精品解析：湖北武汉市第十一中学2025-2026学年高二下学期3月评价数学试题

武汉市第十一中学2027届高二3月评价 高二数学 时间：2026年3月21日上午7∶50—9∶50 总值：150 一、单选题 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 2. 已知，则角 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再由及 的范围可得答案. 【详解】由题意得， 因为，所以． 又，故． 故选：B. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义即函数图象增长速度越快，其导数值越大，结合图象即可求解. 【详解】由的图象可知，在上单调递增且增长得越来越慢， 所以，即. 故选：B. 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得，结合题意建立方程求解即得. 【详解】由求导得：， 依题意，解得. 故选：C. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B. 若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C. 若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D. 若在上连续，则在上存在最大值和最小值 【答案】D 【解析】 【分析】结合极值，最值的概念判断即可. 【详解】因为函数在上的极值不一定是最值， 最值也不一定是极值；最值可能在端点处取得，此时不一定是极值， 而在上的连续函数一定存在最大值和最小值． 故选：D. 6. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单增得在上恒成立，即，所以有，从而得解． 【详解】由题意可得.因为是上的增函数， 所以在上恒成立， 所以，解得. 故选：B. 7. 已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当上的点处的切线斜率与直线斜率相等时，点即为所求，利用导数求解. 【详解】当取最小值时，即取得最小值，此时点处的切线 斜率与直线斜率相等.因为直线的斜率为， 所以令曲线的导函数，，解得. 8. 若方程的三个根成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可. 【详解】由，得，所以. 设. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又时，，时，， 作出的大致图象，如下图： 则（*）， 因为成等比数列，设公比为， 所以，， 代入（*）式得， 由，得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍去），则公比为. 二、多选题 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数运算法则及基本函数的导数公式逐项求导判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BC 10. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断；函数的极值，即判断导函数是否有变号的零点. 【详解】对于选项A，当时，， 则， 当时，， 当时，则， 故当时，，故函数在上单调递增.故A正确； 对于选项B，当时，， 令=0，即， 而，， ， 故的函数图象在上有两个不同的交点， 如图： 可知，则函数在上有2个极值点.故B正确； 对于选项C，，使得函数在上递增，在上递减， 则函数在取最大值， 由为指数型函数在上不存在最大值，为有界函数， 故没有最大值.故C错误； 对于选项D，函数在上单调递增， 则恒成立，故在上恒成立， 若即或（）时，， 若，则， 则， 其中， 令，则， 令，则，得，. 当时，，时， ， 故在为增函数， 在为减函数， 故的极大值为，其中， 诸极大值中最大值为，故即的最小值为.故D正确. 三、填空题 12. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由题知，所以，， 所以. 13. 已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据表面积和体积公式计算，再应用瞬时变化率定义及导数运算法则计算求解. 【详解】因为正四棱柱的底面边长为x，设正四棱柱的高为 ， 所以正四棱柱的表面积为，所以， 所以体积为， 所以，则时，V关于x的瞬时变化率为. 14. 函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据成立得出，再计算当时，应用导数正负得出函数单调性结合隐零点得出恒成立即可求解. 【详解】若恒成立，则恒成立， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，且，且， 于是． 当时，， 在上单调递增，且时，， 从而存在满足，所以， 此时在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 因为， 又因为，所以， ，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 以初速度10m/s向上抛出一个物体，其上升的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，求： （1）物体被抛出ts时的速度； （2）物体在 时的速度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导即可求解， （2）代入到导函数中即可求解. 【小问1详解】 由得，所以物体被抛出ts时的速度为 【小问2详解】 当时， 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． 【答案】（1）的单调递减区间为；单调递增区间为，； （2）1个． 【解析】 【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，掌握通过导数符号判断单调性，结合单调性与函数值符号分析零点个数的方法是解题的关键． （1）对函数求导，令导数为零求出极值点，根据导数符号判断单调区间； （2）结合单调区间，分析各区间端点函数值符号，判断零点个数． 【小问1详解】 解：由题可得， 令，解得或， 令，解得；令0，解得或， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为，． 【小问2详解】 解：由（1）知， 在上单调递增，在上单调递减， 故 在上的最大值为， 因此 在上无零点 在区间上， 单调递增，且，， 故 在上存在唯一零点 综上，函数 仅有1个零点． 17. 已知函数在和处取极值． （1）求， ； （2），，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用取极值得到的两根为和，列方程组求解即可. （2）先判断函数的单调性，求出在上的最值，再根据求解即可. 【小问1详解】 . 因为在和处取极值， 所以，即，解得. 所以. 当时，， 在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 在上单调递增， 所以在处取得极大值，在处取得极小值. 因此，. 【小问2详解】 由（1）知函数在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为；在处取得极小值，极小值， 又，，所以时，，， 所以当，时，． 18. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. 【小问3详解】 由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 【答案】（1）的单调递减区间是；单调递增区间是 ； （2） （3）由（2），， 又，可知， 因为函数在区间上单调递减，故， 令，， ，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， ，， 设 ， 故单调递增，， 即单调递减，，即， 所以得证； 综上，． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调区间即可； （2）先构造函数，再求出导函数分和时，讨论函数单调性计算求解参数； （3）先由（2），再构造，再构造结合导数求出单调性即可证明；. 【小问1详解】 函数的定义域为，所以， 因为，所以． 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是 ； 【小问2详解】 当时，，即， 设， 则， 令，则． 当时，，所以存在，使得当时，单调递增， 故当时，，即，不符合题意； 当时，，且当时，． 令， 则当时，因为，所以， 故当时，单调递减，此时， 所以当时，单调递减，即当时，，即 综上，a的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市第十一中学2027届高二3月评价 高二数学 时间：2026年3月21日上午7∶50—9∶50 总值：150 一、单选题 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则角 等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. << B. << C. << D. << 4. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值 B. 若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值 C. 若在上有极大值，则极大值一定是和时取得 D. 若在上连续，则在上存在最大值和最小值 6. 若函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的三个根成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 3 二、多选题 9. 下列求导运算错误的是（） A. B. C. D. 10. 若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（   ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 三、填空题 12. 设函数，则______． 13. 已知正四棱柱的表面积为16，底面边长为x，体积为V，则当时，V关于x的瞬时变化率为________． 14. 函数，若恒成立，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 15. 以初速度10m/s向上抛出一个物体，其上升的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为，求： （1）物体被抛出ts时的速度； （2）物体在 时的速度． 16. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． 17. 已知函数在和处取极值． （1）求，； （2），，求的最大值． 18. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $