第3章 3.5 一元二次方程的应用-课时2 几何图形问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的应用（几何图形问题）”，通过矩形空地修路、纸板剪正方形做纸盒等生活实例导入，衔接一元二次方程解法与几何图形性质，搭建从方程到实际应用的学习支架。 其亮点在于分层设计“刷基础、刷提升、刷素养”内容，结合动态几何问题培养学生几何直观与推理意识，如动点距离问题通过方程建模及判别式分析解的合理性，帮助学生用数学语言表达现实问题，提升应用能力，教师可直接用于分层教学，提高备课效率。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第3章一元二次方程 4 3.5 一元二次方程的应用 课时2 几何图形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 几何图形面积问题 1.【2026湖南娄底校级期末】如图，在长为、宽为 的矩形空地上修筑 四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且种植花卉的面积是 ，则小路的宽是( ) A A. B. C.或 D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】设小路的宽是.根据题意得 ，整理得 ，解得，（不符合题意，舍去）， 小路的宽 是 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2.【2025湖南常德期末】如图，有一张长、宽 的矩形纸板，将纸板四 个角各剪去一个边长为 的正方形，剩余部分可制成一个无盖长方体纸盒，要 使制成的纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的，则 的值为___. 5 【解析】根据题意知，纸盒底面的长为，宽为 ， ，解得或 （不符合题意，舍 去）， .故答案为5. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 3.如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙 的一段，再砌三面墙，围成 一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设 的 长为 . （1）的长为__________， 的取值范围是_______________. . 【解析】， . ， . 故答案为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为 ？ 【解】根据题意得 ， 整理得 ， 解得（舍去）， . 答：当为20时，可使矩形花园的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为 .”请你判断嘉嘉的说法是 否正确，并说明理由. 【解】嘉嘉的说法不正确. 理由：若嘉嘉的说法正确，则,即 . ， 该方程无实数根， 矩形花园 的面积不可能为 ，即嘉嘉的说法不正确. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 知识点2 动态几何问题 4.【2026广东深圳期中】如图，在矩形中， ， ，点，分别是边，上的动点，点， 同时出发， 点从点出发以的速度向点运动，到达点停止，点从点 出发以的速度向点运动，则当点和点的距离是 时， ， 两点运动了( ) A A.或 B.或 C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 【解析】.如图所示，过点作于点，则 .设运 动时间为，则，， ， .根据题意得 ，即 ，整理得，解得，，， 两点运动了或 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 5.如图，中， ，，，动点 从点出发以的速度向点运动，同时动点从点 出发以 的速度向点运动，设它们的运动时间为 . （1）根据题意知______，____________.（用含 的代数 式表示） . 【解析】由题意得，, ，故答案为 ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （2）为何值时，的面积等于四边形的面积的 ？ 【解】当的面积等于四边形的面积的时，的面积等于 的面积的.根据题意得，整理得 ， 解得 , 时，的面积等于四边形的面积的 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （3）在点，的运动过程中，的长可以是吗？如果可以，请求出 的值; 如果不可以，请说明理由. 【解】不可以.理由如下： 若可以，则由勾股定理得，整理得 . ， 该方程没有实数根， 的长不可以是 . 思路分析 先假设的长可以为，根据勾股定理得出关于 的一元二次方程，再根据根 的判别式得出此方程无实数根即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 提升 1.［中］空地上有一段长为米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 （如图），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为 平方米.下列说法错误的 是( ) A A.若，，则有一种围法 B.若， ，则有一种围法 C.若，，则有两种围法 D.若， ，则有一种围法 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 【解析】如图，设矩形的边长为米，则边长为 米.根据题意 得 . A 当，时，， ，即 ，解得，，此时 ,均 不符合题意，故A选项说法错误 B 当，时，， ，即 ，解得（不符合题意，舍去）， ，所以有一 种围法，故B选项说法正确 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 C 当，时，， ，即 ，解得，，此时 ,均符合题意， 所以有两种围法，故C选项说法正确 D 当，时，, ，即 ，解得，此时 ,符合题意，所以 有一种围法，故D选项说法正确 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 2.［较难］从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮上裁出一块面积为 的 矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上.若裁出的矩形全等视为同种裁 法，则裁法有( ) C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】等腰直角三角形中， ， ， ， .如图（1）， 矩形的边在上，顶点,分别在,上. ， ， ， ,, .设 . 矩形的面积是， ， ，，解得， ， 或，，或 ， .如图（2），矩形的边在上，在上，顶点在 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 上.，，.设 ，则 ,，解得，， 或4， ，或， ，裁出的这两个矩形全等， 有3种不同的裁法.故选C. 图（1） 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 本题考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的解法、 数形结合与分类讨论数学思想的运用等，综合性强，难度较大. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3.【2026湖南岳阳质检，中】如图所示，中， , , ,点从点开始沿向终点以的速度运动，点从点 开始沿 边向终点以的速度运动.如果，分别从， 同时出发，且当其中一 点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么运动______时，线段将 分 成面积为 的两部分. 2或4 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】设运动时间为，则, , . 线段将分成面积为 的两部分， 或 , 或,整理得或 .解 得,;对于 , , 方程无实数根.综上，运动时间为或 时， 线段将分成面积为 的两部分，故答案为2或4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 4.［较难］已知在长方形纸片中，，，现将两个边长分别为 和 的正方形纸片按图（1）、图（2）两种方式放置（图（1）、图（2）中两张正 方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表 示，设图（1）中阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分的面积为 ，若 ，则___；在上述条件下，在边长为 的大正方形纸片的左上角摆放 一个边长为的小正方形纸片，如图（3），若 ，则图（3）中阴影部分的面 积 ___. 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解析】根据题意得 ， .同理可得， ， , .又 ， .又，.将 代入 ，得,即 ，解得 ,（舍去）， .根据题意，得 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 ， . 故答案为3， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 本题中用，分别表示出阴影部分的面积和 ，再利用已知条件列出方程是解 题的关键 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合 【2026江苏宿迁质检，较难】如图，在矩形 中， ,,点从点出发沿以的速度向点 运动；同时， 点从点出发沿以的速度向点运动.设运动时间为 . 备用图 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （1）当时，的面积为____ . 28 【解析】当时，, . 矩形中，, , , , 故答案为28. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 （2）在运动过程中，的面积能否为?若能，求出 的值;若不能，请 说明理由. 【解】在运动过程中，的面积不能为 .理由如下： 根据题意得，, , , . 当 时， , 整理得 . , 方程无实数根， 的面积不能为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 33 （3）在运动过程中，当恰好是直角三角形，且 时，求 的值. 【解】由题意知，, , . 当恰好是直角三角形，且 时, , , 解得, , 即的值为6或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 34 $