浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期数学期末专题复习概率统计试卷

**基本信息** 以祖冲之圆周率密码设置、盲盒抽取、体测成绩分析等真实情境为载体，覆盖排列组合、二项式定理、概率计算、统计量分析等核心知识，注重数学眼光观察现实、数学思维逻辑推理、数学语言表达问题的素养考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|4|排列（第1题）、概率（第5题）、统计方差（第9题）|结合文化传承（祖冲之圆周率）设计基础题| |多选题|3|二项式定理（第3题）、事件独立性（第6题）、统计量性质（第10题）|多角度考查概念辨析与性质应用| |填空题|2|名额分配（第2题）、二项式系数（第4题）|聚焦数学运算与简单应用| |解答题|2|概率分布列（第12题）、递推关系证明（第13题）|综合现实问题（体测数据）与逻辑推理，体现能力梯度|

高二下期末复习 概率统计 1．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 2．某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 3．（多选）在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 4．（1）的展开式中二项式系数最大的项是________； （2）已知，则的值为________． 5．共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）盒子里有2个白球，2个黑球和1个红球，从中不放回地依次取出2个球.设事件“第1次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第2次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（ ） A． B． C．与相互独立 D．与是对立事件 7．记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 8．某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，则________． 9．A组数据“”和B组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 10．（多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 11．现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 12．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望． 13．设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 课后练习 1．（多选）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．的展开式中，不存在连续三项成等比数列 2．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 3．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 4．（多选）研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（    ） A．经验回归直线至少经过点，，中的一个 B．若所有样本点都在直线，则这组样本数据的样本相关系数为1 C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越小，模型的拟合效果越差 5．4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有（    ） A．240种 B．2880种 C．720种 D．960种 6．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 7．蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 (1)根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． (2)据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期末复习 概率统计 1．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（   ）个． A．180 B．240 C．300 D．360 【答案】C 【分析】利用特殊位置优先处理及相同元素定位计算得到答案. 【详解】先排数字9得出有种， 因为有两个1，所以总数有种. 故选：C. 2．某校的艺术节活动中，高二年级有4个参加歌唱展示的名额和5个参加书画展示的名额，将这些名额分配给高二年级的1，2，3三个班，则每个班都能够获得歌唱展示名额和书画展示名额的分配方案有________种． 【答案】18 【分析】先分好指标，由于指标是相同元素，所以在分配时，相同数量的指标分配就是组合问题，也可以先分配指标数单类的给一个班，以此计数即可. 【详解】每个班都要分到名额，则4个参加歌唱展示的名额可分为， 5个参加书画展示的名额可分为或， 所以分配方案为种． 故答案为：18 3．（多选）在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合二项展开式的性质，以及展开式的通项，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A，二项展开式中的所有奇数项的二项式系数和为，所以A正确； 对于B，令，可得二项展开式中所有的系数和为，所以B正确； 对于C，由二项式的二项展开式中有11项， 其中展开式中的二项式系数的最大为中间项，即第6项的二项式系数最大，所以C不正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 令，解得，所以二项展开式中的常数项是第9项，所以D正确. 故选：ABD. 4．（1）的展开式中二项式系数最大的项是________； （2）已知，则的值为________． 【答案】（1）和；（2） 【分析】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大，根据二项式展开式的通项公式即可求解； （2）根据题意利用赋值法，令得①，令得②，①②得③，①③即可求解. 【详解】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大， ∴的展开式中二项式系数最大的项为，， ∴的展开式中二项式系数最大的项为和. （2）∵， ∴令得①， 令得②， ①②得，∴③， ①③得. 即的值为. 5．共有6个外观完全相同的盲盒，每个盲盒中分别装有1个玩偶，共有款玩偶1个，款玩偶2个，款玩偶3个，游戏参与者随机打开盲盒；一次只能开一个，则装有款玩偶的盲盒最先被全部打开的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件知装有款玩偶的盲盒最先被全部打开包含：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶；从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶，再利用古典概率公式、互斥事件的概率公式及排列组合，即可求解. 【详解】记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，取到的全是款玩偶， 记事件：从6个外观完全相同的盲盒中任取个，前次有次取到款玩偶，一次取到款玩偶，第四次取到款玩偶， 记事件：装有款玩偶的盲盒最先被全部打开， 易知，， 则， 故选：B. 6．（多选）盒子里有2个白球，2个黑球和1个红球，从中不放回地依次取出2个球.设事件“第1次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第2次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（ ） A． B． C．与相互独立 D．与是对立事件 【答案】AB 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个白球为个黑球为个红球为，则样本空间为： ， 共20个基本事件. 事件，共8个基本事件. 事件，共4个基本事件. 事件，共8个基本事件. 事件共8个基本事件. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，又，故与不相互独立，故C错误； 对于D，注意到，但，所以与互斥而不对立，故D错误. 故选：AB. 7．记为事件A的对立事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式，求出，根据事件与事件的关系，进而求出，根据概率加法公式求出； 【详解】由题意得，， 因为，得， 则. 故选：C. 8．某同学投篮命中率为，每次投篮相互独立，设随机变量为投篮次命中的次数，记，则________． 解：因为， 记是奇数时的概率和为，是偶数时的概率和为， ， ， 可得． 9．A组数据“”和B组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 10．（多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平均值、中位数、极差、方差的概念与性质逐项分析求解. 【详解】根据平均数性质，，故A正确； 中位数是按大小排序后位于中间位置的数值，是线性变换，新数据排序位置与原数据一致，但中位数会随变换调整：若是原中位数，则新中位数​，仅当时成立，不一定总是相等，因此B错误； 极差为最大值与最小值的差，设原数据最大值为、最小值为，则，变换后，的最大值为​，最小值为​，所以​，因此C正确； 是线性变换，根据方差性质，，因此D错误. 11．现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 12．某高中实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 【分析】（1）根据题意，设出事件，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； 【详解】（1）解：设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为. 13．设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. (1)当，时，求游戏成功的概率； (2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； (3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】(1) (2)（且），证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上的硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【详解】（1）当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； （2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比的等比数列. （3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 课后练习 1．（多选）已知，则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．的展开式中，不存在连续三项成等比数列 【答案】ACD 【分析】由组合数的公式可判断A项，再由二项式的展开式的性质可判断BCD选项． 【详解】由，得，得， 解得或（舍），所以A正确； 由，可以在二项展开式中令， 有，所以或0，故B错误； C.在二项展开式中令，有，故C正确； D.，其展开式的通项为，， ①若，则显然D正确； ②若，展开式中存在连续三项成等比数列， 则必存在整数使得 ， 矛盾，故假设错误， 综上，D正确. 2．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 3．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（    ） A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55 【答案】B 【分析】由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可. 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 4．（多选）研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（    ） A．经验回归直线至少经过点，，中的一个 B．若所有样本点都在直线，则这组样本数据的样本相关系数为1 C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越小，模型的拟合效果越差 【答案】BD 【分析】根据成对数据的线性相关关系的样本相关系数和决定系数的定义以及回归方程的概念求解. 【详解】对A，经验回归直线可以不经过点，，中的任意一个，A错误； 对B，因为所有样本点都在直线， 所以样本相关系数为1，B正确； 对C，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，C错误； 对D，用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越小，模型的拟合效果越差，D正确； 故选:BD. 5．4名学生和3位老师排成一排合影，恰有两位老师相邻的不同排法有（    ） A．240种 B．2880种 C．720种 D．960种 【答案】B 【分析】先将所有学生排列，然后将3位老师中2位捆绑一起，再与另一个老师插入到2个空中，根据分步乘法原理即可计算结果． 【详解】将所有学生先排列，有种排法， 然后将3位老师中2位捆绑一起，有种方法， 再与另一个老师插入到2个空中，有种方法， 共有种排法， 故选：B 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查分步乘法原理，考查捆绑法，插空法来解决问题，考查了学生逻辑推理和运算求解能力. 6．为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（   ） A．28 B．24 C．32 D．27 【答案】D 【分析】由题可得甲乙两人通过训练的概率表达式，结合基本不等式及二次函数知识可得两人通过训练概率的最大值，再结合甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，及二项分布期望表达式可得答案. 【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 7．蝗虫会对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关．现收集到蝗虫的产卵数（单位：个）和温度（单位：）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型：①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 整理收集到的数据，得到下表： 24 2.9 646 168 422688 50.4 70308 表中 (1)根据残差图，模型 （填“①”或“②”）的拟合效果更好，说明理由．根据所选的模型，利用上表中的数据，求出关于的回归方程． (2)据统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年内恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】(1)①，理由见解析；. (2)①；②，． 【分析】（1）根据残差可选模型①，再根据题设中的数据和公式可求回归方程； （2）①根据二项分布可求，利用导数可求其最大值；②利用二项分布可求期望和方差. 【详解】（1）①理由如下：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状区域宽度窄，所以模型①的拟合效果更好． 令，则，， 所以， 因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为． （2）①由题意得，， 所以 令，得， 故当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以取得最大值时对应的概率． ②由①知，当时，，即每年需要人工防治的概率为， 且服从二项分布．所以， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $