2026年中考数学真题完全解读（湖南省卷）

该初中数学中考复习讲义紧扣中考核心考点，涵盖数与式、函数、图形的性质等模块，通过“考点细目表-真题解读-知识总结”架构梳理知识联系，设计“基础夯实-能力提升-综合应用”三阶教学环节，助力学生系统构建知识网络，精准突破高频难点。 亮点是情境化真题与核心素养融合，如以湖南非遗为背景的概率题、治沙成就为情境的方程应用题，培养模型观念。几何题强化“作图-推理-计算”能力链，函数题突出建模探究，配合避坑提醒和分层训练，教师可依考点占比把控节奏，有效提升学生应考能力。

2026年湖南省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年湖南省中考数学试卷总分120分，考试时间120分钟，共24道题。试卷结构为：选择题10道（30分）、填空题6道（18分）、解答题8道（72分），分值依次为6、6、8、8、10、10、12、12。全卷以基础性为主，兼顾综合性、应用性和创新性，对初中数学核心知识与关键能力进行了较全面覆盖。选择题第1-10题侧重基础概念与简单运算，填空题第11-16题强化代数变形与几何直观，解答题第17-24题逐步提升综合推理与建模要求。整卷突出湖南地方文化、科技实践与跨学科情境，第7题以湖南“湘剧”等非遗知识为背景考查概率，第19题以我国三代治沙人科学治沙为背景考查一元一次方程建模，第21题以校园科技节调查为背景考查统计综合，第23题以乡村河道开发生态放牧为背景考查抛物线与一次函数综合，第24题以平行四边形拼接等腰三角形为探究对象考查几何综合。模块分布上，图形的性质与函数占比突出，统计与概率、综合与实践稳定呈现，整体难度梯度合理，符合湖南中考命题导向。 试题亮点 湖湘非遗与家国情怀交相辉映，真实情境彰显育人底色：第7题以“湘剧、花鼓戏、阳戏、祁剧”四种湖南非遗剧种为背景考查简单概率；第19题以三代治沙人科学治沙、绿色发展成就为背景考查一元一次方程应用；第21题以校园科技节活动调查为背景考查统计图分析。三题分别对应地方文化、生态文明、校园实践，体现湖南卷在真实情境中落实立德树人、关注社会发展的命题追求。 几何推理与图形变换深度融合，中高档题成为能力区分主战场：第8题利用平行四边形与三角形内角和进行角度关系推理；第10题以门吸结构为背景，将矩形与解直角三角形结合；第14题以两个正六边形公共边为载体考查对称性与角度计算；第20题将尺规作图（角平分线）、等腰三角形性质与圆的切线判定综合；第24题通过平行四边形拼接等腰三角形，探究角度、线段关系与二次函数最值。几何题覆盖选择、填空、解答各层级，推理链条逐步加长，对空间观念、逻辑推理和直观想象提出较高要求。 函数建模与跨学科实践并重，压轴题突出思维过程与探究能力：第9题以直角三角形斜边过原点为背景，结合等腰三角形与全等求坐标；第12题以反比例函数图象上三点及外接圆、中点问题综合考查函数与几何；第16题分两问探究反比例函数k值与相似三角形；第22题以阅读室桌椅摆放为背景，将正方形、等腰直角三角形、勾股定理与不等式建模结合；第23题以抛物线型河岸生态放牧为背景，考查二次函数、一次函数与实际造价问题；第24题则在平行四边形与新构等腰三角形中探究线段关系与最值。函数与代数推理强调建模、探究与迁移，淡化机械计算。 命题趋势 湖湘文化、家国成就与校园生活将持续入题，应用意识考查常态化：第7题湖南非遗剧种、第19题治沙成就、第21题校园科技节、第22题阅读室改造、第23题乡村振兴生态放牧，均体现湖南卷对地方文化、国家发展、校园实践的高度关注。未来命题会继续选取具有湖南辨识度或时代背景的素材，引导学生在真实情境中建模、计算与解释。 几何综合题单题承载量持续增大，尺规作图、圆、折叠与变换仍是区分核心：第10题门吸结构、第14题正六边形对称、第20题角平分线作图与切线、第24题平行四边形拼接探究，几何模块占比近三成。中高档几何题跨知识点融合趋势明显，预计未来将继续强化“作图—识图—推理—计算—最值”的完整能力链。 函数与实际问题的结合将更加紧密，建模与探究成为压轴主旋律：第12题反比例函数与圆、第22题桌椅摆放不等式建模、第23题抛物线型河岸开发、第24题平行四边形中的二次函数最值，均要求学生将现实情境抽象为函数或方程模型。未来命题将继续淡化套路化计算，强化建模、推理、探究等高阶思维过程。 基础题重视概念本质与跨学科理解，反机械刷题导向鲜明：第2题电池主视图、第3题化学化合价计算、第4题数轴估算、第5题幂运算、第11题二次根式化简等题目看似简单，但需要真正理解概念本质或跨学科知识。预计未来湖南卷将继续通过概念辨析、图象识读和简单综合来检验基础，拒绝仅靠题型记忆得分。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 3 数与式→代数式→列代数式 运算能力 2 单选 3 图形的变化与综合实践→投影与视图→简单几何体的主视图 空间观念 3 单选 3 数与式→实数→有理数的混合运算 运算能力 4 单选 3 数与式→实数→实数与数轴 运算能力 5 单选 3 数与式→整式→幂的运算 运算能力 6 单选 3 数与式→分式→分式方程的解 运算能力 7 单选 3 统计与概率→概率→简单概率 数据分析 8 单选 3 图形的性质→四边形→平行四边形性质、三角形内角和 推理能力 9 单选 3 函数→平面直角坐标系→等腰三角形、全等三角形、坐标特征 推理能力、运算能力 10 单选 3 图形的性质→四边形→矩形性质、解直角三角形 几何直观、运算能力 11 填空 3 数与式→二次根式→二次根式化简 运算能力 12 填空 3 函数→反比例函数→反比例函数性质、三角形外接圆 推理能力、运算能力 13 填空 3 数与式→整式→因式分解 运算能力 14 填空 3 图形的性质→多边形→正六边形内角与轴对称性 几何直观、推理能力 15 填空 3 图形的性质→圆→弧长、扇形面积 运算能力 16 填空 3 函数→反比例函数→反比例函数k的几何意义、相似三角形 推理能力、运算能力 17 解答 6 数与式→实数→实数的混合运算 运算能力 18 解答 6 数与式→方程与不等式→一元一次不等式组 运算能力 19 解答 8 数与式→方程与不等式→一元一次方程的实际应用 模型观念、应用意识 20 解答 8 图形的性质→圆→尺规作图、角平分线、切线判定、勾股定理 推理能力、运算能力 21 解答 10 统计与概率→数据分析→条形统计图、扇形统计图、样本估计总体 数据分析 22 解答 10 图形的变化与综合实践→综合实践→正方形、等腰直角三角形、勾股定理、不等式建模 模型观念、应用意识 23 解答 12 函数→二次函数→二次函数与一次函数综合、实际应用 模型观念、运算能力 24 解答 12 图形的性质→四边形→平行四边形、等腰三角形、相似三角形、二次函数最值 推理能力、创新意识 考点模块占比分析 数与式模块（约34%，41分）：重点考查列代数式、有理数混合运算、实数与数轴、幂的运算、分式方程的解、二次根式化简、因式分解、实数混合运算、不等式组、一元一次方程应用。对应第1、3、4、5、6、11、13、17、18、19题。 函数模块（约18%，21分）：重点考查平面直角坐标系中的等腰三角形与全等、反比例函数性质及k的几何意义、二次函数与一次函数综合应用。对应第9、12、16、23题。 图形的性质模块（约29%，35分）：重点考查简单几何体视图、平行四边形性质、矩形与解直角三角形、正六边形性质、圆与扇形、尺规作图与切线、平行四边形与相似三角形综合。对应第2、8、10、14、15、20、24题。 图形的变化与综合实践模块（约8%，10分）：重点考查综合实践活动中的几何建模、桌椅摆放方案设计与不等式应用。对应第22题。 统计与概率模块（约11%，13分）：重点考查简单概率、条形统计图与扇形统计图、样本估计总体、按比例分配。对应第7、21题。 核心复习策略 1. 回归教材，夯实四基 （1）系统梳理数与式、方程不等式核心概念，确保列代数式、幂运算、因式分解、二次根式、分式方程、不等式组、一元一次方程等基础题不丢分；重视教材例题变式，理解概念本质而非死记题型。 （2）建立“数—式—方程—函数”一体化复习框架，对反比例函数、二次函数图象性质及综合应用进行针对性训练，提升数形结合与建模能力。 2. 强化几何推理，提升直观想象 （1）以平行四边形、矩形、圆、正多边形为主线，规范几何证明书写；重点突破尺规作图、切线判定、圆中角度与弧长计算、相似三角形综合题。 （2）加强解直角三角形、图形变换、拼接探究等操作性几何问题的训练，学会通过添加辅助线、构造基本图形来建立已知与未知的联系。 3. 关注情境与探究，提升应用意识 （1）多关注湖湘文化、国家成就、校园生活、乡村振兴等真实情境，练习从文字、图表中提取关键信息并建立数学模型。 （2）重视综合实践、阅读理解型、探究型问题，培养“阅读—理解—建模—求解—解释”的解题习惯，提升代数推理、几何探究与创新思维能力。 避坑提醒（考试最易踩的雷） ×统计图表信息读取不细：第21题条形图与扇形图结合，容易忽略“总人数=某项目人数÷对应百分比”这一桥梁，导致后续圆心角、补全图形、样本估计出错。 ×跨学科或实际情境题建模不当：第3题化学化合价计算、第19题治沙面积、第22题桌椅摆放、第23题河岸开发，需仔细梳理数量关系与单位，避免漏条件或列错等量关系。 ×几何探究题只记结论不重过程：第24题平行四边形拼接等腰三角形涉及角度推导、线段关系证明与二次函数最值，必须紧扣已知条件逐步推理，不能凭感觉套用相似或全等结论。 ×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。 一、单选题 1．某品牌三角板的售价是每副元，则买副这样的三角板需要（     ） A．元 B．（）元 C．元 D．元 命题透视 ►核心考点：核心考点：列代数式。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以购买三角板为背景，根据单价与数量表示总费用。 （2）问题设计：问题设计：已知单价为每副m元，购买n副，要求用代数式表示总费用。 （3）考查目标：考查目标：考查从实际问题中抽象代数式的能力。 答案与解析 【答案】A 【详解】解：总费用为元． 知识总结 ①核心概念：总费用=单价×数量。②解题要点：直接列出m×n。③关联拓展：列代数式是方程与函数学习的基础。 2．如图，该电池的主视图是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：简单几何体的主视图。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以电池为背景，判断其主视图。 （2）问题设计：问题设计：给出电池实物图及四个选项，要求选择正确主视图。 （3）考查目标：考查目标：考查空间观念与三视图识别能力。 答案与解析 【答案】D 【详解】 解：该电池的主视图是． 知识总结 ①核心概念：主视图是从物体正面观察得到的平面图形。②解题要点：圆柱形电池的主视图是矩形。③关联拓展：三视图是工程制图与空间想象的基础。 3．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：有理数的混合运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以水的化学式中氢、氧元素化合价计算为背景，体现跨学科融合。 （2）问题设计：问题设计：给出氢、氧化合价，计算表达式结果。 （3）考查目标：考查目标：考查有理数运算能力。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：有理数混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减的顺序。②解题要点：将化合价代入表达式，按运算顺序计算。③关联拓展：跨学科情境题需准确提取数学信息。 4．已知点在数轴上的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：实数与数轴。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，根据点在数轴上的位置判断该点可能表示的数。 （2）问题设计：问题设计：给出数轴上点的大致位置，从四个无理数或有理数中选择最可能的值。 （3）考查目标：考查目标：考查数形结合与无理数估算能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】设点表示的数为a，由数轴可知，，根据，，，即可得出答案， 【详解】解：设点表示的数为a， 由数轴可知，， ∵，，，， ∴点表示的数可能是． 知识总结 ①核心概念：数轴上右边的数大于左边的数；常见无理数如√2≈1.414，√3≈1.732。②解题要点：先确定点所在区间，再估算各选项数值。③关联拓展：实数估算常与平方根、立方根综合。 5．已知，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：幂的运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，已知幂的等式求参数。 （2）问题设计：问题设计：利用积的乘方法则将等式左边变形，根据指数对应相等求出参数。 （3）考查目标：考查目标：考查幂运算法则与指数方程思想。 答案与解析 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 【详解】解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 知识总结 ①核心概念：积的乘方(ab)^n=a^n b^n；同底数幂相等则指数相等。②解题要点：将已知等式两边化为同底数幂形式，对比指数。③关联拓展：幂运算常与整式乘除、因式分解结合。 6．若是分式方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：分式方程的解。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，已知分式方程的解，求参数值。 （2）问题设计：问题设计：将方程的解代入原分式方程，得到关于参数的一元一次方程并求解。 （3）考查目标：考查目标：考查分式方程解法与代入求值能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】是分式方程的解， 将代入原方程，可得， 整理得， 解得． 知识总结 ①核心概念：分式方程的解使方程左右两边相等。②解题要点：代入解后化简，注意检验是否为增根。③关联拓展：分式方程常与参数讨论、增根问题结合。 7．在四张完全相同的卡片正面分别印上“湘剧”“花鼓戏”“阳戏”“祁剧”的非遗知识，将其背面朝上洗匀后随机抽取一张，恰好抽中“湘剧”卡片的概率为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：简单概率。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以湖南四种非遗剧种卡片为背景，考查随机抽取的概率。 （2）问题设计：问题设计：四张卡片中随机抽一张，求抽到“湘剧”的概率。 （3）考查目标：考查目标：考查概率基本概念与文化情境下的应用。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：∵ 共有张完全相同的卡片， ∴所有等可能的抽取结果总数为， ∵抽中“湘剧”卡片的结果数为， ∴ 恰好抽中“湘剧”卡片的概率为 ． 知识总结 ①核心概念：等可能事件概率=所求结果数÷总结果数。②解题要点：总结果数为4，抽到湘剧的结果数为1。③关联拓展：概率问题常结合传统文化、体育比赛等情境。 8．如图，在四边形中，连接．若，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．平分 命题透视 ►核心考点：核心考点：平行四边形性质与三角形内角和。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何情境，在四边形中连接对角线，判断四个结论的正确性。 （2）问题设计：问题设计：利用平行四边形对角相等、邻角互补及三角形内角和进行推理判断。 （3）考查目标：考查目标：考查平行四边形性质与角度推理能力。 答案与解析 【答案】B 【分析】因为，，，可得，，，逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，故B选项正确； ∵，∴不平分，故D选项错误； ∵，∴与不平行，故C选项错误； ∵，故A选项错误． 知识总结 ①核心概念：平行四边形对角相等、邻角互补；三角形内角和为180°。②解题要点：根据已知角度推导其他角，再逐项判断。③关联拓展：平行四边形常与全等、相似、特殊四边形综合。 9．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形的斜边经过原点，连接．已知，若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：平面直角坐标系中的等腰三角形与全等。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，直角三角形斜边经过原点，已知一角和一点坐标，求另一点坐标。 （2）问题设计：问题设计：利用等腰三角形性质证明三角形全等，从而得到线段长度关系，确定点坐标。 （3）考查目标：考查目标：考查坐标几何与全等三角形综合推理能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质得到，可证明，得到，则可证明，再根据点A的坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵若点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 知识总结 ①核心概念：等腰三角形两底角相等；全等三角形对应边相等。②解题要点：通过角度关系证明全等，再利用坐标对称性求未知点坐标。③关联拓展：坐标系中的几何问题常结合对称、旋转、相似。 10．门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：核心考点：矩形性质与解直角三角形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以门与门吸的平面示意图为背景，将实际问题抽象为几何问题。 （2）问题设计：问题设计：通过作垂线构造矩形与直角三角形，利用已知角度和边长求门吸离墙的距离。 （3）考查目标：考查目标：考查几何建模与解直角三角形能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 知识总结 ①核心概念：矩形对边相等、四角为直角；解直角三角形可利用三角函数。②解题要点：过关键点作垂线，将斜向距离转化为水平和竖直距离。③关联拓展：解直角三角形常用于测量、建筑、生活器物结构问题。 二、填空题 11．化简：________ 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次根式化简。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学情境，化简二次根式。 （2）问题设计：问题设计：将被开方数分解因数，提取完全平方数进行化简。 （3）考查目标：考查目标：考查二次根式化简能力。 答案与解析 【答案】 【详解】解：． 知识总结 ①核心概念：√(a²b)=a√b（a≥0）。②解题要点：将被开方数写成完全平方数与另一数乘积的形式。③关联拓展：二次根式化简常与分母有理化、二次根式运算结合。 12．因式分解：________ 命题透视 ►核心考点：核心考点：反比例函数性质与三角形外接圆。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯函数几何情境，反比例函数图象上的点与三角形外接圆结合。 （2）问题设计：问题设计：利用同弧所对圆周角相等，将圆中角转化为三角形中角求解。 （3）考查目标：考查目标：考查反比例函数与圆的综合推理能力。 答案与解析 【答案】 【分析】利用平方差公式：进行因式分解． 【详解】． 知识总结 ①核心概念：同弧所对圆周角相等；反比例函数y=k/x中k=xy。②解题要点：利用圆的性质将角度关系转化，再代入坐标求k。③关联拓展：反比例函数常与圆、相似、面积综合考查。 13．已知，则代数式的值是________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：因式分解。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯代数情境，对多项式进行因式分解。 （2）问题设计：问题设计：直接利用平方差公式进行因式分解。 （3）考查目标：考查目标：考查因式分解基本方法。 答案与解析 【答案】2026 【分析】将代数式前两项提取2进行变形，把已知代数式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴． 知识总结 ①核心概念：平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)。②解题要点：识别平方差结构后直接套用公式。③关联拓展：因式分解是解方程、化简分式的重要工具。 14．如图，是两个正六边形的公共边，和是离最远的顶点，则________°． 命题透视 ►核心考点：核心考点：正六边形内角与轴对称性。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何情境，两个正六边形共用一条边，求某角度数。 （2）问题设计：问题设计：利用正六边形内角和轴对称性确定角度关系。 （3）考查目标：考查目标：考查正多边形性质与对称性推理能力。 答案与解析 【答案】120 【详解】解：∵图是两个正六边形， ∴每个内角为， 由正六边形的轴对称性可知，， 同理可得， ∴． 知识总结 ①核心概念：正六边形每个内角为120°；正六边形具有多条对称轴。②解题要点：根据公共边对称性，确定相关角的度数，再求目标角。③关联拓展：正多边形内角、外角、对称性是常考知识点。 15．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：弧长与扇形面积。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯几何情境，已知圆的半径及其周长与某弧长的倍数关系，求阴影部分面积。 （2）问题设计：问题设计：先求圆周长，再根据倍数关系求弧长，进而确定圆心角，最后用扇形面积公式求解。 （3）考查目标：考查目标：考查弧长、扇形面积公式及计算能力。 答案与解析 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 知识总结 ①核心概念：圆周长C=2πr；弧长l=nπr/180；扇形面积S=nπr²/360。②解题要点：由周长与弧长关系求圆心角n，再代入扇形面积公式。③关联拓展：扇形面积常与三角形面积组合求阴影面积。 16．如图，，，是反比例函数图象上三个不同的点，轴于点D． （1）若在的外接圆上，且点的坐标是，则________； （2）设是线段的中点，且轴．若，则________． 命题透视 ►核心考点：核心考点：反比例函数k的几何意义与相似三角形。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：反比例函数图象上三点，结合外接圆、中点和相似三角形进行探究。 （2）问题设计：问题设计：分两小问，第（1）问利用圆中角与三角函数求k；第（2）问利用中点、平行关系和相似比求参数。 （3）考查目标：考查目标：考查反比例函数、圆、相似三角形综合推理能力。 答案与解析 【答案】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，得，在中求即可； （2）连接并延长，交轴于点，先根据平行关系得出，根据三点坐标关系得出，再根据相似三角形的相似比得出，即可求出． 【详解】解：（1）轴， ，， 在的外接圆上，所对圆弧均为， ． （2）如图，连接并延长，交轴于点， 设，由是线段的中点得， 轴，轴， ， 两点横坐标相同， ，即 都在反比例函数上， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 知识总结 ①核心概念：反比例函数图象上点坐标满足xy=k；相似三角形对应边成比例。②解题要点：设点坐标，利用中点和平行关系建立比例式，结合反比例函数性质求解。③关联拓展：k的几何意义常与相似、中点、面积综合。 三、解答题 17．计算：． 命题透视 ►核心考点：核心考点：实数的混合运算。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，涉及零指数幂、负指数幂、算术平方根、绝对值等。 （2）问题设计：问题设计：按照实数混合运算顺序逐步计算。 （3）考查目标：考查目标：考查基本运算能力与运算准确性。 答案与解析 【答案】 【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 知识总结 ①核心概念：实数混合运算按优先级进行；特殊值如a⁰=1（a≠0）、a⁻ⁿ=1/aⁿ。②解题要点：分别化简各项，再进行加减。③关联拓展：常与特殊角三角函数值、二次根式综合。 18．解不等式组： 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次不等式组。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：纯数学计算题，解一元一次不等式组。 （2）问题设计：问题设计：分别解两个不等式，再取公共部分。 （3）考查目标：考查目标：考查不等式求解与解集表示能力。 答案与解析 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：解 移项得 解得 解 两边同时除以2得 移项得 解得 根据“同大取大”，取两个解集的公共部分得 因此原不等式组的解集为． 知识总结 ①核心概念：不等式组的解集是各不等式解集的公共部分。②解题要点：分别解每个不等式，借助数轴确定公共部分。③关联拓展：常与方程组、一次函数图象、实际应用综合。 19．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 命题透视 ►核心考点：核心考点：一元一次方程的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以我国三代治沙人科学治沙为背景，考查一元一次方程建模。 （2）问题设计：问题设计：设第一代治沙面积为未知数，根据“总面积是第一代的3倍还多5万亩”列方程求解。 （3）考查目标：考查目标：考查方程建模与应用意识。 答案与解析 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 知识总结 ①核心概念：列方程解应用题关键是找等量关系。②解题要点：设第一代治沙面积为x万亩，根据题意列方程3x+5=总面积。③关联拓展：工程、行程、利润问题常通过一元一次方程解决。 20．如图，在等腰中，．在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作． (1)求证：与⊙相切； (2)已知，，求⊙的半径． 命题透视 ►核心考点：核心考点：尺规作图、角平分线、切线判定与勾股定理。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：在等腰三角形中通过尺规作图作角平分线，再以某半径作圆，证明切线并求半径。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问利用等腰三角形三线合一证明垂直，从而证切线；第（2）问利用勾股定理求半径。 （3）考查目标：考查目标：考查尺规作图、圆的性质与几何推理能力。 答案与解析 【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线是的角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵是的半径，且点在上， ∴与相切； (2)的半径为 【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线平分；又，为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得．因是的半径，且点在直线上，即可证与相切； （2）由、，根据三线合一可知是底边的中线，则可得．在中，运用勾股定理即可求出的半径． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，且， ∴是底边的中线， ∴， 在中，， ∴的半径为． 知识总结 ①核心概念：角平分线作图；等腰三角形三线合一；切线判定需证半径与直线垂直；勾股定理a²+b²=c²。②解题要点：由尺规作图得角平分线，结合等腰三角形性质证垂直，再用勾股定理求半径。③关联拓展：切线证明常与等腰三角形、直角三角形、勾股定理结合。 21．科技创新，从“小”做起、某校举办校园科技节活动，为了解学生选择参与的科技活动项目的情况，随机抽取若干名学生进行问卷调查、所有问卷全部回收且有效，并对所得数据进行整理、部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 学生选择参与的科技活动项目调查问卷你选择参与的科技活动项目是（     ）（单选题） A．小发明        B．小制作 C．小实验        D．小论文 学生选择参与的科技活动项目统计图 请根据上述信息，回答下列问题： (1)本次问卷调查中，参与调查的学生有____人； (2)在扇形统计图中，项目C对应的圆心角的度数为____； (3)请补全条形统计图； (4)若该校有名学生．选择参与“小论文”项目的学生可能会被推荐为科技活动宣传员，请估计该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生人数； (5)该学校准备给四个科技活动项目设置个奖励名额，请你根据统计结果，合理分配每个活动项目的奖励名额． 命题透视 ►核心考点：核心考点：条形统计图、扇形统计图与样本估计总体。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以校园科技节活动调查为背景，综合考查统计图表分析。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求总人数；第（2）问求圆心角度数；第（3）问补全条形图；第（4）问用样本估计总体；第（5）问按比例分配奖励名额。 （3）考查目标：考查目标：考查统计图信息提取、数据分析与应用意识。 答案与解析 【答案】(1)100 (2) (3) (4)该校可能会被推荐为科技活动宣传员的学生有180人 (5)小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额 【分析】（1）联合条形统计图和扇形统计图进行求解即可； （2）由项目C占总人数的百分比即可求出其圆心角； （3）先求出项目A的人数，再进行补全即可； （4）根据样本估计总体，即可得出科技活动宣传员的学生人数； （5）根据样本中每个项目的所占百分比进行分配奖励名额即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择B项目的学生有50人；由扇形统计图可知，B项目人数占总人数的， ∴总人数为（人）； （2）解：由条形统计图可知，选择C项目的学生有25人， ∴其圆心角度数为； （3）解：由题意得，A项目的人数为（人）； （4）解：由题意得，选择小论文的人数约为：（人）； （5）解：由题意得，按各项目参与人数占总人数的比例，分配80个奖励名额， ∴A项目的奖励名额为：（个）； B项目的奖励名额为：（个）； C项目的奖励名额为：（个）； D项目的奖励名额为：（个）， 答：小发明分配8个名额，小制作分配40个名额，小实验分配20个名额，小论文分配12个名额． 知识总结 ①核心概念：扇形圆心角=360°×该部分百分比；样本估计总体用样本比例推断总体。②解题要点：先由已知项目人数和百分比求总人数，再依次求解各问。③关联拓展：统计综合题常与概率、决策分析结合。 22．某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整． 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形．如图，该阅读室摆放了行列共套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙． (1)如图，连接，则________米，取，________米（结果保留一位小数）； (2)求阅读室的长与宽； 【问题解决】 (3)调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由． 命题透视 ►核心考点：核心考点：正方形、等腰直角三角形、勾股定理与不等式建模。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以阅读室桌椅摆放调整为背景，设计容纳更多桌椅的方案。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求线段长；第（2）问求阅读室长宽；第（3）问通过不等式建模判断能否摆下60套桌椅。 （3）考查目标：考查目标：考查综合实践中的数学建模与不等式应用能力。 答案与解析 【答案】(1)， (2)长为米，宽为米 (3)解：可以摆下 理由：设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数x为10， 根据题意，得， 解得， ∴最大整数y为6， ∵， ∴可以摆下． 【分析】（1）根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求即可； （2）根据长为8个的长加上7个过道；宽为5个的长加上4个过道求解即可； （3）设横向摆放x套桌椅，纵向摆放y套桌椅，根据x个的长加上个过道不超过总长度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数x的最大值，根据y个的长加上个过道不超过总宽度减去靠墙的两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出的最大值，然后与60比较，即可得出结论． 【详解】（1）解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴（米），， ∴， ∴（米）； （2）解∶阅读室的长为（米），宽为（米） （3）略 知识总结 ①核心概念：等腰直角三角形斜边与直角边关系；勾股定理；不等式整数解。②解题要点：先求单套桌椅所需空间尺寸，再列不等式求最大摆放数量。③关联拓展：实际方案设计问题常需结合几何、方程、不等式与整数约束。 23．如图，公路与铁路垂直交汇于河岸点处，公路与河岸的另一交点为，其中河岸段为抛物线的一部分，段为线段，，，点到公路的距离，抛物线的顶点到公路与铁路的距离分别为与．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与公路围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图，栅栏紧挨公路（与公路的距离忽略不计），栅栏，点在该段抛物线上；栅栏，点在线段上．以点为坐标原点，直线与分别为轴与轴，规定个单位长度为，建立平面直角坐标系． (1)请直接写出点的坐标； (2)分别求直线与抛物线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)点到铁路的距离小于，，已知建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元．求栅栏到铁路的距离． 命题透视 ►核心考点：核心考点：二次函数与一次函数综合的实际应用。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：以乡村河道开发生态放牧为背景，抛物线型河岸与线段河岸围成区域，用栅栏围成封闭区域并计算造价。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求点坐标；第（2）问用待定系数法求直线和抛物线表达式；第（3）问根据总造价求栅栏长度，再列方程求栅栏到铁路的距离。 （3）考查目标：考查目标：考查函数建模、方程求解与实际应用能力。 答案与解析 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为：；抛物线的函数表达式为： (3) 【分析】（1）由确定，利用勾股定理由、求点的横坐标． （2）用待定系数法分别求直线和抛物线的解析式． （3）先由总造价与单价求出栅栏总长为，即；设，利用抛物线解析式写出，利用直线解析式写出；由把用表示，再得到关于的一元二次方程，结合取根，即可得到栅栏到铁路（轴）的距离． 【详解】（1）解： 为原点，为轴，， ， 点到的距离，， ∴， ∴， ． （2）解：设直线的函数表达式为：， 将、代入得：， 解得， 直线的函数表达式为：． 顶点到的距离为，到的距离为， ， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ， 抛物线的函数表达式为：． （3）解：∵建长栅栏的各项开支为万元，建完栅栏需花费万元， ∴栅栏总长为， ， 设点的坐标为，且， 点到铁路的距离小于， ， 点在抛物线上， ， ， 设点的坐标为，且， 点在直线上， ， ， ， ， 整理得：， 又， ， 将代入，整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 栅栏到铁路的距离为． 知识总结 ①核心概念：待定系数法求一次函数、二次函数表达式；抛物线顶点式；一元二次方程求解。②解题要点：建立坐标系后，利用已知点坐标求解析式，再根据造价条件列方程。③关联拓展：二次函数实际应用常与最值、面积、造价、抛物线形建筑结合。 24．【问题背景】 如图 ，给定平行四边形，点是边上不与，重合的一动点．如图 ，作，使得，且当点运动时，保持，． 【动手操作】 将拼接于平行四边形的上方： 操作一：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，作交于点； 操作二：如图，使点与重合，点与重合，将此时的点记为，连接． 【问题解决】 (1)如图 ，当时，________°； (2)如图，从结论①，②中选一个给出证明； ①，②； (3)如图，在点运动过程中，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (4)如图，设，，当点运动时，求的最大值． 命题透视 ►核心考点：核心考点：平行四边形、等腰三角形、相似三角形与二次函数最值。 ►命题分析： （1）情境创设：情境创设：新构等腰三角形拼接于平行四边形上方，通过操作探究角度、线段关系与最值。 （2）问题设计：问题设计：第（1）问求角度；第（2）问证明两条线段关系；第（3）问探究线段数量关系；第（4）问利用相似与二次函数求最大值。 （3）考查目标：考查目标：考查几何探究、推理能力与二次函数最值综合，是全卷压轴题。 答案与解析 【答案】(1)100 (2)解：选择①， 证明：∵， ∴， 又， ∴； 选择②， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴； (3)解：， 理由：∵，， ∴①，， ∵， ∴②， 由①得， 由②得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (4) 【分析】（1）根据平角定义求解即可； （2）选择①：根据平行线的性质得出，结合即可得证；选择②：根据平行四边形的性质和平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得证； （3）根据（2）中∵，，可得出，，则，变形为，则，得出，然后根据等式的性质即可得出结论； （4）根据题意，得图3中和图4中全等，得出，由图3中，得出，结合，得出，则可证明，设，则，根据相似三角形的性质求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）略 （3）略 （4）解：根据题意，得图3中和图4中全等， ∴， ∵图3中， ∴， 由（3）知：， ∴， 又， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴ ， ∴当时，取最大值为． 知识总结 ①核心概念：平行四边形对边平行且相等；等腰三角形两腰相等、两底角相等；相似三角形对应边成比例；二次函数最值可用配方法或顶点公式求。②解题要点：紧扣平行四边形与等腰三角形性质，通过全等、相似建立线段关系，再设变量用二次函数求最值。③关联拓展：几何探究压轴题常涉及操作发现、猜想证明、最值计算，需要耐心推导与数形结合。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $