第2章 2.1 锐角的正弦和余弦-课时1 正弦-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）
2026-08-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“锐角的正弦”，核心知识点包括正弦定义、特殊角正弦值及应用。通过含45°角的直角三角形等实例导入，联系直角三角形性质与勾股定理，以“刷基础-刷提升-刷素养”为学习支架，逐步深化理解。
其亮点是分层设计与核心素养融合，如网格中用面积法求sinB培养几何直观，证明sin²α + sin²(90°-α)=1发展推理意识，变形度问题激发创新意识。例题选自湖南各地质检题，思路分析清晰，助力学生巩固基础提升能力，教师可直接用于课堂教学与分层训练。
内容正文：
数 学
九年级上册 XJ
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2
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第2章 锐角的正弦、余弦、正切
4
2.1
锐角的正弦和余弦
课时1 正弦
5
刷基础
刷提升
目 录
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基础
知识点1 求锐角的正弦值
（第1题图）
1.如图，在中，是斜边上的高， ，则下
列比值中不等于 的是( )
D
A. B. C. D.
【解析】是斜边上的高， ，
，.在中，
是斜边上的高，，同时有 .
,, .故选D.
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思路分析
根据已知易得 ，然后利用正弦的定义判断即可.
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2.【2025湖南怀化期末】在中， ，若将 的三边都扩大到
原来的2倍，则 的值( )
C
A.缩小到原来的 B.扩大到原来的2倍
C.不变 D.无法确定
【解析】 将的三边都扩大到原来的2倍，所得的三角形与 是相似三
角形，的大小不变， 的值不变，故选C.
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3.【2025湖南岳阳质检】在直角三角形中，若，则 的值为
( )
B
A.或 B.或 C.或 D.或
【解析】①当为直角边时，， ，
；②当为斜边时， ，
.综上，或 .故选B.
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4.如图，若点的坐标为，则 _ __.
（第4题图）
【解析】过点作轴于点.由勾股定理，得 ，所以
.
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思路分析
根据勾股定理，可得 的长，再根据正弦的定义可得答案．
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（第5题图）
5.【2025湖南长沙质检】如图， 的顶点在正方形网格的格点
（网格线的交点）上，则 的值为_ ____.
【解析】令小正方形的边长为1.如图所示，过点作于 .由网格
的特点可知， .
，
，， 在 中，
，故答案为 .
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知识点2 特殊角的正弦值
6.【2025湖南湘西州质检】已知为锐角，若，则 的大小是( )
B
A. B. C. D.
【解析】，为锐角， .故选B.
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7.【2025上海静安区质检】在中， ，，那么 的
值等于( )
A
A. B. C. D.
【解析】 ，， ， ，
, ，故选A.
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8.计算: .
【解】原式 .
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知识点3 正弦值的应用
9.在中， ，，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
【解析】 在中， ，为锐角.， .
故选C.
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10.已知在中， ，设，当是最小的内角时， 的取值
范围是( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，知 .又， .故选A.
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11.已知 为锐角，若，则 等于____.
【解析】， ， ．故答案为 ．
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12.在中，已知，是锐角，且，求 的
度数.
【解】由，得, ，即
,，解得 ， ，所以
.
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提升
1.［中］在中， ，，，分别是，， 的对边，且有
，则 的值为( )
B
A. B. C. D.
【解析】，，,即在直角三角形
中，， ， ， ，
.故选B.
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思路分析
先根据已知条件求出 ，再由特殊角的三角函数值及三角形内角和定理求出
的度数，求解即可.
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（第2题图）
2.［中］在中， ，， ，
过点作直线，将绕点 顺时针旋转到如图所
示位置，此时点的对应点恰好落在直线上，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意可得在中， ．由旋
转的性质可知 直线， ，
又，， ，
．故选A．
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思路分析
先由勾股定理求出，再根据旋转的性质可得出 ，由平行线的
性质可知 ， ，最后由特殊角的三角函数值得出
，从而得出 ．
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（第3题图）
3.【2025湖南株洲调研，中】如图，等边三角形中，， 分
别为，边上的点，，与交于点 ，则
_ __.
【解析】是等边三角形， .在
与中，， ，
，, ，
, ，
.
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4.［中］小明在某次作业中得到如下结果：
，
，
，
，
.
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据此，小明猜想：对于任意锐角 ，均有 .
（1）当 时，验证 是否成立；
【解】当 时，
,
所以当 时， 成立.
（2）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.
【解】小明的猜想成立.证明如下：如图，在中， ，设
，则 ，则 .
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刷素养 走向重高
5.核心素养 几何直观 ［较难］我们知道，四边形
具有不稳定性，容易变形，如图（1），一个矩形
发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边
形相邻两个内角中较小的一个内角为 ，我们把
的值叫作这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后成为的平行四边形中有一
【解析】 矩形发生变形后成为的平行四边形中有一个内角是 ， 另一个相
邻的内角为,.故答案为 .
个内角是 ，则这个平行四边形的变形度是____.
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（2）设矩形的面积为，其变形后成为的平行四边形的面积为 ，则可得以下结
论：，应用该结论解决下列问题：如图（2），在矩形中，是
边上的一点，且，这个矩形发生变形后为平行四边形，
为的对应点，连接，.若矩形的面积为 ，平行四边形
的面积为，试求 的度数.
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【解】，，即 .
，， .
， ，
.
, ，
， ．
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