第24章 24.4 一元二次方程的应用-课时2 面积问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的应用（面积问题）”，通过剪正方形折盒子、装裱对联等实际问题导入，从规则图形面积到甬道问题再到动态几何，构建由易到难的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 其亮点在于以“刷基础-刷提升-刷素养”分层设计，融入生活情境（如停车场车道、花圃围建），培养数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。学生通过实例掌握方程建模，教师可借助解析与方法点拨提升教学效率。

数 学 九年级上册 JJ 1 2 3 第二十四章 一元二次方程 4 24.4 一元二次方程的应用 课时2 面积问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 规则图形的面积问题 1.如图，将边长为 的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形， 剩余部分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不计）.若该无盖盒子的底面积为 ，则盒子的容积是( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】设剪掉的正方形的边长为 ，则做成的无盖盒子的底面是边长为 的正方形.依题意得，解得， （不合题意，舍去）， 盒子的容积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2026河南郑州期中】对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图（1）所 示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天 头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .如 图（2），某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为 .若要求装裱后的 对联面积为 ，求装裱后对联的边的宽和天头长. 图（1） 图（2） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 【解】设天头长为，地头长为，则左、右边的宽为 . 根据题意，得,解得 （舍去）， , 天头长为 . 答：装裱后对联的边的宽为，天头长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 知识点2 甬道问题 3.如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的 道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的 面积为490平方米，设道路的宽为 米，则可列方程为 ( ) D A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 【解析】如图所示，将横向、纵向道路平移. 四边形 是矩形，米， 米. 道路的宽为米， 米， 米， 米. 草坪 的面积为490 平方米， .故选D. 方法点拨 我们利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的性质，将纵、横两条道路 进行平移，则列方程更容易. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 4.【2026河北张家口期中】如图是某地下停车 场的平面示意图，从“入口”至“出口”均是 车道，停车场的长为40米，宽为22米，停车场 内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为648 平方米，则车道的宽度是___米. 4 【解析】设车道的宽度为米，则停车位所占区域的面积等同于长为 米、 宽为米的矩形的面积.根据题意，得 ，整理，得 ,解得， （不符合题意，舍去）.故车道的宽度 为4米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 5.【2026河南南阳质检】如图，用长为 的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度 为 ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造花圃时， 在上用其他材料做了宽为 的两扇小门. （1）设花圃的一边长为，则另一边 的长为_________________________ _______________________________（用含 的代数式表示）. 【解】，故答案为. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 （2）若此时花圃的面积刚好为 ，求此时花圃的长与宽. 【解】由题意可得，，解得， . 当时， ，不符合题意，故舍去； 当时， ，符合题意. 答：此时花圃的长为，宽为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （3）在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到 ？请说明理 由.猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【解】不能.理由：当时，则 . ， 此时原方程无解， 这个花圃的面积不能达 到 . . ，， 这个花圃面积最大可以做到 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 提升 1.【2025河北保定质检，中】有一个长、宽分别为和 的矩形水池 ，现要在水池中建一个与矩形的边互相平行的 正方形观赏亭和连接观赏亭的四条道路，如图所示.道路的宽度 B A. B. C. D.或 【解析】设道路的宽为. 道路的宽为正方形边长的， 正方形边长为 . 根据题意得 ，整理得 ，解得，（舍去） 道路的宽为 .故选B. 相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的 ， 若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ，则道路的宽为( ) 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 2.［中］如图，把长，宽 的长方形纸板剪掉2个小 正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部 分折成一个有盖的长方体盒子.设剪掉的小正方形边长为 【解析】依题意，得，整理，得 ， 解得，（不合题意，舍去） 长方体盒子的体积为 ,故答案为 . （纸板的厚度忽略不计），若折成的长方体盒子的表面积是 ，则此时长方 体盒子的体积是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 3.【2025河北秦皇岛期末，中】为了节省材料，某农场水产 养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120 米的围网（全部用完）在水库中围成了如图所示的①②③三 块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，区域 ②、区域③矩形的长相等,则图中区域①的长为____米. 30 【解析】设区域①矩形的宽为米. 区域②、区域③的宽相等，长都为区域①长 的一半，且三块区域的面积相等， 区域②矩形的宽为 米，则区域①矩形的长 为米.根据题意可得 ，整理得 ，解得, ，故答案 为30. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 4.【2025山东威海中考，中】把一张矩形纸片按照如图（1）所示的方式剪成四个 全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图（2）或图（3）所示的正方形.若 矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形 面积的2倍，则 _ ____. 图（1） 图（2） 图（3） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 【解析】根据题意得,四边形的面积，四边形 的面积. 四边形的面积等于四边形 面积 的2倍，，整理得 ， .设，，解得或 （舍去），.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 关键点拨 将方程变形为，设，得到关于 的 一元二次方程是本题解题关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合 【2026安徽合肥质检，中】如图，是边长为 的 等边三角形，动点,同时从,两点出发，分别沿, 方向匀速移动，它们 的速度都是，当点到达点时，,两点停止运动.设点的运动时间为 ， 解答下列问题： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【解】由题可知,， . 在中，， ， . 在中，， . 若是直角三角形，则 或 . 当 时，，即，解得 ; 当 时，，即，解得 . 当或时， 是直角三角形. （1）当为何值时， 是直角三角形？ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 分 和 两种情况，在中根据， 的关系列式 并求解即可； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 （2）是否存在某一时刻，使得四边形的面积是面积的 ？如果存在， 求出相应的 值；如果不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由: 如图,过作于 . 在中， ， 易得 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 假设存在某一时刻，使得四边形的面积是面积的 ，则 ， ， . ， 方程无解， 无论取何值，四边形 的面积都不 可能是面积的 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 思路分析 先用的面积的面积表示出四边形 的面积，然后根 据四边形的面积是面积的，可得出一个关于 的一元二次方程，若方 程无解，则说明不存在这样的值，若方程有解，则求出 值即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 $