第二十七章反比例函数（期中知识清单）九年级数学上学期新教材冀教版

第二十七章 反比例函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 反比例函数 1.1 反比例函数的定义 一般地，如果变量 和变量 之间的函数关系可以表示成 （ 为常数，且 ）的形式，那么称 为 的反比例函数， 称为比例系数。 示例： 是反比例函数，比例系数 ； 是反比例函数，比例系数 。 1.2 反比例函数自变量的取值范围 在反比例函数 中，自变量 的取值范围是不等于 的实数。 示例： 中 ，故点 不可能在其图象上。 1.3 用待定系数法求反比例函数的表达式 求反比例函数的表达式，主要有两条途径：根据问题中两个变量间的数量关系直接写出；运用待定系数法求出。 示例：已知 是 的反比例函数，当 时，。设 ，把 ， 代入得 ，所以这个反比例函数的表达式为 。 2. 反比例函数的图象和性质 2.1 反比例函数的图象 反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象由两条分别位于两个象限内的曲线组成，这样的曲线叫作双曲线。 示例： 的图象是双曲线，两支分别位于第一、三象限； 的图象是双曲线，两支分别位于第二、四象限。 注意：在反比例函数 中， 与 的取值均不能为 。因此，反比例函数的图象与坐标轴没有交点。 示例：双曲线两支都无限接近坐标轴，但永远不与 轴、 轴相交。 2.2 反比例函数的性质 对于反比例函数 ： 的符号 图象所在的象限 增减性 第一、三象限 在每个象限内， 的值随 的值的增大而减小 第二、四象限 在每个象限内， 的值随 的值的增大而增大 示例： 中 ，图象在第一、三象限，在每个象限内 随 的增大而减小； 中 ，图象在第二、四象限，在每个象限内 随 的增大而增大。 2.3 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象为中心对称图形，原点为它的对称中心。因此，在画反比例函数的图象时，也可以先画出它的一支，再根据它的中心对称性画出另一支。 示例：点 在 的图象上，则其关于原点的对称点 也在该图象上。 注意：在实际问题中，反比例函数的自变量取值范围常常是大于 的，因此它的图象仅是双曲线在第一象限内的一个分支或其中一部分。 示例：气体密度 （）的图象只是双曲线在第一象限内的一支。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 反比例函数的三种等价形式 、、（ 为常数，且 ）是反比例函数的三种等价形式。若点 在 的图象上，则 ；反之，若 （），则点 在该函数的图象上。 示例： 即 ，是反比例函数，。 1.2 的几何意义 过双曲线上任意一点分别作 轴、 轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为 ；以该点、垂足、原点为顶点的直角三角形面积为 。 【使用提醒】面积只能确定 ， 的符号须由图象所在象限确定。 1.3 反比例函数图象的轴对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形，对称轴是直线 和直线 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断一个函数是否为反比例函数 先变形为 或 （）的形式，再看是否同时满足 为常数且 、自变量 在分母位置。如 可化为 ，是反比例函数，；、 都不能化成 ，不是反比例函数。 2.2 比较反比例函数值的大小 常用三种方法：①同象限利用增减性直接比较；②把 值代入解析式求出 再比较；③画图象看高低。跨象限时不宜用增减性（此时整体不单调），应选②或③。如 时，、 同在第三象限，由 得 。 3. 大小比较 / 化简 / 运算小技巧 技巧 要点 示例 判点在图象上 算 是否等于 ：等于就在，不等就不在 ，点 ：，在图象上 由点快速求 图象过点 ，则 过点 ，则 ，即 判 的符号 看图象所在象限：一、三象限则 ，二、四象限则 图象在一、三象限，则 4. 常见考试模型 4.1 行程模型（路程一定） 公式：（ 一定），即速度 与时间 成反比例，可写成 。 限定：，。 示例：如汽车行驶 的公路：，用 通过时 。 4.2 压强、电流、密度等物理模型 公式：压强 、电流 、密度 等，均为反比例函数。 限定：物理量均取正值。 示例：如质量 的气体注入容积为 的储气罐，密度 。 4.3 面积模型（ 的几何意义） 公式：过双曲线上一点作两坐标轴的垂线围成矩形面积 ，直角三角形面积 。 限定：面积恒为正，用 。 示例：如 （）过点 ， 面积为 ，则 ，得 ，。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：忽视比例系数 这个前提 典例：若函数 是反比例函数，求 的值。 错解：由 得 ，所以 。 正解：由题意得 且 。由 得 ，又 ，所以 。 原因：概念理解不完整。反比例函数 需要两个缺一不可的条件： 的指数为 ，且比例系数 。学生只盯着”指数”这个显性条件，忘记 时比例系数 ，函数退化为 ，不再是反比例函数。凡由定义反求参数，都要回代检查比例系数是否为 。 易错点 2：判断反比例函数时形式识别出错 典例：下列函数中，哪些是反比例函数？；；。 错解： 和 都是反比例函数。 正解： 可化为 ，是反比例函数，； 多一个常数项，不能化成 的形式，不是反比例函数； 中 在分子，是正比例函数，不是反比例函数。 原因：形式识别的思维误区。学生看到” 在分母”就误判为反比例函数，忽略反比例函数必须能化成 （）的完整形式—— 与 之间是纯粹的商的关系，多一个常数项或 跑到分子都不行。判断前要先把式子变形到最简形式。 易错点 3：增减性表述漏掉”在每个象限内”这一限制 典例：已知反比例函数 ，当 增大时， 怎样变化？ 错解：因为 ，所以 随 的增大而减小。 正解：在每个象限内， 的值随 的值的增大而减小。不能笼统说” 随 的增大而减小”：如 时 ， 时 ， 但 ，并不满足”减小”。 原因：忽略隐含条件。反比例函数的增减性是”分区间”的：两支曲线各自在一个象限内递减（或递增），但跨象限并不单调。学生把一次函数”整体单调”的经验直接套用到反比例函数上，漏掉”在每个象限内”这个关键限定。 易错点 4：由面积求 时忽略符号 典例：反比例函数 的图象在第二、四象限，过图象上一点作两坐标轴的垂线围成矩形的面积为 ，求 的值。 错解：矩形面积为 ，所以 。 正解：矩形面积为 ，得 ，即 。又图象在第二、四象限，故 ，所以 。 原因：符号处理失误。 的几何意义中面积对应的是 ，面积只能推出 ， 的符号还必须由图象所在象限确定。学生把”面积等于 “直接写成”“，忘记 可以取负值；反之，求面积时也要用 而不能把负的 直接代入算面积。 易错点 5：画图象时用线段连接，或画成与坐标轴相交 典例：画反比例函数 的图象。 错解：把列表得到的点用直线段顺次连接，并把曲线画到与 轴、 轴相交。 正解：反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于两个象限内，用平滑的曲线连接各点；且曲线无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交（因为 ，）。 原因：图象特征理解不清。学生沿袭画一次函数图象”两点连线”的习惯，用线段连接各点；也不理解”、 均不为 “意味着双曲线只能无限逼近坐标轴而不能相交。反比例函数图象必须用平滑曲线，且要注意”渐近但不相交”。 易错点 6：实际问题中忽视自变量的取值范围 典例：在一段长为 的公路上，规定小汽车速度最低为 、最高为 ，写出速度 与时间 的函数关系式及 的取值范围。 错解：， 为任意正实数。 正解：，由 得 ，解得 。所以 的取值范围是 。 原因：忽略实际问题对自变量的限制。反比例函数中 只是理论范围，实际问题中 还要受”速度最低 、最高 “的限制。学生只写出函数关系式就结束，忘记根据题目条件进一步确定自变量的取值区间。 学科网（北京）股份有限公司 $