浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期数学期末专题复习解析几何试卷

**基本信息** 聚焦解析几何核心知识，通过精选典例系统覆盖圆、圆锥曲线的方程与性质，注重几何直观与逻辑推理结合，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础曲线性质|例1-3、练习1-3|距离/离心率/焦点三角形|从曲线方程到几何性质，构建概念与性质的推导链条| |直线与曲线位置关系|例4-5、练习4-6|轨迹/弦长/切线问题|以位置关系为核心，建立代数运算与几何特征的对应| |综合应用|例6-7、练习7-11|方程求解/定点证明/范围最值|整合知识网络，形成从基础到综合的问题解决路径|

高二下期末专题复习 解析几何 班级：___________姓名：___________ 【例1】若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 【例2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 【例3】已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量条件求出，，再利用余弦定理得，接着由双曲线的定义结合共线求出与的关系，最后根据三边关系和勾股定理求出. 【详解】设，由条件可得： ，且， 解得：，即， 在中，由余弦定理 可知：，则， 又，， 两式相加可得 ：， 又因为共线，所以， 代入得： ， 化简得：，解得：， 因此 ，，， 且， 在中，三边满足， 所以为直角三角形，则，即， 所以为直角三角形， 化简得，即 所以 . 【例4】（多选）已知正方体的棱长为 2，， 点在底面上运动. 则下列说法正确的是（    ） A．当∥面时，点的轨迹长度为 B．当与底面所成角为时，点的轨迹长度为 C．点到直线的距离为，到直线的距离为，且满足时，在一条抛物线上运动 D．存在点，使得 【答案】ACD 【分析】根据平行的判定与性质分析判断A；由线面角判断B；利用已知条件求出，即可判断C；作关于平面的对称点即可判断D. 【详解】在上取，在上取，连接，则可得平面平面， 即当在上运动时，∥面 ，根据相似三角形可得点 的轨迹长度为 ，故A正确， 因为平面，所以与平面所成角为，则，解得， 所以点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆弧，长度为，故B选项错误； 过点作于，再过点作于，则面，， 则，故，，，， 故点在以点为焦点，以为准线的抛物线上，故C正确， 作关于平面的对称点，则，且 ， 当点与点A重合时，则 ，所以存在满足题意，故D选项正确； 【例5】（多选）设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【答案】BCD 【分析】对于A,利用几何关系求出焦点和准线之间的距离即可；对于B，利用几何关系求出直线的倾斜角即可；对于C，利用弦长公式求解即可；对于D，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】对于A，以为圆心，为半径的圆交准线于两点,且 故, 所以是等边三角形，所以， 设准线与轴交于点,则， 故故A错误； 对于B，因为,平行于轴， 故，故当点位于第一象限时，直线的倾斜角为； 当点位于第四象限时，直线的倾斜角为； 所以直线的斜率是，故B正确； 对于C，因为直线的斜率是，且抛物线， 故直线的方程为：， 联立方程得：，即 设则， 故，故C正确； 对于D,由A知， ， 故 故 ,故D正确. 故选: BCD 【例6】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【详解】（1）由题意，可设直线的方程为， 将代入，消去得， 设，，则，， 是线段的中点， ，， 即， 又轴， 垂足的坐标为， 则，， ， 对任意的恒成立， ，又，解得，故抛物线的方程为. （2）    设，，，由（1）可知， ，， 则，直线的方程为， 令，则， ，同理， 由抛物线的对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则定点必在轴上， 设该点坐标为， 则，，且， ， ， 或， 以为直径的圆过定点和. 【例7】等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程; (2)若且求的值; (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 【详解】（1）由题意得解得 . （2）设 代入双曲线方程，得： 由韦达定理可得： 令，则， 所以解得 A，B三点共线， . （3）设 代入双曲线方程得： 由韦达定理，得，即 同理可得： C两点关于原点对称， 设 由韦达定理得： 解得：所以 课后练习 1．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 2．设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断. 【详解】依题意，，，， 又，，则为等边三角形，有， 故选：B 3．已知曲线分别是曲线的左､右焦点，点是曲线与在第一象限的交点，点在上的投影是点.若，则曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影以及得出，设，得出关系式，再联立曲线方程求出点坐标，将其代入关系式中即可. 【详解】因为点在上的投影是点，所以， 因为，所以， 设，则（*） 又由，得， 代入（*）式得，得， 故曲线的离心率是. 故选：B 4．（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时， C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为 【答案】ABC 【分析】对于A：根据直线过定点分析判断；对于B、C、D：根据题意结合圆的性质运算求解. 【详解】对于选项A：直线的方程可化为， 令，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于选项B：因为，即点在圆内， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长， 此时，解得，故B正确； 对于选项C：当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为，， 由，解得，故C正确； 对于选项D：此时直线的方程是， 圆心到直线的距离为， 可得， 所以最短弦长是，故D错误． 故选：ABC． 5．（多选）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（    ） A．的周长为 B．的面积为 C．若是上的动点，则 D．若是上的动点，则 【答案】AD 【分析】应用椭圆定义得出周长判断A，应用焦点三角形计算求解判断B，应用两角差正切公式结合不等式判断C，应用点到直线距离计算判断D. 【详解】的周长为，A正确； 根据椭圆的光学性质，与直线所成角的大小也是，从而，则的面积为，B错误； 设在第一象限，则，由得，于是，得， 设，当时，，则，当且仅当时取最大角，C错误； 由C选项，根据点到直线的距离公式，D正确. 故选：AD. 6．（多选）抛物线的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．的方程为 B．的最小值为 C．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条 D．过点分别作的切线，交于点，则直线的斜率满足 【答案】BD 【分析】求出抛物线方程判断A；设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合抛物线定义及均值不等式计算判断B；设出过点M的直线方程，与抛物线方程联立求解判断C；求导并结合选项B的信息求解判断D作答. 【详解】对于A；依题意，，解得，的方程为，A错误； 对于B，由选项A知，，设直线的方程为，由消去y得， 设，则有， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，过点且与抛物线仅有一个公共点的直线不垂直于y轴，设此直线方程为， 由消去y得：，当时，，直线与抛物线仅只一个交点， 当时，，解得，即过点且与抛物线相切的直线有2条， 所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，C错误； 对于D，由求导得，由选项B知，，， ，由两式相减得： ，即，则， 于是，，即点， 所以，D正确. 故选：BD    7．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 【答案】 【分析】先设出点的坐标，利用向量的关系和垂直的条件，结合椭圆的性质来求解离心率即可. 【详解】设，， ，，解得， 又，，即， 把代入，得，化简得， 点在上，把代入，得，得， 又，，化简得，即， 等式两边同时除以，得，即， 令，得，解得或， ，，即. 故答案为：. 8．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 【答案】13 【分析】由题设易得，做出简图，分析可得直线的方程为：，且直线垂直平分，所以的周长等于的周长，等于，将直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式求出c，a的值，进而得解. 【详解】因为短轴长是长轴长的，故， 又，故， 故为等边三角形，为的垂直平分线， 所以，， 则的周长等于， 其中， 则的周长为， 直线的斜率为，故直线的斜率为， 故直线的方程为， 联立，得， 又，故， 设，则， 故， 解得，故， 则的周长为． 9．已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设直线方程，联立方程组，根据根与系数的关系及弦长公式化简，利用均值不等式求解. 【详解】如图，    由椭圆方程可知，， 当直线斜率不为0时，设直线，， 联立，得：， ， 弦长， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最小值为； 当直线斜率为0时，. 综上，的最小值为. 故答案为： 10．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 11．已知抛物线：焦点为，直线与抛物线有且只有一个交点. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点. （i）若的面积为4，求直线的方程； （ii）设内切圆的半径为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii） 【分析】（1）联立直线方程与抛物线的方程，得，由求得，从而得到抛物线的方程； （2）（i）易得，设，代入得，.设，结合韦达定理，根据的面积，求得的值，即可得到直线的方程；（ii）利用三角形的面积公式，将表示为的函数，利用导数分析其单调性，并求得其最大值. 【详解】（1）由得，由已知可得， 所以抛物线方程为； （2）（i）抛物线的准线方程为，所以. 设，代入得，， 设，且，则. ，所以， 所以直线l的方程为：或； （ii）由（i）得 ， ， . 设，则 显然关于m是增函数. 令，则， 两边平方，化简整理得，此时对应的值满足题意. 由于关于m是递增函数，；， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下期末专题复习 解析几何 班级：___________姓名：___________ 【例1】若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3】已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）已知正方体的棱长为 2，， 点在底面上运动. 则下列说法正确的是（    ） A．当∥面时，点的轨迹长度为 B．当与底面所成角为时，点的轨迹长度为 C．点到直线的距离为，到直线的距离为，且满足时，在一条抛物线上运动 D．存在点，使得 【例5】（多选）设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于两点．若，则（　　） A． B．直线的斜率是 C． D．的面积是 【例6】已知过点的直线与抛物线交于两点，过线段的中点作直线轴，垂足为，且. (1)求抛物线的方程； (2)若为上异于点的任意一点，且直线与直线交于点，证明：以为直径的圆过定点. 【例7】等轴双曲线的顶点，到其渐近线的距离为过点作斜率为的直线l，l与的左、右支分别交于点A (1)求的方程； (2)若且求的值； (3)过点A再作斜率为的直线交双曲线于另一点C，若满足是坐标原点求k的取值范围. 课后练习 1．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知曲线分别是曲线的左､右焦点，点是曲线与在第一象限的交点，点在上的投影是点.若，则曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知圆：，直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线被圆截得的弦最长时， C．直线被圆截得的弦最短时， D．直线被圆截得的弦最短弦长为 5．（多选）已知是椭圆的焦点三角形，椭圆在点处的切线与直线所成角的大小是，则（    ） A．的周长为 B．的面积为 C．若是上的动点，则 D．若是上的动点，则 6．（多选）抛物线的准线方程为，过焦点的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．的方程为 B．的最小值为 C．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有且仅有2条 D．过点分别作的切线，交于点，则直线的斜率满足 7．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为_____． 8．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，短轴长是长轴长的倍．过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是__________． 9．已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为__________． 10．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 11．已知抛物线：焦点为，直线与抛物线有且只有一个交点. (1)求抛物线的方程； (2)设抛物线的准线与轴交于点，过点作直线与抛物线交于两点. （i）若的面积为4，求直线的方程； （ii）设内切圆的半径为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $