第2章 2.1 锐角的正弦和余弦-课时2 余弦及用计算器求正弦值、余弦值-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“锐角的余弦及用计算器求正弦值、余弦值”，涵盖余弦值求法、特殊角计算、计算器应用及互余锐角正余弦关系。课堂导入可通过基础题回顾正弦，过渡到余弦定义，结合实例逐步深入，形成从概念到计算再到应用的学习支架。 其亮点是分层设计“刷基础、刷提升、刷素养”，注重运算能力（如特殊角余弦计算、用计算器求角度）和推理意识（如互余角关系证明、规律探索），通过2025各地质检题等实例，采用问题驱动与思路点拨的教学方法。学生能巩固基础并提升探究能力，教师可直接使用丰富例题与解析优化教学效率。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 4 2.1 锐角的正弦和余弦 课时2 余弦及用计算器求正弦值、余弦值 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 求锐角的余弦值 1.如图，点为 边上的任意一点，作于点 ， 于点，下列用线段比表示 的值，错误的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】，， ， ，， 选项A、B、D不符合题意， 选项C符合题意，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 2.【2025浙江宁波质检】在中， ，， ，则 __. 【解析】如图，在边上找一点，连接，使 ， .设， , 由 勾股定理可得，，解得 ， . , .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 知识点2 特殊角的余弦值的计算 3.在中，，都是锐角，且，，则 的形状是 ( ) B A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【解析】，，则 ， ，所以 ,所 以 是钝角三角形.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 4.【2025湖南岳阳期末】若 是锐角三角形的一个内角，且满足 ，则 的取值范围是_____________. 【解析】，，. 为锐 角， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 5.计算： . 【解】原式 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 知识点3 用计算器求锐角的度数或余弦值 6.【2026山东烟台期中】已知是一个锐角，且 ，利用计算器求 的度数，按键方法及计算结果正确的是( ) B A. ，结果约为 B. ，结果约为 C. ，结果约为 D. ，结果约为 【解析】利用计算器求 的度数，按键方法是 ，结果约为 ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 7.【2026江苏宿迁质检】利用计算器计算.（结果精确到 ） （1） . 【解】 . （2） . 【解】 . （3） . 【解】 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 知识点4 互余锐角的正弦、余弦间的关系 8.【2025湖南郴州质检】如果 是锐角，且，那么 的值等于 ( ) B A. B. C. D. 【解析】 ，， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 9.【2024山东滨州质检】在中， ，则 的值( ) A A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.不确定 【解析】设直角三角形中，的对边是，邻边是，斜边是 .根据锐角三角 函数的概念，得，,所以 .再根据三角形的三 边关系，得，故 的值大于1.故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 思路分析 根据锐角三角函数的概念表示出 的值，再根据三角形的三边关系进行 分析. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 10.【2024湖南衡阳期中】若锐角满足 ，则 的取值 范围是_______________. 【解析】 ， ， . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 提升 1.［中］已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含 角的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则 的值是 ( ) C A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】如图,过点作于，过点作于 .设 ，，间的距离为， ， ， ， .由题意可知， .在和 中，， . 在中， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2.【2025湖南郴州质检，中】如图，在平面直角坐标系中，，， ， 是正方形边上的线段，点在其中某条线段上，若射线与 轴正半轴 的夹角为 ，且 ，则点 所在的线段可能是( ) D A.或 B.或 C.或 D.或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】 四边形 是正方形， ， ， .如图（1），当点在线段或 上时， ，， . ， , 此种情况不符合题意.如图（2），当点 在线段或上时， ，， ， ，.， , 此种情况符合 题意.综上，点所在的线段可能是或 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 思路分析 分当点在线段或上时和当点在线段或 上时两种情况讨论，然后分 别表示出 和 的值，再判断 ， 的大小即可解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2025湖南永州期末，中】在由10个完全相同的等边三角形构 成的网格图中， , 如图所示，则 _ ___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】如图，连接.在中， ， ， .同理可得 ， .又 ， 关键点拨 构造出含一个锐角等于 的直角三角形是解题的关键. .设等边三角形的边长为，则 ， ， ， . 故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［中］定义：经过三角形重心且平分这个三角形周长的直线叫作“重分线”.如 果一个等腰三角形的“重分线”能经过其两腰，那么这个等腰三角形底角余弦值 的取值范围是__________. 【解析】设为等腰三角形，，为其重心， 是其“重分线”.如 图（1），当“重分线”一端点与底角顶点重合（以与重合为例）时， 重心 是三角形三条中线的交点，.又 “重分线”平分三角形周长， ，是等边三角形， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 图（1） 图（2） 如图（2），当“重分线”平行于等腰三角形的底边，即时,连接 并延 长交于，设，，则是 的重 心，, 易得平分 的周长， ，即，， 在 中， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 .综上所述，等腰三角形底角余弦值 的取值范围为 .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5. （1）锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，请利 用图（1）和图（2）探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 【解】在题图（1）中，令，于点， 于点 ，于点，显然有， . ，，， ， . 在题图（2）中，令 ，， ， . ，，即 . 综上可知，随着锐角度数的增大，正弦值越来越大，余弦值越来越小. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 （2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ， ， 这些角的正弦 值和余弦值的大小. 【解】由（1）的规律可得 ， . （3）比较大小：（在横线上填写“ ”“ ”或“ ”） 若 ，则 ___ ；若 ，则 ___ ；若 ，则___ 为锐角 . 【解析】若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .故答案为， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小： ， ， ， . 【解】 . 关键点拨 掌握锐角三角函数值的变化规律以及正、余弦的转换方法是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 刷素养 走向重高 6.核心素养 运算能力 ［较难］如果已知两个角的正弦值和余弦值，我们可以利 用公式 ，求两角和的正弦值，请利用这个公 式，解决下列问题： （1）计算 的值； 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 （2）利用公式证明： ，并在已知 的条件下，求 的值 为锐角 . 【解】 , ,, . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 $