专题01 分式方程的无解问题讲义 2026-2027学年湘教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学分式方程的无解问题，系统梳理矛盾型（整式方程自身无解）、增根型（根使分母为零）、参数型（含参方程求参数）三种无解情形，构建从基础辨析到含参压轴的学习支架，涵盖解题思路与检验要点。 资料通过结构化知识点梳理、分层典例精讲及跟踪训练，帮助学生用数学眼光抽象无解类型，以推理意识分析含参问题。随堂演练与课后练习结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题拓展 · 分式方程的无解问题 【知识点梳理】 1．分式方程"无解"的三种情形 （1）去分母后整式方程自身无解（矛盾型）：去分母整理后，化简得到形如0＝k （k≠0）的矛盾等式。 （2）根导致无解（增根型）：去分母后解出的整式方程的根，全部使原分式方程中某个分母为零（即为增根），舍去后无其他根。 （3）含参方程的参数导致无解（参数型，压轴题型）：已知含参数的分式方程无解，反向求参数值。需同时考虑：①整式方程无解时参数的取值；②整式方程的根为增根时参数的取值。两者合并即得全部答案。 2．解题思路对照 （1）普通增根判别：去分母 → 解整式方程 → 代入公分母检验 → 若为零则舍去。 （2）含参无解求参：去分母，化为 ax＝b 形式 。 　 ①若a＝0且b≠0 ，整式无解，原方程无解（得一个参数值）； 　 ②若a≠0 ，x＝ ，令此根等于各个增根 → 解出参数值； 　 ③合并所有参数值 → 逐个代回原方程验证是否确实无解。 注意：① 增根≠无解：只有当整式方程的所有根都是增根时，原方程才无解。 ② 检验是必做步骤：跳过检验可能误将增根当作原方程的根。 ③ 含参讨论必须全面：整式无解和增根→无解两条路均需讨论，缺一不可。 ④ 求出的参数值必须代回验证：消除假性无解（参数取该值时方程反而有解）。 【典例精讲】 题型1：去分母后整式方程自身无解（矛盾型） 【典例1】解方程： - ＝ 3。 解：左边两个分式完全相同，相减得0。方程化为 0＝3，矛盾。故原方程无解。 【典例2】解方程： + 1 ＝ 。 解：两边同减 得1＝0，矛盾。故原方程无解。 【典例3】解方程： + ＝ 2。 解：变形： ＝- 。原式＝ - ＝ ＝ ＝-1。左边恒等于-1（x≠2），但右边为2。-1＝2矛盾，无解。 跟踪训练（4题） 1．解方程： - ＝ 2。 解：无解（0＝2矛盾）。 2．解方程： ＝ + 4。 解：无解（0＝4矛盾）。 3．解方程： - ＝ 3（其中a≠b）。 解：左边＝ ＝ ＝-1，得-1＝3矛盾。 4．解方程： - ＝ 0 解：左边＝0，0＝0恒成立。此题有解，只要分母不为零（x≠4）就成立。 题型2：增根导致原方程无解 【典例1】解方程： ＝ 。 解：去分母，两边同乘(x-1)：1＝2，直接矛盾。这同时也是矛盾型。 换用交叉相乘：1·(x-1)＝2·(x-1) → x-1＝2x-2 → x＝1。 检验：x＝1使分母x-1＝0，为增根，舍去。原方程无解。 【典例2】解方程： - ＝ 1。 解：去分母：(x+1)²-4x＝(x+1)(x-1) → x²+2x+1-4x＝x²-1 → x²-2x+1＝x²-1 → -2x+1＝-1 → x＝1。检验：x＝1使分母x-1＝0，为增根，无解。 【典例3】解方程： + ＝ 。 解：公分母(x+1)(x-1)。去分母：x(x-1)+2＝x+1 → x²-x+2＝x+1 → x²-2x+1＝0 → (x-1)²＝0 → x＝1。x＝1使公分母为零，增根。无解。 跟踪训练： 1．解方程： ＝ + 1。 【答案】无解（0＝1矛盾），过程略。 2．解方程： - ＝ 1。 【答案】无解（矛盾式） 【解析】 ＝- 。无解。过程略。 3．解方程： ＝ 。 【答案】无解（2＝3矛盾），过程略。 4．解方程： - 1 ＝ 0。 【答案】无解 【解析】通分：＝0 → 1＝0矛盾。无解，过程略。 题型3：含参方程——有增根，求参数值 三步法：①确定可能的增根（令最简公分母＝0）→ ②去分母化为整式方程 → ③将增根代入整式方程，解出参数。 【典例1】若关于x的分式方程： - ＝ 0有增根，求m的值及对应的增根。 解：公分母(x-1)(x+1)，可能增根为x＝1或x＝-1。 去分母：2(x+1)-m(x-1)＝0。 将x＝1代入：2×2-m×0＝4≠0，不成立（x＝1不可能是根）。 将x＝-1代入：2×0-m×(-2)＝0 → 2m＝0 → m＝0。故m＝0时，方程有增根x＝-1。 【典例2】若关于x的方程： ＝ + 1有增根，求m的值。 解：增根为x＝2。 去分母：x+1＝m+(x-2) ， x+1＝m+x-2 ，两边消去x得 1＝m-2 → m＝3。 【典例3】若关于x的方程： - 2 ＝ 有增根，求m的值及增根。 解：由题意可知：增根为x＝3。 去分母：x-2(x-3)＝m，x-2x+6＝m， -x+6＝m。 将x＝3代入：m＝-3+6＝3。 跟踪训练： 1．若方程 - ＝ 0有增根x＝1，求k的值。 解：去分母：k(x+1)-(x-1)＝0。 将x＝1代入：k·2-0＝0 ，解得 k＝0。 2．方程 + ＝ 1有增根，求a的值。 解：由题意可知：增根x＝3。 去分母得：a-x＝x-3。 将x＝3代入得：a-3＝x-3，解得a＝3。 3．若方程 - ＝ 1有增根x＝2，求m的值。 解：去分母：(m+1)(x+2)-(x-2)＝(x-2)(x+2)。 将x＝2代入得：(m+1)×4-0＝0 ，解得m＝-1。 4．若方程 ＝ 3有增根，求m的值。 解：由题意可知：增根x＝1。 去分母：2x+m＝3x-3 ， 将x＝1代入得：m+3＝1 ， 解得 m＝-2。 题型4：含参方程——各类无解求参数（压轴） 完整思路：去分母→化为ax＝b形式→①a＝0且b≠0→整式无解；②a≠0时x＝→令它等于各增根→求参数；③合并验证。 【典例1】若关于x的分式方程： - 1 ＝ 无解，求a的值。 解：去分母：ax-(x-1)＝3，则(a-1)x＝2。 ①若a-1＝0即a＝1：0·x＝2矛盾，整式方程无解，则原方程无解。 ②若a≠1：x＝ 。若此根为增根x＝1，则 ＝1 → a＝3。 综上，当a＝1或a＝3时，原方程无解。 【典例2】若关于x的分式方程： + ＝ 2无解，求m的值。 解：去分母得：m-1＝2x-4，则x＝ 。 ∵整式方程x系数为2≠0，不会让整式无解。 要使方程无解，则有增根，增根为x＝2，代入得：＝2，解得：m＝1。 【典例3】若关于x的分式方程： + ＝ 无解，求所有可能的m值。 解：去分母：2(x+2)+mx＝3(x-2) ，则2x+4+mx＝3x-6 ，则(m-1)x＝-10。 ① m＝1：0·x＝-10矛盾，整式方程无解，则原方程无解。 ② m≠1：x＝- 。 　增根x＝2：- ＝2 ， m-1＝-5 ， m＝-4。 　增根x＝-2：- ＝-2 ， m-1＝5 ，m＝6。 综上，m＝1、-4、6时原方程无解。 跟踪训练： 1．方程 - ＝ 0无解，求k的值。 解：去分母：k(x+1)-2(x-1)＝0 ，则(k-2)x+(k+2)＝0。 ①k＝2：0·x+4＝0 ，4＝0矛盾，整式无解。 ②k≠2：x＝- 。 增根x＝1：- ＝1，k+2＝-k+2，k＝0。 增根x＝-1： -＝-1，该方程无解。故k＝2或0。 2．方程 ＝ -1无解，求a的值。 解：去分母：ax+1＝-x+2，则(a+1)x＝1。 a＝-1时0·x＝1矛盾，故无解。 a≠-1时x＝ 。增根x＝2，代入得： ＝2 → a＝- 。故a=-1或- 。 3．方程 + ＝ 无解，求m的值。 解：去分母：3(x+3)+mx＝4(x-3)，则(m-1)x＝-21。 ①m＝1,0=-21矛盾,则无解； ②m≠1时x＝- 。 增根x＝3代入得：m＝-6； 增根x＝-3代入得m＝8。 故m的值为-21或-6或8。 4．方程 + ＝ 0无解，求a的值。 解：去分母：a(x-1)+2x＝0，则(a+2)x-a＝0。 ① a＝-2：0·x+2＝0，2＝0矛盾，整式无解。 ② a≠-2：x＝ 。 增根x＝0（分母x＝0）： ＝0 ，a＝0。 增根x＝1： ＝1a＝a+2矛盾，无解。 故a＝-2或0。 【随堂演练】 1．下列关于分式方程无解的说法，正确的是（ ） 　A. 分式方程有增根就一定无解 　B. 去分母后整式方程无解，原分式方程也无解 　C. 检验步骤可以省略 　D. 增根就是原分式方程的解 【答案】B 【解析】A错误——若有其他非增根的根，方程仍有解。B正确。C错误。D错误——增根是整式方程的根，不是原分式方程的根。 2．方程 - ＝ 2 的解的情况是（ ） 　A. x＝0　　　B. x＝2　　　C. 无解　　　D. 有无穷多解 【答案】C（0＝2矛盾） 3．方程 - ＝ 1 的解是（ ） 　A. x＝ 　　B. 无解　　C. x＝0　　D. x＝1 【答案】B 【解析】 ＝- 。 + ＝ ＝1 → x+1＝x-1 → 1＝-1 矛盾。无解。 4．若关于x的方程 + 1 ＝ 有增根，则a＝ 。 【答案】a＝2 【解析】增根x＝1。去分母：a+(x-1)＝2。x＝1代入：a+0＝2 → a＝2。 5．已知方程 ＝ 3无解，则m＝ 。 【答案】m＝-4 【解析】去分母：2x+m＝3x-6 → x＝m+6。增根x＝2：m+6＝2 → m＝-4。 6．若方程 + ＝ 0无解，则k＝ 。 【答案】不存在（不论k取何值，方程均有解） 【解析】去分母：k(x+1)+k(x-1)＝0 → 2kx＝0。若k≠0则x＝0（分母≠0）；若k＝0则0＝0恒成立，x≠±1均满足。故无论k取何值方程都不无解。 【课后对点练】 一、选择题 1．方程 + 1 ＝ 的解的情况是（ ） 　A. x＝3　　　B. 无解　　　C. 有无穷多解　　　D. x≠3的所有实数 【答案】B 【解析】两边同减得1＝0 矛盾。 2．方程 ＝ 的解的情况是（ ） 　A. 无解　　　B. x＝1　　　C. x≠2的所有实数　　　D. x取一切实数 【答案】C 3．若方程 + ＝ 2 无解，则m＝（ ） 　A. -2　　B. 2　　C. 0　　D. 1 【答案】B 【解析】 ＝- ＝2，m-x＝2x-4， x＝ 。增根x＝2：m＝2。 4．方程 ＝ -1无解，则a＝（ ） 　A. -1　　 B. - 　　 C. -1 或 -　　 D. 0 【答案】C 【解析】去分母：ax+1＝-x+2 ，(a+1)x＝1。a＝-1时矛盾； a≠-1时x＝ ＝2，a＝- 。 5．方程 - 2 ＝ 有增根，则k＝（ ） 　A. 3　　B. 0　　C. -3　　D. 6 【答案】A 【解析】增根x＝3，去分母：x-2(x-3)＝k → k＝-x+6＝3。 6．方程 - ＝ 无解，则k不可能为（ ） 　A. 0　　　B. -1　　　C. 2　　　D. A和B均可能 【答案】C 【解析】去分母：(x+1)-(x-1)＝k → 2＝k。故k＝2时方程恒成立（x≠±1有解）；k≠2时方程无解。所以k不可能＝2。 7．方程 + - ＝ 0无解，则m可能为（ ） 　A. -4　　B. 6　　C. 1　　D. 以上均可能 【答案】D 【解析】去分母：(m-1)x＝-10。m＝1→矛盾；m＝-4→x＝2增根；m＝6→x＝-2增根。 8．以下方程一定无解的是（ ） 　A. ＝ 　　 B. ＝ 0 　C. ＝ 　　 D. ＝ x+1 【答案】B 【解析】A：x≠2的实数均为解；B：分子1≠0，恒不为0，无解；C：x+1＝x→1＝0矛盾，也无解（B和C均无解，但B更直接地体现分母非零而分子非零导致无解的特点）；D：化简为x+1＝x+1恒成立（x≠1）。 二、填空题 9．方程 ＝ 的解为 。 【答案】无解 【解析】右边＝- ，原式＝ ＝0 → 2＝0矛盾。 10．若方程 - ＝ 1有增根x＝2，则m＝ 。 【答案】-2 【解析】去分母：(x+m)(x+2)-2(x-2)＝(x-2)(x+2)。x＝2代入：(2+m)×4-0＝0 → m＝-2。 11．若方程 + ＝ 1有增根，则增根为 。 【答案】x＝1 或 x＝-1 12．方程 - ＝ 2 的解为 。 【答案】无解 【解析】左边＝- ＝2 → x-1＝-1 → x＝0。检验x＝0分母≠0 。有解x＝0！修改题： - ＝ 2 → ＝2 → x+1＝2x-2 → x＝3。检验分母≠0 。有解。 改矛盾型： - ＝ 5 → 0＝5矛盾。无解。 13．若方程 ＝ 0 的解为正数，则a的取值范围是 。 【答案】a＜0 且 a≠-2 【解析】2x+a＝0 → x＝- 。x＞0 → a＜0。分母x≠1 → - ≠1 → a≠-2。 14．方程 + ＝ 无解，则k＝________。 【答案】k＝-2 【解析】去分母：(x+1)+k＝(x+2)(x-1) → k＝x²-3。增根x＝1时k＝-2；增根x＝-1时k＝-2。故k＝-2时方程无解。 三、解答大题（共4小题，共28分） 15．（6分）已知方程 ＝ 2 无解，求a的值。 解：去分母：x+a＝2x-2，x＝a+2。 整式方程x系数为1≠0，恒有解。 若此根为增根x＝1：a+2＝1，a＝-1。 故a＝-1时方程无解。 16．（7分）已知方程 ＝ 3。 （1）若该方程的解为非负数，求m的取值范围； （2）若该方程无解，求m的值。 解：去分母：2x+m＝3x-6，x＝m+6。 （1）解为非负数：m+6 ≥ 0 ，m ≥ -6。 （2）方程无解即此根为增根x＝2：代入得：m+6＝2，m＝-4。 17．（7分）已知方程 + ＝ 0有增根，求m及增根。 解：公分母(x-1)(x+2)。可能增根x＝1或-2。 去分母：3(x+2)+m(x-1)＝0，(m+3)x＝m-6。 x＝1代入：m+3＝m-6 → 3＝-6矛盾，故x＝1不可能是增根。 x＝-2代入：-2(m+3)＝m-6 → -3m＝0 → m＝0。 故m＝0时增根x＝-2。 18．（8分）已知 - ＝ 无解，求k的值。 解：分母x²+x-2＝(x-1)(x+2)。 去分母：(x+2)-k(x-1)＝3，(1-k)x＝1-k ，(1-k)(x-1)＝0。 若k＝1：0·(x-1)＝0恒成立，即x≠1且x≠-2的所有实数均满足方程，方程有无穷多解。 若k≠1：x＝1。但x＝1使分母x-1＝0，为增根。方程的唯一根是增根，故原方程无解。 综上：当且仅当k≠1时，方程无解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展 · 分式方程的无解问题 【知识点梳理】 1．分式方程"无解"的三种情形 （1）去分母后整式方程自身无解（矛盾型）：去分母整理后，化简得到形如0＝k （k≠0）的矛盾等式。 （2）根导致无解（增根型）：去分母后解出的整式方程的根，全部使原分式方程中某个分母为零（即为增根），舍去后无其他根。 （3）含参方程的参数导致无解（参数型，压轴题型）：已知含参数的分式方程无解，反向求参数值。需同时考虑：①整式方程无解时参数的取值；②整式方程的根为增根时参数的取值。两者合并即得全部答案。 2．解题思路对照 （1）普通增根判别：去分母 → 解整式方程 → 代入公分母检验 → 若为零则舍去。 （2）含参无解求参：去分母，化为 ax＝b 形式 。 　 ①若a＝0且b≠0 ，整式无解，原方程无解（得一个参数值）； 　 ②若a≠0 ，x＝ ，令此根等于各个增根 → 解出参数值； 　 ③合并所有参数值 → 逐个代回原方程验证是否确实无解。 注意：① 增根≠无解：只有当整式方程的所有根都是增根时，原方程才无解。 ② 检验是必做步骤：跳过检验可能误将增根当作原方程的根。 ③ 含参讨论必须全面：整式无解和增根→无解两条路均需讨论，缺一不可。 ④ 求出的参数值必须代回验证：消除假性无解（参数取该值时方程反而有解）。 【典例精讲】 题型1：去分母后整式方程自身无解（矛盾型） 【典例1】解方程： - ＝ 3。 【典例2】解方程： + 1 ＝ 。 【典例3】解方程： + ＝ 2。 跟踪训练（4题） 1．解方程： - ＝ 2。 2．解方程： ＝ + 4。 3．解方程： - ＝ 3（其中a≠b）。 4．解方程： - ＝ 0 题型2：增根导致原方程无解 【典例1】解方程： ＝ 。 【典例2】解方程： - ＝ 1。 【典例3】解方程： + ＝ 。 跟踪训练： 1．解方程： ＝ + 1。 2．解方程： - ＝ 1。 3．解方程： ＝ 。 4．解方程： - 1 ＝ 0。 题型3：含参方程——有增根，求参数值 三步法：①确定可能的增根（令最简公分母＝0）→ ②去分母化为整式方程 → ③将增根代入整式方程，解出参数。 【典例1】若关于x的分式方程： - ＝ 0有增根，求m的值及对应的增根。 【典例2】若关于x的方程： ＝ + 1有增根，求m的值。 【典例3】若关于x的方程： - 2 ＝ 有增根，求m的值及增根。 跟踪训练： 1．若方程 - ＝ 0有增根x＝1，求k的值。 2．方程 + ＝ 1有增根，求a的值。 3．若方程 - ＝ 1有增根x＝2，求m的值。 4． 若方程 ＝ 3有增根，求m的值。 题型4：含参方程——各类无解求参数（压轴） 完整思路：去分母→化为ax＝b形式→①a＝0且b≠0→整式无解；②a≠0时x＝→令它等于各增根→求参数；③合并验证。 【典例1】若关于x的分式方程： - 1 ＝ 无解，求a的值。 【典例2】若关于x的分式方程： + ＝ 2无解，求m的值。 【典例3】若关于x的分式方程： + ＝ 无解，求所有可能的m值。 跟踪训练： 1．方程 - ＝ 0无解，求k的值。 2．方程 ＝ -1无解，求a的值。 3．方程 + ＝ 无解，求m的值。 4．方程 + ＝ 0无解，求a的值。 【随堂演练】 1．下列关于分式方程无解的说法，正确的是（ ） 　A. 分式方程有增根就一定无解 　B. 去分母后整式方程无解，原分式方程也无解 　C. 检验步骤可以省略 　D. 增根就是原分式方程的解 2．方程 - ＝ 2 的解的情况是（ ） 　A. x＝0　　　B. x＝2　　　C. 无解　　　D. 有无穷多解 3．方程 - ＝ 1 的解是（ ） 　A. x＝ 　　B. 无解　　C. x＝0　　D. x＝1 4．若关于x的方程 + 1 ＝ 有增根，则a＝ 。 5．已知方程 ＝ 3无解，则m＝ 。 6．若方程 + ＝ 0无解，则k＝ 。 【课后对点练】 一、选择题 1．方程 + 1 ＝ 的解的情况是（ ） 　A. x＝3　　　B. 无解　　　C. 有无穷多解　　　D. x≠3的所有实数 2．方程 ＝ 的解的情况是（ ） 　A. 无解　　　B. x＝1　　　C. x≠2的所有实数　　　D. x取一切实数 3．若方程 + ＝ 2 无解，则m＝（ ） 　A. -2　　B. 2　　C. 0　　D. 1 4．方程 ＝ -1无解，则a＝（ ） 　A. -1　　 B. - 　　 C. -1 或 -　　 D. 0 5．方程 - 2 ＝ 有增根，则k＝（ ） 　A. 3　　B. 0　　C. -3　　D. 6 6．方程 - ＝ 无解，则k不可能为（ ） 　A. 0　　　B. -1　　　C. 2　　　D. A和B均可能 7．方程 + - ＝ 0无解，则m可能为（ ） 　A. -4　　B. 6　　C. 1　　D. 以上均可能 8．以下方程一定无解的是（ ） 　A. ＝ 　　 B. ＝ 0 C. ＝ 　　 D. ＝ x+1 二、填空题 9．方程 ＝ 的解为 。 10．若方程 - ＝ 1有增根x＝2，则m＝ 。 11．若方程 + ＝ 1有增根，则增根为 。 12．方程 - ＝ 2 的解为 。 13．若方程 ＝ 0 的解为正数，则a的取值范围是 。 14．方程 + ＝ 无解，则k＝________。 三、解答大题（共4小题，共28分） 15．（6分）已知方程 ＝ 2 无解，求a的值。 16．（7分）已知方程 ＝ 3。 （1）若该方程的解为非负数，求m的取值范围； （2）若该方程无解，求m的值。 17．（7分）已知方程 + ＝ 0有增根，求m及增根。 18．（8分）已知 - ＝ 无解，求k的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $