22.1 函数的概念（第2课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

这是一份初中数学人教版八年级下册“函数的概念（第2课时）”同步教学课件，从常量与变量复习切入，通过汽车行驶等四个实例探究变量对应关系，结合表格、解析式等呈现方式引出函数定义，辅以例题精讲和课堂练习构建学习支架。 资料特色突出，以生活实例为载体，通过潮汐图、存款利率表等培养学生用数学眼光观察现实世界，归纳变量对应特征发展数学思维，用表格、解析式、图象多种方式表达函数关系强化数学语言。实例贴近生活且步骤清晰，能帮助学生理解函数本质提升抽象能力，为教师提供结构化教学流程助力高效教学。

函数的概念（第2课时） 数学人教版八年级下册 1 我们学习了常量和变量的概念，了解到：在一个变化过程中，有的量 ，这样的量叫作常量；有的量 ，这样的量叫作变量，一个变化过程中可能会涉及到 变量． 问题 数值始终不变 数值会发生变化 多个 下面这四个问题都包含两个变量．请同学们思考：这两个变量之间是否会互相影响？如果给定其中一个变量的值，另一个变量是不是也跟着被确定了？这种关系能否清晰地表示出来？ 问题 （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．  （2）电影票的售价为 40 元/张．一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元． （3）圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，圆的半径为 r cm，面积为 S cm2． （4）长方体的体积为 1 000 cm³，长方体的底面积为 S cm2， 高为 h cm． 问题1 下列变化过程中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ （1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h ，行驶路程为 s km． t / h 1 2 … 5 s 与 t 之间的关系 s / km 60 120 s＝60t 300 … t 每取定一个值， s 就有唯一确定的值与之对应． ×60 ×60 ×60 问题1 （2）电影票的售价为 40 元/张．一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元． 售出票数 x /张 5 10 20 30 y 与 x 之间的关系 票房收入 y /元 200 400 800 1200 y＝40x ×40 ×40 ×40 ×40 下列变化过程中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ x 每取定一个值， y 就有唯一确定的值与之对应． 问题1 （3）圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，圆的半径为 r cm ，圆的面积为 S cm2． r / cm 10 20 30 … S 与 r 之间的关系 S / cm2 100π 400π 900π … S＝πr2 ×πr ×πr ×πr 下列变化过程中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ r 每取定一个值， S 就有唯一确定的值与之对应． 问题1 （4）长方体的体积为 1 000 cm³，长方体的底面积为 S cm2， 高为 h cm． S / cm2 50 100 125 … S 与 h 之间的关系 h / cm 20 10 8 … h＝ 下列变化过程中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系？ S 每取定一个值， h 就有唯一确定的值与之对应． 这四个变化过程有什么共同特征？ 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应． ① 有对应值； ② 对应值只有一个． 问题2 潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象．我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量 t 与 h．这两个变量之间有什么关系？ 对于每一个确定的时间 t，都有唯一确定的潮高 h 与之对应． 问题3 某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如下表所示，存款期限与年利率分别记作变量 x 和 y．这两个变量之间有什么关系？ 对于每一个确定的存款期限 x，年利率 y 都有唯一确定的值与之对应． 问题4 上述问题中，变量之间的对应关系虽然是用不同方法表示出来的（解析式、图象、表格），但是，两个变量之间都有着共同的特点，你能用一句话归纳吗？ 两个变量中，一个变量每取一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应． 新知 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值． 上述问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？ 分析 时间 t 是自变量，路程 s 是 t 的函数．当自变量 t＝1 时，函数值 s＝60；当自变量 t＝2 时，函数值 s＝120． 问题1（1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h ，行驶路程为 s km． s＝60t 上述问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？ 分析 时间 t 是自变量，潮高 h 是 t 的函数．当自变量 t＝6 时，函数值 h＝200；当自变量 t＝24 时，函数值 h＝300． 问题2 上述问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？ 分析 存款期限 x 是自变量，年利率 y 是 x 的函数．当自变量 x＝6 时，函数值 y＝1.35；当自变量 x＝24 时，函数值 y＝1.65． 问题3 上述问题中哪些是自变量？哪些是自变量的函数？ 问题1（2）电影票的售价为 40 元/张．一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元． （3）圆形水波慢慢地扩大．在这一过程中，圆的半径为 r cm ，圆的面积为 S cm2． （4）长方体的体积为 1 000 cm³，长方体的底面积为 S cm2， 高为 h cm． y＝40x，售出票数 x 是自变量，y 是 x 的函数； S＝πr2，圆的半径 r 是自变量，S 是 r 的函数； ，长方体的底面积 S 是自变量，h 是 S 的函数． h＝ 问题5 函数与函数值的区别与联系？ 函数 函数值 本质 联系 两个变量之间的对应关系 具体数值 一个函数可能有许多不同的函数值 分析 函数的定义的关键在于：对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应． 例1 下列关系式中，y 是 x 的函数的是______________． （1）y2＝x； （2） （3） （4）y＝x2； （5）y＝3x＋1． 例1 下列关系式中，y 是 x 的函数的是______________． （1）y2＝x； （2） （3） （4）y＝x2； （5）y＝3x＋1． 解：（1）当 x＝1 时，y2＝1，所以 y＝±1．此时，自变量 x 取一个值时，y 有两个值与之对应，不符合函数的定义； （2）当 x＝1 时，y＝1；x＝－1时，y＝1；……，不管自变量 x 取什么值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义； √ × 例1 下列关系式中，y 是 x 的函数的是______________． （1）y2＝x； （2） （3） （4）y＝x2； （5）y＝3x＋1． 解：（3）当 x＝1 时， y＝±1．此时，自变量 x 取一个值时，y 有两个值与之对应，不符合函数的定义； （4）当 x＝1 时，y＝1；x＝－1时，y＝1；……，不管自变量 x 取什么值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义； √ × √ × 例1 下列关系式中，y 是 x 的函数的是______________． （1）y2＝x； （2） （3） （4）y＝x2； （5）y＝3x＋1． 解：（5）当 x＝1 时，y＝4；x＝－1时，y＝－2；……，不管自变量 x 取哪一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义． √ × √ × √ （2）（4）（5） 归纳 判断函数关系的步骤 （1）是否在同一个变化过程中； （2）在这个变化过程中是否有两个变量； （3）其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应． 例2 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随 x 的变化而变化； （2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度 h 随时间 t 的变化而 变化； 解：（1）是函数关系，正方形的边长 x 是自变量，面积 S 是 x 的函数． （2）是函数关系，时间 t 是自变量，游客离地面的高度 h 是 t 的函数． 一个变量取任意值时，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应． （3）某天不同时刻的气温如图所示，气温 T 随时间 t 的变化而变化； 解：（3）是函数关系，时间 t 是自变量，气温 T 是 t 的函数． 例2 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量 y 随月份 x 的变化而变化． 解：（4）是函数关系，月份 x 是自变量，降水量 y 是 x 的函数． 例2 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． 归纳 识别函数关系中自变量的方法 （1）从关系式上判断，在变化过程中居于主动地位的变量是自变量； （2）从图象上判断，一般情况，横轴上的变量是自变量； （3）从表格上判断，一般情况，上方的变量是自变量． 1. 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系．如果是，指出其中的自变量与函数． （1）小明带了 30 元钱去某商店购买练习本，练习本的单价为 2 元/本，小明购买了 x 本，剩余 y 元； （2）一个圆柱的体积为 100π cm3，底面圆的半径为 R cm，高 h 随着底面半径 R 的变化而变化． 解：（1）是函数关系，x 是自变量，y 是 x 的函数． （2）是函数关系，R 是自变量，h 是 R 的函数． 2. 举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数． 解：答案不唯一，如圆的周长随圆的半径的变化而变化，圆的半径是自变量，圆的周长是圆的半径的函数． 函数的概念 自变量 函数 函数值 在一个变化过程中，居于主动地位的变量叫作自变量 在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数 当 x＝a 时 y＝b，那么 b 叫作自变量的值为 a 时的函数值 $