第06讲 等式性质与不等式性质（培优讲义）新高一数学人教A版

第06讲 等式性质与不等式性质（培优讲义） 2 知识点01 等式与不等式的基本性质（高频考点） 2 知识点02 不等式的概念与两式大小关系 2 3 题型1 用不等式表示数量关系 3 题型2 作差法与作商法比较大小 3 题型3 用不等式性质比较大小 4 5 题型1 利用不等式性质判断命题真假 5 题型2 利用不等式性质证明不等式 6 题型3 不等式的简单变形与范围判断 7 7 7 课标要点 1.掌握等式的基本性质，类比理解不等式的基本性质，区分二者异同。 2.熟练运用作差法、作商法、不等式性质比较实数、代数式的大小。 3.能利用不等式性质判断命题正误、证明简单不等式，掌握不等式变形的易错点。 4.会结合不等式性质求解取值范围，解决综合推理题型，对接课内考点与高考基础题型。 知识点01 等式与不等式的基本性质（高频考点） 设为实数 对称性：若，则 传递性：若，则 加减性质：若，则 乘除性质：若，则 ；若，则 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 同向同正可乘： 乘方性质： 开方性质： 练习 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 不等式的概念与两式大小关系 对于任意两个实数 a,b，有且仅有以下一种关系成立： 作差法（通用首选）：作差 → 变形（因式分解、配方、通分）→ 判断符号 → 下结论 作商法（多用于正数比较）：两式均为正，作商 → 与 1 比大小 → 下结论 练习 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型1 用不等式表示数量关系 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 考查考点：将文字描述、实际情境转化为不等式 / 不等式组。 解题技巧 梳理题干中的不等关键词（大于、小于、不小于、至多、至少等），找准变量，规范列式。 题型2 作差法与作商法比较大小 1．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设，，则（    ）． A． B． C． D． 3．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，则与的大小关系为____________. 5．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 方法技巧 作差法比较大小 步骤：①两式作差；②配方、因式分解化简；③判断差的正负；④得出大小关系。 作商法比较大小 ①先确认两式均为正数；②两式相除，将商与 1 对比；③结合结果判定大小。 题型3 用不等式性质比较大小 1．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 4．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 方法技巧 依据不等式基本性质，判断代数式大小。 逐条套用不等式性质，重点留意乘负数、取倒数等易变号环节。 题型1 利用不等式性质判断命题真假 1．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 3．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 给出多个不等式变形结论，判断正误。 正确结论用不等式性质推导验证； 错误结论举反例推翻，重点关注乘负数、零、正负混杂的情况。 题型2 利用不等式性质证明不等式 1．若，求证：． 2．已知均为正实数，且，求证：． 3．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 方法技巧 根据已知不等关系，严谨推导证明新的不等式。 从已知条件出发，逐步套用不等式性质推导，保证每一步变形有据可依。 题型3 不等式的简单变形与范围判断 1．[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 方法技巧 已知变量范围，求线性代数式的取值范围。 利用不等式同向可加性变形，禁止随意拆分变量、多次扩大范围。 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 1．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 6．下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 9．（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质（培优讲义） 2 知识点01 等式与不等式的基本性质（高频考点） 2 知识点02 不等式的概念与两式大小关系 3 3 题型1 用不等式表示数量关系 3 题型2 作差法与作商法比较大小 4 题型3 用不等式性质比较大小 7 9 题型1 利用不等式性质判断命题真假 9 题型2 利用不等式性质证明不等式 10 题型3 不等式的简单变形与范围判断 12 13 14 课标要点 1.掌握等式的基本性质，类比理解不等式的基本性质，区分二者异同。 2.熟练运用作差法、作商法、不等式性质比较实数、代数式的大小。 3.能利用不等式性质判断命题正误、证明简单不等式，掌握不等式变形的易错点。 4.会结合不等式性质求解取值范围，解决综合推理题型，对接课内考点与高考基础题型。 知识点01 等式与不等式的基本性质（高频考点） 设为实数 对称性：若，则 传递性：若，则 加减性质：若，则 乘除性质：若，则；若，则 对称性： 传递性： 可加性： 可乘性： 同向同正可乘： 乘方性质： 开方性质： 练习 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 知识点02 不等式的概念与两式大小关系 对于任意两个实数 a,b，有且仅有以下一种关系成立： 作差法（通用首选）：作差 → 变形（因式分解、配方、通分）→ 判断符号 → 下结论 作商法（多用于正数比较）：两式均为正，作商 → 与 1 比大小 → 下结论 练习 1．已知，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． 题型1 用不等式表示数量关系 1．一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 方法技巧 考查考点：将文字描述、实际情境转化为不等式 / 不等式组。 解题技巧 梳理题干中的不等关键词（大于、小于、不小于、至多、至少等），找准变量，规范列式。 题型2 作差法与作商法比较大小 1．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 2．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【详解】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题. 3．下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 4．已知，则与的大小关系为____________. 【答案】 【分析】运用做商比较法，由题意可得，与1比较大小. 【详解】∵，又，∴>1，，∴， 即 >1.又，∴ . 故答案为：. 5．已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 方法技巧 作差法比较大小 步骤：①两式作差；②配方、因式分解化简；③判断差的正负；④得出大小关系。 作商法比较大小 ①先确认两式均为正数；②两式相除，将商与 1 对比；③结合结果判定大小。 题型3 用不等式性质比较大小 1．已知a、b、 ， ，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，满足，，则，故A错误； 对于B，由，得，则，故B正确； 对于C,D，当时，，，故C,D错误. 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 3．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 4．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 方法技巧 依据不等式基本性质，判断代数式大小。 逐条套用不等式性质，重点留意乘负数、取倒数等易变号环节。 题型1 利用不等式性质判断命题真假 1．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 由，所以，故，充分性成立， 由，得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．若，则“”是“”的（    ）条件. A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不必要也不充分 【答案】C 【详解】充分性：由“”可得，但当时，，不满足“”， 因此充分性不成立； 必要性：由“”可得，所以，即，可知必要性成立； 因此“”是“”的必要非充分条件. 3．对实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，不妨取,,此时,所以不能推出， 若等价于,因为，所以, 即能推出, 综上，“”是“”的必要且不充分条件， 故选：B 方法技巧 给出多个不等式变形结论，判断正误。 正确结论用不等式性质推导验证； 错误结论举反例推翻，重点关注乘负数、零、正负混杂的情况。 题型2 利用不等式性质证明不等式 1．若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 2．已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 3．（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 方法技巧 根据已知不等关系，严谨推导证明新的不等式。 从已知条件出发，逐步套用不等式性质推导，保证每一步变形有据可依。 题型3 不等式的简单变形与范围判断 1．[多选]下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确. 2．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 方法技巧 已知变量范围，求线性代数式的取值范围。 利用不等式同向可加性变形，禁止随意拆分变量、多次扩大范围。 1．（2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 1．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法可判断AC；利用不等式性质可判断BD. 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 2．已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． 4．下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】对于选项A，可根据已知不等式判断的取值情况，再结合不等式性质判断与的大小关系； 对于选项B，可根据不等式两边同时平方的性质判断与的大小关系； 对于选项C，可通过作差法比较与的大小； 对于选项D，可根据不等式的性质求出的取值范围． 【详解】选项A，已知 ，因为 ，当 时，，不满足 ，所以 ，则 ． 不等式 两边同时除以 ，不等号方向不变，可得 ． 当 时，满足 ，但此时 ，所以选项A错误． 选项B，已知 ，因为 和 都有意义，所以 ． 不等式两边同时平方，不等号方向不变，可得 ，即 。 因为函数 在 上单调递增，所以由 可得 ，选项B正确。 选项C， ， 因为 ，所以 ，，则 ， 所以 ，即 ，选项C错误． 选项D，已知 ，不等式两边同时乘以 ，不等号方向改变，可得 ， 又因为 ，根据不等式的性质，两个不等式相加，不等号方向不变， 可得 ，即 ，选项D正确． 6．下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由不等式同向可加性可判断选项正误；对于B，由可判断选项正误；对于C，通过举特例可判断选项正误；对于D，由作差法可判断选项正误. 【详解】对于A，因，由不等式同向可加性可得，故A正确； 对于B，因，则，故B正确； 对于C，当，时，，故C错误； 对于D，， 因，则， 从而，故D正确. 故选：ABD 7．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由不等式性质逐项分析判断即可. 【详解】对于A：若，则当时，；时，；时，，A错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 即，不等式两侧同时乘以，得，即，B正确； 对于C：因为，所以，所以，C正确； 对于D：因为，所以，所以，即，D错误； 故选：BC. 8．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 9．（1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）证明：因为，，所以， 所以，又，所以. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $