精品解析：内蒙古呼伦贝尔阿荣旗阿仑中学2022-2023学年九年级下学期 开学检测数学 试题

阿荣旗阿伦中学2022—2023学年度下学期九年级开学初学科抽测 数学试卷 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确，共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2021 C. D. 2. 下列计算正确的是 （ ） A. a2＋a2＝a4 B. (a2)3＝a5 C. a＋2＝2a D. (ab)3＝a3b3 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式 B. 数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定 5. 如图所示为某一物体的主视图，请你判断它是下面（ ）组物体的主视图． A. B. C. D. 6. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 7. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 、两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为5千米/时.若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是的外接圆的直径，，，则的长等于（ ） A. 5cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm 11. 如图，在锐角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 12. 如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围是_______． 14. 因式分解：_____． 15. 用科学记数法表示：0.000000052＝________． 16. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 17. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________． 三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18. 计算：． 19. 解方程：． 20. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)． 21. 如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上． （1）求证：四边形ABFE为平行四边形； （2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE的周长． 四、（本题7分） 22. 在一个不透明的袋中装有3个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数． （1）求组成的两位数是奇数的概率； （2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 五、（本题7分） 23. 为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数； （4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数． 六、（本题8分） 24. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 七、（本题10分） 25. 某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示： x 22 24 26 28 y 90 80 70 60 （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？ （3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？ 八、（本题13分） 26. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿荣旗阿伦中学2022—2023学年度下学期九年级开学初学科抽测 数学试卷 时间：120分钟 分数：120分 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确，共12小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2021 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用倒数的定义求得答案． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟记定义是解题关键． 2. 下列计算正确的是 （ ） A. a2＋a2＝a4 B. (a2)3＝a5 C. a＋2＝2a D. (ab)3＝a3b3 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A. a2＋a2＝2a2，故该选项错误； B. (a2)3＝a6 ，故该选项错误； C. a与2不能合并，故该选项错误； D. (ab)3＝a3b3，故该选项正确. 故选D. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法与除法，幂的乘方，积的乘方以及简单的混合运算．理清指数的变化是解题的关键 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项图形进行逐一判断即可． 【详解】解：选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；  选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  选项：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式 B. 数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 D. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为，，则甲的成绩比乙的稳定 【答案】D 【解析】 【分析】全面调查适合范围较适中的对象；中位数必须先排序；中奖概率是 ，表示的是抽的次数越多越接近中奖概率；方差是用来形容数据的波动程度，数字越大波动越大，由此即可求出答案． 【详解】解：．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，范围太大，不适合用全面调查，不符合题意； ． ， ， ， ， ，排序后的中位数是 ，不符合题意； C．中奖概率是指抽的次数越多越接近，不符合题意； ．甲的方差小于乙的方差，说明甲稳定，符合题意； 故选： ． 【点睛】本题主要考查对命题的判断，判断命题的真假，主要是对定理的理解，所以掌握定理、性质是解题的关键． 5. 如图所示为某一物体的主视图，请你判断它是下面（ ）组物体的主视图． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从该组合体的主视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有两个正方体，第二列有三个正方体，第三列有一个，据此找到答案即可． 【详解】解：从该组合体的主视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有两个正方体，第二列有三个正方体，第三列有一个，可得只有选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形． 6. 实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ） A. 1 B. 2 C. 2a D. 1﹣2a 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴得∶ 0<a<1，得到a>0， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可． 【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0<a<1， ∴a>0， a-1<0， ∴原式=|a|+1+1-a =a+1+1- a =2． 故选∶B． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握是解题的关键． 7. 如图，中，为的角平分线，为的高，，， 那么是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由题意可得，再求出，由角平分线的定义可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， ∵解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x2， ∴不等式组的解集为x2， 在数轴上表示为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 9. 、两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为5千米/时.若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该轮船在静水中的速度为千米/时，则轮船顺流速度千米/时，逆流速度千米/时，根据时间=路程速度，表示出来回总时间9小时即可. 【详解】解：设该轮船在静水中的速度为千米/时，则轮船顺流速度千米/时，逆流速度千米/时， 由题意得，. 故选：A. 【点睛】本题考查了分式方程解决问题中的行程问题，熟练表示出轮船顺逆流速度，找到数量关系是解答关键. 10. 如图，已知是的外接圆的直径，，，则的长等于（ ） A. 5cm B. 6cm C. 10cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】直径所对的圆周角是直角，以及同弧所对的圆周角相等，根据这两条性质，把cosB=转化为cos∠ADC，从而求出CD，进而用勾股定理求AC． 【详解】解：由圆周角定理知，∠D=∠B，∴cosD=cosB==． 又∵AD=13，∴CD=5． 又∵是的外接圆的直径 ∴∠ACD=90° ∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC= 12． 故选D． 【点睛】本题考查了圆周角定理和余弦的概念，根据勾股定理求解． 11. 如图，在锐角ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点H，交于点，作于点，由此可得为所求最小值．由角平分线的性质可证明出线段BH的长所求最小值．根据题意可证明出为等腰直角三角形．最后利用三角函数即可求出BH的长． 【详解】如图，作于点H，交于点，作于点，则为所求最小值． 由角平分线的性质可知， ∴，即长为所求最小值． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． 故选B． 【点睛】考查角平分线的性质，勾股定理以及轴对称-最短路线问题，找出BM+MN的最小值的点是解题的关键． 12. 如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于(-1,0)， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 函数y＝的自变量x的取值范围是_______． 【答案】x≤1，且x≠0 【解析】 【分析】令被开发数大于等于0，分母不等于0，借的即可． 【详解】解：3-3x≥0且x≠0, 解得x≤1，且x≠0． 故答案为：x≤1，且x≠0． 【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，和分式有意义的条件，掌握这些条件是解题的关键． 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 15. 用科学记数法表示：0.000000052＝________． 【答案】． 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 16. 用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 17. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k与几何面积的关系，列方程可以直接求出k 的值． 【详解】解：过点A、B分别作y轴垂线，垂足为D、E， 则三角形APB的面积等于四边形ABED面积的一半， 根据反比例函数系数k与几何面积的关系可列方程： ， 解得：， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数k与几何面积的关系，熟悉反比例函数系数k代表的几何意义是解题关键． 三、解答题（本题4个小题，每小题6分，共24分） 18. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，代入特殊角的三角函数值，再加减运算即可求解． 【详解】解： ． 19. 解方程：． 【答案】 无解 【解析】 【详解】解：原方程为 ， 方程两边同乘最简公分母，得   去括号得  移项、合并同类项得  解得 检验：当时，， 所以是原分式方程的增根， 因此原分式方程无解 ． 20. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据：1.414， 1.732)． 【答案】无人机飞行的高度约为14米． 【解析】 【分析】延长PQ，BA，相交于点E，根据∠BQE＝45°可设BE＝QE＝x，进而可分别表示出PE＝x＋5，AE＝x－3，再根据tan∠APE＝，∠APE＝30°即可列出方程，由此求解即可． 【详解】解：如图，延长PQ，BA，相交于点E， 由题意可得：AB⊥PQ，∠E＝90°， 又∵∠BQE＝45°， ∴BE＝QE， 设BE＝QE＝x， ∵PQ＝5，AB＝3， ∴PE＝x＋5，AE＝x－3， ∵∠E＝90°， ∴tan∠APE＝， ∵∠APE＝30°， ∴tan30°＝， 解得：x＝≈14， 答：无人机飞行的高度约为14米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，难度适中，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形． 21. 如图，将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上． （1）求证：四边形ABFE为平行四边形； （2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得到EF=ED，∠CFE=∠CDE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的判定得到AE∥BF，即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到EF=AB=4．求得ED=4，得到AE=BF=6-4=2，于是得到结论． 【详解】（1）证明：∵将▱ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，∴EF=ED，∠CFE=∠CDE， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B=∠D，∴AE∥BF，∠B=∠CFE， ∴AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形； （2）解：∵四边形ABFE为平行四边形，∴EF=AB=4， ∵EF=ED，∴ED=4，∴AE=BF=6﹣4=2，∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质． 四、（本题7分） 22. 在一个不透明的袋中装有3个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数． （1）求组成的两位数是奇数的概率； （2）小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】（1）；（2）不公平；游戏规则见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）首先画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是奇数的情况，再根据概率公式即可求得组成的两位数是奇数的概率； （2）分别求得小明得3分与小华得3分的概率，再比较概率的大小，即可得出结论． 试题解析：（1）画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，组成的两位数是奇数的有13，23，21，31共4种情况，两位数是奇数的概率为； （2）∵组成的两位数是4的倍数的有2种情况， ∴P（小明得3分）=，P（小华得3分）=， ∴该游戏不公平． 可改游戏规则为：组成的两位数是4的倍数，小明得2分，否则小华得1分． 考点：1.游戏公平性；2.列表法与树状图法． 五、（本题7分） 23. 为进一步推广“阳光体育”大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D跳绳四种活动项目的学生喜欢情况，进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1、图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题： （1）在这项调查中，共调查了多少名学生？ （2）请计算本项调查中喜欢“跑步”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （3）在扇形统计图，请计算本项调查中喜欢“跑步”部分所对应的圆心角的度数； （4）如果全校共1200名同学，请你估算喜欢“跑步”的学生人数． 【答案】（1）150名；（2）答案见解析；（3）144°；（4）480名 【解析】 【分析】（1）根据喜欢A项目的人数是15，所占的百分比是10%即可求得调查的总人数； （2）利用总人数减去其它项的人数即可求得喜欢“跑步”的学生人数，然后根据百分比的意义求得百分比； （3）利用360°乘以对应的百分比即可求解； （4）利用总人数乘以对应的百分比即可． 【详解】（1）共调查了15÷10%=150名学生； （2）本项调查中喜欢“跑步”的学生人数是；150﹣15﹣45﹣30=60(人)， 所占百分比是：100%=40%， （3）“跑步”部分所对应的圆心角的度数是：360°×40%=144°； （4）全校喜欢“跑步”的学生人数约是：1200×40%=480． 【点睛】本题考查了条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 六、（本题8分） 24. 已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． （1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线； （2）连接，证明得出，设，，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是的直径， ， 的半径为，， ，， ， ∴， ， ， ， 设，， 在中，， 即，解得，， ． 七、（本题10分） 25. 某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量y（台）与销售单价x（元）的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示： x 22 24 26 28 y 90 80 70 60 （1）请直接写出y与x之间的函数关系式； （2）为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？ （3）设超市每月台灯销售利润为ω（元），求ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大？最大值是多少？ 【答案】（1）y=﹣5x+200；（2）这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个；（3）当x=30时，ω取得最大值，最大值是500 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的方程，从而可以解答本题； （3）根据题意可以求得ω与x之间的函数关系式，当x取何值时，ω的值最大，最大值是多少． 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b， ，得， 即y与x之间的函数关系式是y=-5x+200； （2）由题意可得， （x-20）（-5x+200）=375， 解得，x1=25，x2=35（舍去）， y=-5×25+200=75， 答：这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个； （3）由题意可得， ω=（x-20）（-5x+200）=-5（x-30）2+500， ∵20≤x≤32， ∴当x=30时，ω取得最大值，最大值是500． 【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 八、（本题13分） 26. 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2），；（3）存在，N，，(2，0)， 【解析】 【分析】（1）由OA=2，OC=6得A、C两点的坐标，把两点的坐标代入函数解析式中，得关是于b、c的方程组，解方程组即可得函数解析式； （2）连接OE，设点E的坐标为（m,m2﹣m﹣6），由S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC，可得关于m的二次函数，从而可求得△BCE的面积的最大值，即此时点E的坐标； （3）分AC是菱形的边和对角线两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵OA＝2，OC＝6， ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）， 将A（﹣2，0），C（0，﹣6），代入y＝x2+bx+c中， 得， 解得：b＝﹣1，c＝﹣6， ∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣x﹣6． （2）在函数y＝x2﹣x﹣6中，令y＝0得： x2﹣x﹣6＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝3， ∴B（3，0）． 如图1，连接OE， 设点E（m,m2﹣m﹣6）， 因点E在第四象限，所以m>0，， S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC ＝×6m+×3（﹣m2+m+6）﹣×3×6 ＝ ＝， 根据二次函数的图象及性质可知，当时，△BCE的面积有最大值， 此时点E的坐标为． （3）存在；点N坐标为，，（2，0），． ∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）， ∴AC＝． ①若AC为菱形的边长，如图2， 则MN∥AC，且MN＝AC＝． N1()，N2()，N3(2，0)． ②若AC为菱形的对角线，如图3， 则AN4∥CM4，AN4＝CN4， 设N4（﹣2，n）， 则﹣n＝， 解得：n＝． ∴N4（﹣2，）． 综上所述，点N坐标为，，（2，0）， 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求二次函数的解析式，面积的最值，菱形的存在性问题，求三角形面积的最值，关键是运用割补的方法，对于菱形存在性问题，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $