) /3+4k2, LA82-=481+k②，3+4k2 “IMWI 3+4212(1+k丙 =4为定值. 当直线斜率不存在时，AB1=2V5wN1=3,-号=4，所以为定值4 19.(本小题17分) 已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC 与BD的交点O,△PDB是等边三角形. B (1)求证：AC1平面PBD; (2)求点D到平面PBC的距离； (③)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出 最大角的正弦值，以及此时线段DE的长 【答案】解：(1)点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, .PO⊥平面ABCD, ACC平面ABCD, ..PO L AC, 四边形ABCD为菱形， .BD⊥AC, PO∩BD=O,PO,BDC平面PBD, .ACI平面PBD; (2)由题意可得△ABD.·BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形， ∴P0=A0=C0=V3,SaDc=×2×V3=V3, :.PC=VP02+C02=√6， .BP BC=2, 5ac-xV6×2-(受2-， 设点D到平面PBC的距离为， 由V-PBc=Vp-BDc得SAPBC方=S△Bc·OP, 即亚=V3×√5，解得形=2 2 5 故点D到平面PBC的距离为V5; 5； (3)设直线PE与平面PBC所成的角为6， AD//BC,AD平面PBC,BCc平面PBC, 所以AD/平面PBC, ∴E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离· 过E作垂线EFI平面PBC交于点F,则日=∠EPF, D 此时sin日=EF=2W压 PE-SPE 要使6最大，则需使PE最小，此时PE⊥AD. 由题意可知：0D=1,0A=√3， P0⊥平面ABCD,且P0=V3, ..PA=VOP2 +0A2=V6,PD=VOP2 +0D2-2, 在△PAD中，由余弦定理可得： COs ZPAD=AP2+AD2-PD2 6+4-4 v6 2AP·AD 2×V6×24’ sim∠PAD=V1-os2ZPAD=y⑩ 4 由三角形面积相等S△PAD= 4P.ADsn∠PAD-AD-PE, 即吃×V6x2xg=x2xPE, 解得：PE= 2 DE=VPm2-PE-√4-空-克sin0- 即点E在线段AD上靠近点D的4等分点处，此时sin9=青，DE= 高二下学期市联考模拟数学试卷 命题人：刘珍珍 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.复数的共轭复数是(    ) A. B. C. D. 3.以正方形的个顶点中某一顶点为起点、另一个顶点为终点作向量，可以作出不相等的向量个数为（ ） A. B. C. D. 6 4.二项式的展开式中的常数项为(    ) A. B. C. D. 5.已知，则(    )附：若，则，． A. B. C. D. 6.一个直角梯形的上底边长为，下底边长为，高为，以它的下底边为轴旋转一周，则所得几何体的全面积为(    ) A. B. C. D. 7.一个袋子中装有个白球，个黑球，从中任选个球，取到一个白球得分，取到一个黑球得分，设得分为随机变量，则为(    ) A. B. C. D. 8.将直角沿斜边上的高折成的二面角，已知，，那么下列说法不正确的是(    ) A. 异面直线，所成角为 B. 直线与平面所成角的正切值 C. 二面角的正切值为 D. 点到平面的距离是 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10.现用共个数字组成四位数，则(    ) A. 可以组成个无重复数字的四位数 B. 可以组成个有重复数字的四位数 C. 可以组成个无重复数字的四位偶数 D. 可以组成个百位为奇数的四位偶数 11.若正方体的棱长为，点，，分别为，，的中点．则(    ) A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点和点到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的列联表，则的值为           精确到 参考公式：，其中 13.若，若，则          ． 14.已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，垂直线段于点，，，，，则四棱锥外接球的表面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 高二班的联欢会上设计了一项游戏：在一个盒中装有个红球和个黑球，随机地从中抽取一个球，观察其颜色后放回，并加上个与取出的球同色的球，再第二次从盒中随机地取出一个球，若第二次取出的是黑球就获一等奖. 求获一等奖的概率； 若有5个同学参加游戏，每个同学参加完游戏后盒子中的球都放回到原来状态且互不影响，用随机变量表示获一等奖人数，写出的分布列和． 16. 本小题分 已知数列满足：，且. (1) ，求证：数列是等差数列； (2)试求数列的通项公式和前项和. 17.本小题分 已知函数． 当时，求函数的图象在处的切线方程； 讨论的单调性 设函数，若任意，使得，求的取值范围 18.本小题分 设椭圆：的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点． Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ若，求直线的方程； Ⅲ若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值． 19.本小题分 已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． 求证：平面； 求点到平面的距离； 若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $