第27章 大招专题4 反比例函数中k的几何意义-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）

该初中数学课件聚焦九年级上册“反比例函数中k的几何意义”，通过“一点一垂线”“一点两垂线”等母题导入，衔接反比例函数基本概念，搭建从基础模型到综合应用的学习支架，帮助学生逐步掌握面积与k值的关系。 其亮点在于模型化教学与变式训练结合，以“一点一垂线”模型培养抽象能力和几何直观（数学眼光），通过多情况分析（如对称点位置）发展推理意识（数学思维），用坐标法、面积公式等强化数学语言表达。实例如母题14用模型快速求k值，助力学生提升解题能力，教师可高效开展专题教学。

数 学 九年级上册 JJ 1 2 3 第二十七章 反比例函数 4 大招专 题4 反比例函数中 的几何意义 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招14 一点一垂线 1.［中］如图，直线交轴于点 ，交反比例函数 的图象于，两点，过点作 轴，垂足 为点.若，则 的值为( ) D A.8 B.9 C.10 D.11 大招解读 一点一垂线 模型特征：过双曲线 上任意一点，向坐标轴作垂线，以该点、垂足和另一坐 标轴上任意一点为顶点的三角形的面积为常数 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 关键点拨 本题考查反比例函数与一次函数图象的综合，理解并掌握“一点一垂线”模型的 特征是解题关键. 【解析】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 母题学大招15 一点两垂线 2.［较难］如图（1），是反比例函数图象上的一个动点，过 作 轴，轴,垂足分别为， . 图（1） 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （1）若矩形的对角线，则矩形 的周长为______； 【解析】设,,在函数 的图象上， 矩形的对角线， ，即 ，，则 （负值已舍去）， 矩形的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （2）如图（2），点在上，且，若关于直线的对称点 恰好落 在坐标轴上，连接，，，求 的面积. 【解】当关于直线的对称点恰好落在轴上时，如图（1），连接，设 与相交于点 . 在的图象上，轴，轴， 矩形 的面积为12，而 ， 易得 点与点关于直线对称，垂直平分 ， ，， . ，，.易证 ， ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 图（1） 图（2） 当关于直线的对称点恰好落在轴上时，连接 ，如图（2）. 点与点关于对称，，， 为等腰直角三角形， . ,,,, 四边形 为正 方形， 易得 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 ，，, ， ， . 综上所述，的面积为4或 . 易错警示 点的对称点的位置不确定，所以分两种情况：关于直线 的对称 点恰好落在轴上；关于直线的对称点恰好落在 轴上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 大招解读 一点两垂线 模型特征：过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所 围成的矩形的面积为常数 . 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 子题练变式 3.【2025宁夏银川期末，中】如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，以为顶点作，使点, 在轴上，点在轴上.若的面积为6，则 的值是( ) C A.1 B.3 C.6 D. 【解析】作于，如图. 四边形 为平行四边形， 轴， 易知四边形 为矩形， ， 反比例函数的图象在第二象限， ，即 ， .故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 母题学大招16 两点两垂线 4.［中］如图,正比例函数与反比例函数 的图象 相交于，两点.过作轴于，过作 轴于 ，连接,,则四边形 的面积为( ) C A.1 B. C.2 D. 【解析】轴，轴，点, 在反比例函数 的图象上, .根据反比例函数图象的对称性可知 ，, , 四边形 的面积为 ．故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 大招解读 两点两垂线 模型特征：已知反比例函数与正比例函数图象的交点，由交点向轴或 轴作两条 垂线，如图， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 思路分析 首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作的垂线 所围成的直角三角形面积与的关系,即，得出 ，再根 据反比例函数图象的对称性可知，得出, , 进而得出结果. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 子题练变式 5.【2025重庆渝中区校级质检，中】如图，直线过原点，与反比例函数 的图象交于，两点，轴，轴.若的面积为2，则 的值为___. 1 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】设与轴交于点，如图所示. 直线过原点 ，与 反比例函数的图象交于，两点，轴， 轴， ，易得， . 的面积为2，， 反比例 函数图象分别位于第一、三象限，, .故答案为1. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 母题学大招17 两曲一平行 6.［中］两个反比例函数和 在第一象限内 的图象如图所示，设点在上，轴于点，交 于点 ，轴于点，交于点，则四边形 的面积为 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】轴，轴，，， 四边 形的面积为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 大招解读 两曲一平行 模型特征：两条反比例函数图象上的两点连线平行于一条坐标轴，求这两点与原 点或坐标轴上的点构成的图形面积. 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 子题练变式 7.［中］已知反比例函数和反比例函数 的图象如图所示. （1）点在反比例函数的图象上，过点作 轴的垂线 【解】如图，连接， . 轴，， ， . 交反比例函数的图象于点，交轴于点，点在 轴上，连接 ，，求 的面积； 轴， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 思路分析 连接， .根据反比例函数比例系数与面积的关系，可得 ，，根据求出 的值，最后根据 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （2）直线交反比例函数的图象于点 ，交反比例函数 的图象于点，若，求 的值. 【解】当时，，，， ， .，，解得 ， 经检验，是分式方程的解， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 微专题6 反比例函数中与面积相关的方法技巧 1.坐标法 【2025浙江杭州期末，中】如图，过反比例函数 图象上的点，分别作轴、 轴的平行线 交反比例函数的图象于，两点，以， 为邻边 的矩形 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 ，，，.若，则 的值为( ) D A. B. C.4 D. 刷难关 返回目录 1 2 1 2 27 【解析】由题意得.设，，则，，， ， ，，.，，解得 ，经 检验， 是分式方程的解，且符合题意.故选D. 刷难关 返回目录 1 2 1 2 2.“三角形”化“梯形”法 【2025江西南昌调研，中】如图，等边 的边长为8，点在轴上，点 在第一象限，反比例函数 的图象经过的中点，与相交于点 . （1）求 的值； 【解】 等边的边长为8，点在轴上，点在第一象限， .易得 ，，即是的中点， 反比例函数 的图象经过的中点， . 思路分析 根据等边三角形的性质即可求得点，的坐标，进一步求得点 的坐标， 代入即可求得 的值； 刷难关 返回目录 1 2 1 2 29 （2）连接，，求 的面积. 【解】如图，作轴于，轴于 ，则 .， 直线 的表达式为 .由（1）知反比例函数的表达式为 ,联立得 解得 或（舍去），， . 刷难关 返回目录 1 2 1 2 30 作轴于，轴于，则，求出直线 的表达式， 再求得点的坐标，进而根据 即可求得答案. 模型解读 “三角形”化“梯形”模型 作轴， 轴 ____________________________________ 结论： ； ； 刷难关 返回目录 1 2 1 2 31 $