第六章平面向量综合测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版必修二平面向量综合测试 一、单选题 1．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 4．若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．在 中，点 、 、 分别在直线 、 、 上，设，，，其中 、 、 为实数，则 、 、 三点共线的充要条件是（    ）    A． B． C． D． 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，，则（    ） A． B． C． D．3 8．在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足下列条件的三角形有唯一解的是（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得 11．已知中，与均为锐角，的面积为，且，则（） A． B． C．周长为 D． 三、填空题 12．若向量，，且，则__________． 13．司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米．    14．已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 四、解答题 15．已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数 的值； (3)若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 16．已知内角，， 的对边分别为 ， ，，若，且． (1)求角 及边的值； (2)求的最大值． 17．已知在中，是边的中点，且，设与交于点.记,. (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求，的值. 18．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且． (1)求的面积； (2)若为的中线，且，判断的形状． 19．苏仙岭又称“天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的处，此时他测得山顶的仰角为.他沿着东偏南的方向前行200米后到达点处，此时他测得山顶点的仰角为.假设山顶在水平面上的投影为点，且点位于点的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计. (1)求山高； (2)已知景区内点处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为.求山脚下缆车上车点到点的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A C A A D ACD CD 题号 11 答案 ACD 1．C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 2．D 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 3．A 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 4．A 【详解】， 由，可得，两边取平方， 所以，解得，即， 又由，可得， 则，， 所以 ， 又， ， 设向量与的夹角为，， 则， 所以. 5．C 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 6．A 【详解】由，可得， 即， 由，可得， 即， 则 由，可得， 即， 则 、 、 三点共线 存在实数 ，使得， 即， 因为不共线，由平面向量基本定理可得： ， 解得：，代入， 得：， 即 化简得： ， 即 . 7．A 【详解】由三角形面积公式得，且的面积为， 可得，变形可得，且， 由余弦定理得，得， 故. 8．D 【详解】，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：     ，， 设，则，，则，. 令，则，. ； 的最小值为，，，解得. . 9．ACD 【详解】A：由正弦定理，可知， 因为，所以，所以角B为锐角，所以此时三角形有唯一解； B：由正弦定理，可知， 此时，所以，因此角B为锐角或钝角，所以此时三角形没有唯一解； C：由余弦定理，得，所以此时三角形有唯一解； D：因为，所以这三边能确定唯一三角形. 10．CD 【详解】由图可得，. 对于A，，故A错误； 对于B，在上的投影向量为，故B错误； 对于C，，， 当时，得，解得，故C正确； 对于D，，， 当时，得，解得，故D正确. 11．ACD 【详解】由，可得. 因为， 所以， 则， 即. 因为与均为锐角，所以 当时，此时，. 当时，， 此时，，则， 且，，则， 此时与不能同时成立，同理，也不成立， 综上 ， 选项A正确. 因为，则，由可得成立， 又，则， 成立， 此时， 由正弦定理：，，即， 故. ，，即，所以，，选项B错误. ，选项D正确. 因为， 所以，所以周长选项C正确. 12． 【详解】 已知，，且，则有 ， 整理得，解得. 13． 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 14． 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 15．(1) (2) (3)或 【详解】（1）， 则； （2）， ， 解得； （3）向量与向量的夹角为锐角， ， 解得或， 又无解，即向量与向量不共线， 故实数的取值范围为或． 16．(1)， (2)8 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得． 因为，解得． 由，结合正弦定理得， 所以． （2）由（1）知， 两边都加上，可得， 即，当且仅当时等号成立， 所以时，取得最大值为8． 17．(1)，， (2)因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以； (3)，. 【详解】（1）， ， . （2）略 （3）因为，， 由（1），， 所以，， 所以， 故，， 所以，. 18．(1)1 (2)为等腰直角三角形， 【详解】（1）， 其中，所以，， 解得， ，由正弦定理得， 又，所以， 所以； （2）为的中线，，故， ，故， ，故，所以， 在中，由余弦定理得， 即，化简得， 联立与得或， 若，此时， 为等腰直角三角形； 若，此时， 为等腰直角三角形； 综上，为等腰直角三角形 19．(1)200米； (2)米. 【详解】（1）解：如图，在中，设， 由题意知，且, 由余弦定理， 代入得： 化简得：，即 解得或 由“点位于点的南偏西方向”可知，必在的东北方向，从而的横坐标应大于的横坐标. 由点向东位移为米，可得，即. 故只能取，所以山高米.    （2）解：由第（1）问知，山高米. 因为缆车在点处转换坡度，故两段缆车各上升100米. 设第一段（倾斜角）的水平距离为，即， 第二段（倾斜角）的水平距离为，即 则有：，，所以，； 因此，山脚下缆车上车点到点的距离为： 利用常用三角函数值：， 得 故山脚下缆车上车点到点的距离为米. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $