2025-2026学年高中数学苏教版必修 第二册第14章统计 14.4 用样本估计总体 14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数导学案（概念课）（第一课时）

该高中数学导学案聚焦“用样本估计总体的离散程度参数”，核心目标为掌握极差、方差、标准差的定义、计算及应用，通过“预习导航-合作研学-例题讲解-学以致用”的递进式设计，构建从概念理解到实际应用的完整学习路径。 亮点在于“电池续航对比”案例探究，学生小组合作计算方差分析数据稳定性，培养用数学思维思考波动本质的能力，结合生活应用实例和易错点解析，既促进深度学习，又为教师提供系统教学支持，助力学生发展统计核心素养。

2025-2026学年高中数学苏教版必修 第二册第14章统计 14.4 用样本估计总体 14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数导学案（概念课）（第一课时） 【模块一 学习目标】 一、能说出极差、方差、标准差的定义，写出三者的计算公式，判断不同统计量适用的场景。 二、会根据给定的原始数据计算样本方差和标准差，正确率达到80%以上。 三、能结合具体实例解释离散程度参数的统计含义，用样本数据估计总体的波动情况。 【模块二 预习导航】 一、概念填空 1. 一组数据中______与______的差叫做这组数据的极差，它反映了数据的______范围。 2. 设一组数据为x₁，x₂，…，xₙ，它们的平均数为x̄，则这组数据的方差s²＝______。 3. 方差的______叫做标准差，标准差的单位与原数据的单位______。 二、判断正误 1. 极差越大，说明数据越集中。（ ） 2. 方差越大，数据的波动越大。（ ） 3. 标准差的单位与原数据单位相同。（ ） 三、生活应用 你在生活中见过哪些地方用到"波动""稳定"这样的描述？请举一个例子，比如考试成绩、产品质量、天气变化等。 【模块三 合作研学】 一、三种离散程度参数对比 我们先来看一张对比表，把极差、方差、标准差放在一起比一比。 【关键点】 极差：计算最简单，只用最大值减最小值，但它只看两头，中间的数据全忽略了。就像看一个班级的成绩，只看最高分和最低分，中间大多数人什么水平完全不知道。 方差：考虑了每一个数据与平均数的偏离程度，能全面反映数据的波动情况。但它的单位是原单位的平方，解释起来有点别扭。 标准差：是方差开平方的结果，单位和原数据一致，实际应用中更常用。 为什么要平方呢？因为如果直接把每个数据减平均数加起来，正负会抵消，结果总是0。平方之后就都变成正的了，能真实反映偏离程度。 二、案例分析 咱们来看一个真实的例子。某手机品牌新出了两款电池，测试员各抽了5块电池做续航测试，结果如下（单位：小时）： A款：10.2，9.8，10.1，9.9，10.0 B款：11.0，8.5，10.5，9.0，11.0 先算一算两款的平均续航。A款平均是10小时，B款平均也是10小时。哎，平均一样啊，那选哪款都行？ 不对，你仔细看数据。A款每块都差不多，都在10小时上下浮动0.2小时。B款呢，有的能撑11小时，有的才8.5小时，差得远了。 这就是离散程度的问题。平均数只告诉你平均水平，不告诉你稳不稳定。买手机电池，你肯定希望每次用的时间都差不多，对吧？要是一会儿能用一天，一会儿半天就没电，那多闹心。 【动手操作】 前后桌四个人一组，分工合作算一算A款和B款的方差。 第一步：先确认平均数是不是都是10。 第二步：每个数据减平均数，算出差值。 第三步：把每个差值平方。 第四步：把平方后的结果加起来，再除以数据个数。 算完之后讨论一下：哪款电池更稳定？你愿意买哪款？为什么？ 三、用样本估计总体 这里要问大家一个问题：为什么我们算的是样本方差，却能用来估计总体呢？ 因为在实际生活中，你很难把所有数据都测一遍。比如要知道全国高一学生的身高差异，你不可能把所有人都量一遍，只能抽一部分人来测。 抽出来的这部分人就是样本，算出来的样本方差就能用来估计总体的方差。样本量越大，估计就越准确。这就是统计的基本思想——用局部估计整体。 【要牢记】 样本方差的公式里，分母是n还是n-1？这个问题很多同学搞混。 苏教版教材里，当我们用样本估计总体时，样本方差的分母是n-1，这叫"贝塞尔校正"，是为了让估计更准确。 但如果只是描述这组样本本身的离散程度，分母就用n。 咱们这节课重点是用样本估计总体，所以默认分母是n-1。注意啦，考试的时候要看清题目问的是什么。 【重点】 方差和标准差的计算方法，以及它们的统计意义。 这部分为什么重要？因为离散程度参数是统计分析的核心工具之一。光看平均数不够，还得看数据稳不稳定。比如看两个班级的数学成绩，平均分差不多，但一个班两极分化严重，另一个班大家都差不多，这两个班的教学策略肯定不一样。 学生在计算时最容易出错的地方有三个：一是算错平均数，后面全错；二是平方的时候算错数，尤其是负数平方；三是最后忘记开方，把方差当标准差用。 这些错误说起来都是粗心，但考试的时候丢分很可惜。所以计算的时候一定要按步骤来，一步一步写清楚，别跳步。算完之后再检查一遍，看看结果合不合理。 【难点】 理解方差为什么能刻画数据的离散程度，以及为什么要用平方而不是绝对值。 很多同学刚学的时候会问：为什么不用每个数据减平均数的绝对值的平均数呢？那样也能反映偏离程度啊。 这个问题问得好。绝对值也能用，叫"平均绝对偏差"。但为什么统计学里更常用方差呢？有几个原因：第一，平方函数在数学上更好处理，求导什么的都方便；第二，平方会放大偏离大的数据，让异常值的影响更明显；第三，方差和很多其他统计方法有联系，比如正态分布、回归分析，都是建立在方差基础上的。 突破这个难点的方法，就是多算几个例子，自己动手算一算，感受一下方差大小和数据波动之间的关系。还可以拿计算器试试，把一组数据改一改，看看方差怎么变。改一个离平均数远的数，方差变化大；改一个离平均数近的数，方差变化小。这样你就明白方差是怎么回事了。 板书设计： 中间写标题：用样本估计总体的离散程度参数 左边写三个概念：极差（定义、公式、特点）、方差（定义、公式、特点）、标准差（定义、公式、特点） 中间写计算步骤：1.求平均数 2.算差值 3.平方 4.求和 5.除以n-1 6.开方得标准差 右边写案例：A款电池 vs B款电池，对比计算过程和结论 右下角写核心思想：用样本估计总体 【模块四 例题讲解】 例1 计算下列数据的方差和标准差：5，7，8，6，9 解：第一步，先求平均数。 x̄ = (5+7+8+6+9) ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7 第二步，每个数据减平均数，再平方。 (5-7)² = (-2)² = 4 (7-7)² = 0² = 0 (8-7)² = 1² = 1 (6-7)² = (-1)² = 1 (9-7)² = 2² = 4 第三步，把平方后的结果加起来，再除以n-1。 s² = (4+0+1+1+4) ÷ (5-1) = 10 ÷ 4 = 2.5 第四步，开方求标准差。 s = √2.5 ≈ 1.58 所以这组数据的方差是2.5，标准差约为1.58。 方法总结：计算方差就按"一平均二求差三平方四求和五相除"五步走，一步都别少。算标准差就多一步开方。这里容易踩坑的是分母，记住用样本估计总体时分母是n-1，不是n。 例2 甲、乙两名射击运动员各打了10发子弹，成绩如下（单位：环）： 甲：9，8，10，9，8，9，10，9，9，9 乙：10，7，10，10，9，6，10，10，9，9 问：哪位运动员的成绩更稳定？ 解：先算两人的平均成绩。 甲的平均数：(9+8+10+9+8+9+10+9+9+9) ÷ 10 = 90 ÷ 10 = 9环 乙的平均数：(10+7+10+10+9+6+10+10+9+9) ÷ 10 = 90 ÷ 10 = 9环 两人平均成绩一样，那就要看方差了。 甲的方差： 每个数据减9的平方分别是：0，1，1，0，1，0，1，0，0，0 s甲² = (0+1+1+0+1+0+1+0+0+0) ÷ 9 = 4 ÷ 9 ≈ 0.44 乙的方差： 每个数据减9的平方分别是：1，4，1，1，0，9，1，1，0，0 s乙² = (1+4+1+1+0+9+1+1+0+0) ÷ 9 = 18 ÷ 9 = 2 因为s甲² < s乙²，所以甲的成绩更稳定。 方法总结：比较两组数据的稳定性，先看平均数。如果平均数差不多，再比方差或标准差。方差小的，数据更集中，更稳定。说白了，方差就是看数据"跳不跳"，跳得厉害方差就大。 【模块五 学以致用】 一、判断题 1. 一组数据的极差越大，说明这组数据的波动越大。（ ） 2. 方差的单位与原数据的单位相同。（ ） 3. 标准差是方差的平方。（ ） 4. 样本方差的分母一定是n。（ ） 5. 两组数据的平均数相同，方差也一定相同。（ ） 二、填空题 1. 数据2，4，6，8，10的极差是______。 2. 数据1，2，3，4，5的平均数是______，方差是______。 3. 已知一组数据的方差是4，则标准差是______。 4. 一组数据共有6个，每个数据与平均数的差的平方和是30，则这组数据的方差是______。 三、解答题 1. 计算数据3，5，7，9，11的方差和标准差。 2. 某农场种植了甲、乙两种水稻，各抽了5块田测产量（单位：千克）： 甲：450，460，450，470，470 乙：440，480，450，460，470 哪种水稻的产量更稳定？ 【模块六 解析与答案】 一、判断题答案 1. √ 解析：极差是最大值减最小值，极差越大，数据的变动范围越大，波动越大。 2. × 解析：方差的单位是原数据单位的平方，标准差的单位才和原数据相同。 3. × 解析：标准差是方差的算术平方根，不是平方。说反了。 4. × 解析：用样本估计总体时，样本方差的分母是n-1；只有描述样本本身时才用n。 5. × 解析：平均数相同，方差不一定相同。比如1,3和0,4，平均数都是2，但方差不一样。 二、填空题答案 1. 8 解析：最大值是10，最小值是2，极差=10-2=8。 2. 3，2.5 解析：平均数=(1+2+3+4+5)÷5=15÷5=3。方差=[(1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²]÷(5-1)=(4+1+0+1+4)÷4=10÷4=2.5。 3. 2 解析：标准差是方差的算术平方根，√4=2。 4. 6 解析：方差=差的平方和÷(n-1)=30÷(6-1)=30÷5=6。 三、解答题答案 1. 解：平均数x̄=(3+5+7+9+11)÷5=35÷5=7 每个数据减7的平方分别是：16，4，0，4，16 方差s²=(16+4+0+4+16)÷(5-1)=40÷4=10 标准差s=√10≈3.16 答：方差是10，标准差约为3.16。 2. 解：先算两种水稻的平均产量。 甲的平均产量：(450+460+450+470+470)÷5=2300÷5=460千克 乙的平均产量：(440+480+450+460+470)÷5=2300÷5=460千克 平均产量相同，再算方差。 甲的方差： [(450-460)²+(460-460)²+(450-460)²+(470-460)²+(470-460)²]÷(5-1) =(100+0+100+100+100)÷4 =400÷4=100 乙的方差： [(440-460)²+(480-460)²+(450-460)²+(460-460)²+(470-460)²]÷(5-1) =(400+400+100+0+100)÷4 =1000÷4=250 因为100<250，所以甲种水稻的产量更稳定。 答：甲种水稻的产量更稳定。 【模块七 易错点分析与学法指导】 一、反思提问 1. 为什么我们要学习离散程度参数？只看平均数不够吗？ 2. 计算样本方差的时候，分母为什么有时候是n，有时候是n-1？ 3. 方差小就一定好吗？有没有方差大反而更好的情况？ 二、学习建议 学这部分内容，别光背公式，要理解背后的道理。 第一，多动手算。找几组数据自己算一算方差，算完之后想想这个结果说明什么。算多了就有感觉了。 第二，联系生活想。想想生活中哪些地方用到"稳定""波动"这些概念，比如天气预报、股票涨跌、产品质量检测。把数学和生活联系起来，学起来就不枯燥了。 第三，注意细节。计算的时候别跳步，一步一步来。尤其是分母是n还是n-1，一定要看清楚题目要求。 第四，结合上节课的内容学。上节课学了集中趋势参数，这节课学离散程度参数，两者合起来才能全面描述一组数据的特征。就像描述一个人，光说身高不够，还得说胖瘦，对吧？ 图1 A、B两款电池续航时间对比 图2 数据与平均值的偏离示意图 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $