湖北省沙市中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

**基本信息** 2024级6月月考数学试卷以导数、概率统计、数列等知识为载体，通过通信信号、晨跑计划等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，体现用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|导数几何意义、等比数列充要条件、双曲线离心率|结合科技情境（通信信号）考查概率应用| |多选题|3|杨辉三角、正态分布、牛顿数列|融入数学文化（杨辉三角）与科学史（牛顿法）| |填空题|3|函数单调性、条件概率、等比数列唯一性|注重数学思维严谨性（数列唯一性）| |解答题|5|数列综合、立体几何面面垂直、椭圆面积、概率递推、导数证明|设计晨跑计划等建模问题，梯度覆盖基础与创新应用|

2026高二下6月月考 一．单选题 1.设为可导函数，，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由导数的几何意义，点处的切线斜率为， 因为时，， 所以， 所以在点处的切线斜率为， 2. 若随机变量的分布列为 0 1 2 0.3 0.4 则（   ） A．0.3 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】应用分布列性质计算得出参数，应用数学期望公式计算结合数学期望性质计算求解. 【解答过程】因为分布列得出，所以， 所以， 所以. 3.设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】依题，“为等比数列”，所以， 得，化简得，解得， ， 所以“”是“为等比数列”的充要条件. 4.已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．变量y与x是负相关关系 C．该回归直线必过点 D．x增加1个单位，y一定增加2个单位 【答案】C 【解析】依题意，， 由，解得，A错误； 回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误； 由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确； 由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误. 5. 设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为， 所以，解得. 所以. 6.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【分析】先将红球从数量分成，两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为个，将两类情况的方法总数相加即可. 【解析】将个红球分成组，每组球的数量最多个最少个，则有，两种组合形式， 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 当红球分组形式为时，将红球放入三个不同的袋中有种放法， 此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为个即可. 综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球， 不同的装法种数为种. 7. 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析1】渐近线的几何性质 【解析2】由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为． 设，则，由，解得或， ∴，． 又为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即，即， 则，所以，则， 即，所以 ∴． 8.在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立．当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量 （中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，， ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011． 因此，， ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，， ④当时，相应四次接收到信号数字依次为0000，或1111． 因此，． 二．多选题 9. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（    ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 【答案】AB 【解析】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为， 所以第8行所有数字之和为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为， 所以，故D错误. 10.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，单位：，10次骑自行车所花时间的均值为，方差为已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示.若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是     A. 坐公交车所花时间的均值为10，方差为3 B. 若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车， 则有以上的可能性会迟到 C. 若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D. 若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 【答案】BCD  【解析】坐公交车所花时间的均值为， 方差为，故选项A错误. 根据题意，可以得到，， 之后出发，并选择坐公交车，有以上的可能性会超过，即8点之后到校，会迟到，故选项B正确. 由图可知，，，应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具. 小明早上出发，有可用，则应选择骑自行车，故选项C正确. 小明早上出发，只有可用，则应选择坐公交车，故选项D正确. 故正确选项为 11.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是递减数列 C. 数列是等比数 D. 【答案】ACD 【解析】，所以在点处的切线方程为： ， 令0，得，故A正确. ，故，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确， 所以，D正确. 【备选题】11. 设，且，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【分析】首先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性一一分析即可【解析】由于，知，及其，则， 解得， 对AB，，设函数，， 故在上单调递减，则1，即， 故A对B错； 对C，由于，设，， 故在上单调递减，，故， 若，故C对； 对D，，设，， 令，则，则，，则，， 则在上单调递增，在上单调递减，，故，即，故D错误. 三．填空题 12.函数的单调减区间为 【答案】 13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 【答案】 【解析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B， 则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局， ， ， 所以. 14.已知两个等比数列,,满足,.若数列唯一,则实数的值为 . 【答案】 【解析】 【备选】14.已知函数恰有三个零点，设其由小到大分别为，则 【答案】0 【解析】， 设，则它的定义域为，它关于原点对称， 且， 所以是奇函数，所以有三个根，则 【变式】实数的取值范围 【解析】，设， 则，所以， 从而. 四．解答题 15.设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）数列的通项公式； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明； （2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【解析】（1）设等差数列公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立，所以， （2）由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ， 因为当时，，所以． 16.如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 （1）取BC中点，连接， 在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC， 又平面， ， 又，， 平面 ，，平面， 又平面，平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，斜棱柱的高为， ， ， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17.已知椭圆方程E：的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (23 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到证明； （2）三角形面积等于三角形的面积2倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【解析】（1）由题意知，，若，此时直线的斜率不存在，不合要求，舍去， 设，，，此时， 则，，， 又①，②，式子①－②得， 所以； （2）由题意可知，三角形面积等于三角形的面积2倍， 椭圆左焦点F为，可设直线方程为， 联立方程组， 即， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在单调递增， 故，当且仅当取得最小值成立， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为3. 18.李明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：李明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． （1）求的值； （2）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若都是离散型随机变量，则，记李明前天晨跑的天数为，求． 【答案】（1）； （2）（或）； （3） 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【解析】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种： 第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， 第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为， 故. 【备选】18. 有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行． （1）求从第2个盒子中取到红球的概率； （2）求从第个盒子中取到红球的概率； （3）设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【分析】（1）由题意，记“从第个盒子中取到红球”为事件，利用全概率公式进行求解即可； （2）结合（1）中所得信息以及等比数列的定义可得数列是以 首项，为公比的等比数列，代入通项公式中即可求解； （3）先得到的所有可能取值，结合（2）中信息得到相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中再进行求解即可． 【解析】 （1）记“从第个盒子中取到红球”为事件，此时，， 则； （2）因为 ，所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 此时，即， 当时，，符合题意， 综上，从第个盒子中取到红球的概率为； （3）证明：易知的所有可能取值为1，2， 此时， ， 则的分布列为： 1 2 所以， 由于， 故． 19.已知函数 （1）若曲线在处的切线斜率为，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）正数满足，求证： 【解析】（1） （2）【解析1】最值思想 【解析2】指对同构 （3） 又因为等号成立条件与矛盾，故 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期2024级 6月月考数学试卷 命题人：邹泳 审题人：吕跃 考试时间：2026年6月18日 一、单选题 1．设为可导函数，，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． X 0 1 2 P 0.3 0.4 m 2．若随机变量的分布列为， 则（ ） A．0．3 B．1 C．3 D．4 3．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“为等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（  ） A． B．变量y与x是负相关关系 C．该回归直线必过点 D．x增加1个单位，y一定增加2个单位 5．设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 6．将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（ ） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 7．已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． 　D． 8．在某数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素干扰，发送的信号0或1有 可能被错误地接收为1或0．已知发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次 信号的传输相互独立．当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列说法正确的是（ ） A． B．第8行所有数字之和为256 C． D．记第20，21行数字的最大值分别为，则 10．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了10次坐公交车和骑自行车所花的时间，10次坐公交车所花的时间分别为7，11，8，12，8，13，6，13，7，单位：，10次骑自行车所花时间的均值为，方差为已知坐公交车所花时间X与骑自行车所花时间Y都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计X，Y分布中的参数，并利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线如图所示．若小明每天需在早上8点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是     A．坐公交车所花时间的均值为10，方差为3 B．若小明早上7：50之后出发，并选择坐公交车，则有以上的可能性会迟到 C．若小明早上7：42出发，则应选择骑自行车 D．若小明早上7：47出发，则应选择坐公交车 11．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数 且，数列的前 项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． 数列是递减数列 C． 数列是等比数列 D． 三、填空题 12．函数的单调递减区间为 13．甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制．如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 14．已知两个等比数列,,满足,．若数列唯一,则实数的值为 ． 四、解答题 15．设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 16．如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且． （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面 与平面夹角的余弦值． 17．已知椭圆方程E：的左焦点为F，直线（）与椭圆E相交于A，B，点A在第一象限，直线与椭圆E的另一点交点为C，且点C关于原点O的对称点为D． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 18．李明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练．规则如下：李明从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑．设他第天晨跑的概率为． （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （3）若都是离散型随机变量，则，记李明前天晨跑的天数为，求． 19．已知函数 （1）若曲线在处的切线斜率为，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）正数满足，求证： 2 学科网（北京）股份有限公司 $